Формули сокращенного умножения. Формулы сокращённого умножения. Четыре формулы сокращенного умножения для кубов

Формулы сокращенного умножения.

Изучение формул сокращенного умножения: квадрата суммы и квадрата разности двух выражений; разности квадратов двух выражений; куба суммы и куба разности двух выражений; суммы и разности кубов двух выражений.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть .

Пусть а, b R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров.

Пример 1.

Вычислить

а) Используя формулу квадрата суммы двух выражений, имеем

(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Используя формулу квадрата разности двух выражений, получим

98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Вычислить

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим

Пример 3.

Упростить выражение

(х - у) 2 + (х + у) 2

Воспользуемся формулами квадрата суммы и квадрата разности двух выражений

(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2

Формулы сокращенного умножения в одной таблице:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Формулы сокращённого умножения позволяют производить тождественные преобразования выражений - многочленов. С их помощью многочлены можно разложить на множители, а применяя формулы в обратном порядке - представлять произведения двучленов, квадраты и кубы в виде многочленов. Рассмотрим все общепринятые формулы сокращённого умножения, их вывод, распространённые задачи на тождественные преобразования выражений с помощью этих формул, а также домашние задания (ответы к ним открываются по ссылкам).

Квадрат суммы

Формулой квадрата суммы называется равенство

(квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Вместо a и b в эту формулу могут быть подставлены любые числа.

Формула квадрата суммы часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Пример 1.

.

Пример 2. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата суммы получаем

Квадрат разности

Формулой квадрата разности называется равенство

(квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа).

Формула квадрата разности часто применяется для упрощения вычислений. Например,

С помощью формулы квадрата разности многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения двух одинаковых множителей .

Формула следует из правила умