Центр масс и уравнение его движения. Уравнения движения центра. масс самолета. А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.

Теорема о движении центра масс системы

Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:

$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)

где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)

Из формулы (2) имеем:

Беря вторую производную по времени, получаем:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)

где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):

$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)

Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:

$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение теоремы состоит в следующем:

Теорема

• Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
• Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.

Пример

Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.

\[\omega \] \[\alpha \]

На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:

Спроецируем обе части на оси x и y:

\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]

Разделив одно уравнение на другое, получим:

Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:

Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

При решении механических задач неоценимую помощь может оказать использование понятия центра масс системы материальных точек. Одни задачи просто невозможно решить, не прибегая к этому понятию, решение других с его помощью может стать гораздо проще и нагляднее.

Перед тем как обсуждать конкретные задачи, напомним основные свойства центра масс и проиллюстрируем их примерами.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек назовем точку, характеризующую распределение масс в системе, координаты которой определяются формулами

Здесь m i - массы материальных точек, образующих систему, x i , y i , z i - координаты этих точек. Читатели, знакомые с понятием радиуса-вектора, предпочтут векторную запись:

(1)

Пример 1 . Найдем положение центра масс, простейшей системы, состоящей из двух точек, массы которых m 1 и m 2 и расстояние между ними l (рис. 1).

Направив ось X от первой точки ко второй, получим, что расстояние от первой точки до центра масс (т.е. координата центра масс) равно а расстояние от центра масс до второй точки равно т.е. отношение расстояний обратно отношению масс. Значит, в этом случае положение центра масс совпадает с центром тяжести.

Обсудим некоторые свойства центра масс, что, как нам кажется, наполнит физическим содержанием приведенное выше несколько формальное определение этого понятия.

1) Положение центра масс не изменится, если какую-то часть системы заменить одной точкой с массой, равной массе этой подсистемы, и находящейся в ее центре масс.

Пример 2 . Рассмотрим плоский однородный треугольник и найдем положение его центра масс. Разделим треугольник на тонкие полоски, параллельные одной из сторон, и заменим каждую полоску точкой, расположенной в ее середине. Так как все такие точки лежат на медиане треугольника, центр масс тоже должен лежать на медиане. Повторяя рассуждения для каждой из сторон, получаем, что центр масс находится на пересечении медиан.

2) Скорость центра масс можно найти, взяв производную по времени от обеих частей равенства (1):

(2)

где - импульс системы, m - полная масса системы. Видно, что скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Значит, если связать с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета, то она будет инерциальной.

Пример 3 . Поставим однородный стержень длиной l вертикально на гладкую плоскость (рис. 2) и отпустим. В процессе падения как горизонтальная составляющая его импульса, так и горизонтальная составляющая скорости центра масс будут оставаться равными нулю. Поэтому в момент падения центр стержня окажется в том месте, где первоначально стоял стержень, а концы стержня сместятся по горизонтали на .

3) Ускорение центра масс равно производной от его скорости по времени:

(3)

где в правой части равенства стоят только внешние силы, так как все внутренние силы сокращаются по третьему закону Ньютона. Получаем, что центр масс, движется так, как двигалась бы воображаемая точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей внешней силы. Наверное, это самое физическое свойство центра масс.

Пример 4 . Если бросить палку, приведя ее при этом во вращение, то центр масс палки (ее середина) будет двигаться с постоянным ускорением по параболе (рис. 3).

4) Пусть система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю. Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести.

5) Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести вычисляется по формуле

где h ц - высота центра масс системы.

Пример 5 . При выкапывании в однородном фунте ямы глубиной h и разбрасывании грунта по поверхности его потенциальная энергия возрастает на , где m - масса извлеченного грунта.

6) И еще одно полезное свойство центра масс. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии общего поступательного движения системы, равной , и кинетической энергии E отн движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:

Пример 6 . Кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью υ, равна

так как относительное движение в этом случае представляет собой чистое вращение, для которого линейная скорость точек обруча равна υ (полная скорость нижней точки должна быть равна нулю).

Теперь приступим к разбору задач на использование центра масс.

Задача 1 . Однородный стержень лежит на гладкой горизонтальной поверхности. К стержню прикладывают две одинаковые по величине, но противоположные по направлению горизонтальные силы: одна сила приложена к середине стержня, другая - к его концу (рис. 4). Относительно какой точки начнет поворачиваться стержень?

На первый взгляд может показаться, что осью вращения будет точка, лежащая посередине между точками приложения сил. Однако уравнение (3) показывает, что поскольку сумма внешних сил равна нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Значит, центр стержня будет оставаться в покое, т.е. служить осью вращения.

Задача 2 . Тонкий однородный стержень длиной l и массой m привели в движение вдоль гладкой горизонтальной поверхности так, что он движется поступательно и одновременно вращается с угловой скоростью ω. Найдите, натяжение стержня в зависимости от расстояния x до его центра.

Перейдем в инерциальную систему отсчета, связанную с центром стержня. Рассмотрим движение куска стержня, заключенного между рассматриваемой точкой стержня (расположенной на расстоянии x от центра) и его концом (рис. 5).

Единственной внешней силой для этого куска является искомая сила натяжения F н, масса равна , а его центр масс движется по окружности радиусом с ускорением . Записывая уравнение движения центра масс выделенного куска, получим

Задача 3 . Двойная звезда состоит из двух звезд-компонентов массами m 1 и m 2 , расстояние между которыми не меняется и остается равным L . Найдите период вращения двойной звезды.

Рассмотрим движение звезд-компонентов в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс двойной звезды. В этой системе отсчета звезды движутся с одной и той же угловой скоростью по окружностям разных радиусов (рис. 6).

Радиус вращения звезды массой m 1 равен (см. Пример 1), а ее центростремительное ускорение создается силой притяжения к другой звезде:

Видим, что период вращения двойной звезды равен

и определяется полной массой двойной звезды, независимо от того, как она распределена между звездами-компонентами.

Задача 4 . Две точечные массы m и 2m связаны невесомой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость массы 2m равна нулю, а скорость массы m равна υ и направлена перпендикулярно нити (рис. 7). Найдите натяжение нити и период вращения системы.

Рис. 7

Центр масс системы находится на расстоянии от массы 2m и движется со скоростью . В системе отсчета, связанной с центром масс, точка массой 2m движется по окружности радиусом со скоростью . Значит, период вращения равен (проверьте, что такой же ответ получается, если рассмотреть точку массой m ). Натяжение нити найдем из уравнения движения любой из двух точек:

Задача 5 . На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых бруска массой m каждый, связанных легкой пружиной жесткостью k (рис. 8). Первому бруску сообщают скорость υ 0 в направлении от второго бруска. Опишите движение системы. Через какое время деформация пружины впервые достигнет максимального значения?

Центр масс системы будет перемещаться с постоянной скоростью . В системе отсчета центра масс начальная скорость каждого бруска равна , а жесткость половинной пружины, которая соединяет его с неподвижным центром масс, составляет 2k (жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине). Период таких колебаний равен

а амплитуда колебаний каждого бруска, которую можно найти из закона сохранения энергии, составляет

В первый раз деформация станет максимальной через четверть периода, т.е. через время .

Задача 6 . Шар массой m налетает со скоростью υ на покоящийся шар массой 2m . Найдите скорости обоих шаров после упругого центрального удара.

В системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс двух шаров равен нулю как до, так и после coyдарения. Легко догадаться, какой ответ для конечных скоростей удовлетворяет одновременно и этому условию, и закону сохранения энергии: скорости останутся такими же, как до удара, по величине, но изменят свои направления на противоположные. Скорость центра масс системы равна . В системе центра масс первый шар движется со скоростью , а второй шар движется навстречу первому со скоростью . После удара шары будут разлетаться с такими же скоростями. Осталось вернуться в первоначальную систему отсчета. Применяя закон сложения скоростей, находим, что конечная скорость шара массой m равна и направлена назад, а скорость покоившегося раньше шара массой 2m равна и направлена вперед.

Отметим, что в системе центра масс очевидным является утверждение, что при ударе относительная скорость шаров не меняется по величине, но меняется по направлению. А так как разность скоростей при переходе в другую инерциальную систему отсчета не изменяется, можно считать, что мы вывели это важное соотношение и для первоначальной системы отсчета:

υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,

где буква υ используется для обозначения начальных скоростей, а u - для конечных. Это уравнение можно решать совместно с законом сохранения импульса вместо закона сохранения энергии (куда скорости входят во второй степени).

Задача 7 . Известно, что при упругом нецентральном ударе двух одинаковых шаров, один из которых до удара покоился, угол разлета равен 90°. Докажите это утверждение.

В системе центра масс нецентральный удар можно описать следующим образом. До удара шары сближаются с одинаковыми импульсами, после удара они разлетаются с такими же по величине, но противоположно направленными импульсами, а прямая разлета поворачивается на некоторый угол относительно прямой сближения. Чтобы перейти обратно в начальную систему отсчета, надо каждую конечную скорость сложить (векторно!) со скоростью центра масс. В случае одинаковых шаров скорость центра масс равна , где υ - скорость налетающего шара, и в системе отсчета центра масс шары сближаются и разлетаются с одинаковыми скоростями . В том, что после сложения каждой конечной скорости со скоростью центра масс получаются взаимно перпендикулярные векторы, можно убедиться из рисунка 9. А можно и просто проверить, что скалярное произведение векторов и обращается в ноль в силу того, что модули векторов равны друг другу.

Упражнения

1. Стержень массой m и длиной l шарнирно закреплен за один из концов. Стержень отклонили на некоторый угол от вертикального положения и отпустили. В момент прохождения вертикального положения скорость нижней точки равна υ. Найдите натяжение в средней точке стержня в этот момент времени.

2. Стержень массой m и длиной l вращают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω вокруг одного из его концов. Найдите зависимость натяжения стержня от расстояния x до оси вращения, если на другом конце закреплен маленький грузик массой М .

3. Найдите период колебаний для системы, описанной в задаче 5 статьи, но для брусков различных масс m 1 и m 2 .

4. Выведите известные общие формулы для упругого центрального удара двух шаров, используя переход в систему отсчета центра масс.

5. Шар массой m 1 налетает на покоящийся шар меньшей массы m 2 . Найдите максимально возможный угол отклонения налетающего шара при упругом нецентральном ударе.

1.

2.

3.

Когда мы имеем дело с системой частиц, удобно найти такую точку - центр масс, которая характеризовала бы положение и движение этой системы как целого. В системе из двух одинаковых частиц такая точка С, очевидно, лежит посередине между ними (рис. 110а). Это ясно из соображений симметрии: в однородном и изотропном пространстве эта точка выделена среди всех остальных, ибо для любой другой точки А, расположенной ближе к одной из частиц, найдется симметричная ей точка В, расположенная ближе ко второй частице.

Рис. 110. Центр масс двух одинаковых частиц находится в точке С с радиусом-вектором ; центр масс двух частиц с разной массой делит отрезок между ними в отношении, обратно пропорциональном массам чатиц (б)

Очевидно, что радиус-вектор точки С равен полусумме радиусов-векторов одинаковых частиц (рис. 110а): Другими словами, представляет собой обычное среднее значение векторов

Определение центра масс. Как обобщить это определение на случай двух частиц с разными массами Можно ожидать, что наряду с геометрическим центром системы, радиус-вектор которого по-прежнему равен полусумме будет играть определенную роль точка, положение которой определяется распределением

ем масс. Ее естественно определить так, чтобы вклад каждой частицы был пропорционален ее массе:

Определяемый формулой (1) радиус-вектор центра масс представляет собой среднее взвешенное значение радиусов-векторов частиц что очевидно, если переписать (1) в виде

Радиус-вектор каждйй частицы входит в с весом, пропорциональным ее массе. Легко видеть, что определяемый формулой (1) центр масс С лежит на отрезке прямой, соединяющей частицы, и делит его в отношении, обратно пропорциональном массам частиц: (рис. 110б).

Обратим внимание на то, что приведенное здесь определение центра масс связано с известным вам условием равновесия рычага. Представим себе, что точечные массы на которые действует однородное поле тяжести, соединены стержнем пренебрежимо малой массы. Такой рычаг будет в равновесии, если точку его опоры поместить в центр масс С.

Естественным обобщением формулы (1) на случай системы, состоящей из материальных точек с массами и радиусами-векторами является равенство

которое служит определением радиуса-вектора центра масс (или центра инерции) системы.

Скорость центра масс. Центр масс характеризует не только положение, но и движение системы частиц как целого. Скорость центра масс, определяемая равенством как следует из (2), следующим образом выражается через скорости образующих систему частиц:

В числителе правой части этого выражения, как следует из формулы (6) предыдущего параграфа, стоит полный импульс системы Р, а в знаменателе - ее полная масса М. Поэтому импульс системы частиц равен произведению массы всей системы М на скорость ее центра масс

Формула (4) показывает, что импульс системы связан со скоростью ее центра масс точно так же, как импульс отдельной частицы связан со скоростью частицы. Именно в этом смысле движение центра масс и характеризует движение системы как целого.

Закон движения центра масс. Закон изменения импульса системы частиц, выражаемый формулой (9) предыдущего параграфа, по существу представляет собой закон движения ее центра масс. В самом деле, из (4) при неизменной полной массе М системы имеем

что означает, что скорость изменения импульса системы равна произведению ее массы на ускорение центра масс. Сравнивая (5) с формулой (6) § 29, получаем

Согласно (6) центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы М под действием силы, равной сумме всех внешних сил, действующих на входящие в систему частицы. В частности, центр масс замкнутой физической системы, на которую внешние силы не действуют, движется в инерциальной системе отсчета равномерно и прямолинейно либо покоится.

Представление о центре масс в ряде случаев позволяет получить ответы на некоторые вопросы еще проще, чем при непосредственном использовании закона сохранения импульса. Рассмотрим следующий пример.

Космонавт вне корабля. Космонавт массы неподвижный относительно космического корабля массы с выключенным двигателем, начинает подтягиваться к кораблю с помощью легкого страховочного фала. Какие расстояния пройдут космонавт и корабль до встречи, если первоначально расстояние между ними равно

Центр масс корабля и космонавта находится на соединяющей их прямой, причем соответствующие расстояния обратно пропорциональны массам Так как то

сразу получаем

В далеком космосе, где внешние силы отсутствуют, центр масс этой замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью. В той системе отсчета, где он покоится, космонавт и корабль пройдут до встречи расстояния , даваемые формулами (7).

Для справедливости подобных рассуждений принципиально важно использовать инерциальную систему отсчета. Если бы здесь мы опрометчиво связали систему отсчета с космическим кораблем, то пришли бы к заключению, что при подтягивании космонавта центр масс системы приходит в движение в отсутствие внешних сил: он приближается к кораблю. Центр масс сохраняет свою скорость только относительно инерциальной системы отсчета.

В уравнение (6), определяющее ускорение центра масс системы частиц, не входят действующие в ней внутренние силы. Значит ли это, что внутренние силы вообще никак не влияют на движение центра масс? В отсутствие внешних сил или когда эти силы постоянны, это действительно так. Например, в однородном поле тяжести центр масс разорвавшегося в полете снаряда продолжает движение по той же параболе, пока ни один из осколков еще не упал на землю.

Роль внутренних сил. В тех случаях, когда внешние силы могут изменяться, дело обстоит несколько сложнее. Внешние силы действуют не на центр масс, а на отдельные частицы системы. Эти силы могут зависеть от положения частиц, а положение каждой частицы при ее движении определяется всеми действовавшими на нее силами, как внешними, так и внутренними.

Поясним это на том же простом примере снаряда, разрывающегося в полете на мелкие осколки под действием внутренних сил. Пока все осколки в полете, центр масс, как уже говорилось, продолжает движение по той же параболе. Однако как только хотя бы один из осколков коснется земли и его движение прекратится, добавится новая внешняя сила - сила реакции поверхности земли, действующая на упавший осколок. В результате изменится ускорение центра масс, и он уже не будет двигаться по прежней параболе. Само появление этой силы реакции является следствием действия внутренних сил, разорвавших снаряд. Итак, действие внутренних сил в момент разрыва снаряда может привести к изменению ускорения, с которым будет двигаться центр масс в более поздние моменты времени и, следовательно, к изменению его траектории.

Приведем еще более яркий пример влияния внутренних сил на движение центра масс. Представим себе, что спутник Земли,

обращающийся вокруг нее по круговой орбите, под действием внутренних сил разделяется на две половины. Одна из половин останавливается и начинает отвесно падать на Землю. По закону сохранения импульса вторая половина должна в этот момент вдвое увеличить свою скорость, направленную по касательной к окружности. Как мы увидим ниже, при такой скорости эта половина улетит от Земли на бесконечно большое расстояние. Следовательно, и центр масс спутника, т. е. двух его половин, также удалится на бесконечно большое расстояние от Земли. И причина тому - действие внутренних сил при разделении спутника на две части, так как в противном случае неразделившийся на части спутник продолжал бы движение по круговой орбите.

Реактивное движение. Закон сохранения импульса замкнутой системы позволяет легко объяснить принцип реактивного движения. При сжигании топлива повышается температура и в камере сгорания создается высокое давление, благодаря чему образовавшиеся газы с большой скоростью вырываются из сопла двигателя ракеты. В отсутствие внешних полей полный импульс ракеты и вылетающих из сопла газов остается неизменным. Поэтому при истечении газов ракета приобретает скорость в противоположном направлении.

Уравнение Мещерского. Получим уравнение, описывающее движение ракеты. Пусть в некоторый момент времени ракета в какой-то инерциальной системе отсчета имеет скорость Введем другую инерциальную систему отсчета, в которой в данный момент времени ракета неподвижна. Назовем такую систему отсчета сопутствующей. Если работающий двигатель ракеты за промежуток выбрасывает газы массы со скоростью относительно ракеты, то спустя время скорость ракеты в этой сопутствующей системе будет отлична от нуля и равна

Применим к рассматриваемой замкнутой физической системе ракета плюс газы закон сохранения импульса. В начальный момент в сопутствующей системе отсчета ракета и газы покоятся, поэтому полный импульс равен нулю. Спустя время импульс ракеты равен а импульс выброшенных газов Поэтому

Полная масса системы ракета плюс газы сохраняется, поэтому масса выброшенных газов равна убыли массы ракеты:

Теперь уравнение (8) после деления на промежуток времени переписывается в виде

Переходя к пределу получаем уравнение движения тела переменной массы (ракеты) в отсутствие внешних сил:

Уравнение (9) имеет вид второго закона Ньютона, если его правую часть рассматривать как реактивную силу, т. е. силу, с которой действуют на ракету вылетающие из нее газы. Масса ракеты здесь не постоянна, а убывает со временем из-за потери вещества, т. е. Поэтому реактивная сила; направлена в сторону, противоположную скорости вылетающих из сопла газов относительно ракеты. Видно, что эта сила тем больше, чем больше скорость истечения газов и чем выше расход топлива в единицу времени.

Уравнение (9) получено в определенной инерциальной системе отсчета - сопутствующей системе. Вследствие принципа относительности оно справедливо и в любой другой инерциальной системе отсчета. Если, кроме реактивной силы, на ракету действуют и какие-либо другие внешние силы например сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то их следует добавить в правую часть уравнения (9):

Это уравнение впервые было получено Мещерским и носит его имя. При заданном режиме работы двигателя, когда масса представляет собой определенную известную функцию времени, уравнение Мещерского позволяет рассчитать скорость ракеты в любой момент времени.

Какие физические соображения свидетельствуют о целесообразности определения центра масс с помощью формулы (1)?

В каком смысле центр масс характеризует движение системы частиц как целого?

О чем говорит закон движения центра масс системы взаимодействующих тел? Влияют ли внутренние силы на ускорение центра масс?

Могут ли внутренние силы влиять на траекторию центра масс системы?

В задаче о разрыве снаряда, рассмотренной в предыдущем параграфе, закон движения центра масс позволяет сразу найти дальность полета второго осколка, если его начальная скорость горизонтальна. Как это сделать? Почему эти соображения неприменимы в случае, когда его начальная скорость имеет вертикальную составляющую?

В процессе разгона ракеты ее двигатель работает в постоянном режиме, так что относительная скорость истечения газов и расход топлива в единицу времени неизменны. Будет ли при этом ускорение ракеты постоянным?

Выведите уравнение Мещерского, используя вместо сопутствующей системы отсчета инерциальную систему, в которой ракета уже имеет скорость

Формула Циолковского. Допустим, что разгон ракеты происходит в свободном пространстве, где на нее не действуют внешние силы. По мере вырабатывания топлива масса ракеты убывает. Найдем зависимость между массой израсходованного топлива и набранной ракетой скоростью.

После включения двигателя покоившаяся ракета начинает набирать скорость, двигаясь по прямой линии. Спроецировав векторное уравнение (9) на направление движения ракеты, получим

Будем в уравнении (11) рассматривать массу ракеты как функцию набранной ракетой скорости Тогда скорость изменения массы со временем можно представить следующим образом:

Центр масс. Уравнение движения центра масс. Сам закон: Тела действуют друг на друга с силами имеющими одинаковую природу направленными вдоль одной и той же прямой равными по модулю и противоположными по направлению: Центр масс это геометрическая точка характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Определение Положение центра масс центра инерции в классической механике определяется следующим образом: где радиусвектор центра масс радиусвектор iй точки системы масса iй точки.

7.Третий закон Ньютона. Центр масс. Уравнение движения центра масс.

Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия.

Сам закон:

Тела действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль одной и той же прямой, равными по модулю и противоположными по направлению:

Центр масс — это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.

Определение

Положение центра масс (центра инерции) в классической механике определяется следующим образом:

где — радиус-вектор центра масс, — радиус-вектор i -й точки системы,

— масса i -й точки.

.

Это уравнение движения центра масс системы материальных точек с массой, равной массе всей системы, к которой приложена сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил) или теорема о движении центра масс.

Центром масс системы называется точка с радиус-вектором

Для непрерывного распределения массы с плотностью 
. Если силы тяжести, приложенные к каждой частице системы, направлены в одну сторону , то центр масс совпадает с центром тяжести. Но если
не параллельны , то центр масс и центр тяжести не совпадают.

Взяв производную по времени от , получим:

т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс.

Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса, находим:

Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.

При поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.

Так как
, то центр массзамкнутой системы должен сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. =const. Но при этом вся система может вращаться, разлетаться, взрываться и т.п. в результате действия внутренних сил .

1. Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Реактивным называется движение тела, при котором происходит присоединение или отбрасывание массы. В процессе движения происходит изменение массы тела: за время dt тело массы m присоединяет (поглощает) или отбрасывает (испускает) массу dm со скоростью относительно тела ; в первом случае dm>0, во втором dm<0.

Рассмотрим такое движение на примере ракеты. Перейдем в инерциальную систему отсчета K", которая в данный момент времени t движется с той же скоростью , что и ракета – такая ИСО называетсясопутствующей – в этой системе отсчета ракета в данный момент t покоится (скорость ракеты в этой системе =0). Если сумма внешних сил, действующих на ракету, не равна нулю, то уравнение движения ракеты в системе K", но так как все ИСО эквивалентны, то и в системе К уравнение будет иметь тот же самый вид:

Это – уравнение Мещерского , описывающее движение любого тела с переменной массой}.

В уравнении масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения называется реактивной силой

Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm/dt>0 и реактивная сила будет силой торможения (например, при движении ракеты в облаке космической пыли).

1. Энергия системы частиц

Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы

и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).

Иначе обстоит дело с потенциальной энергией системы. Во-первых, между частицами системы действуют силы взаимодействия
. ПоэтомуA ij =-dU ij , где U ij - потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц. Суммируя U ij по всем частицам системы, находим так называемую собственную потенциальную энергию системы:

Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации. К тому же эта величина - не аддитивная.

Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы - консервативные, то их работа будет равна убыли внешней потенциальной энергии A=-dU внеш, где

где U i - потенциальная энергия i-ой частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.

Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как

E сист =К сист +U соб +U внеш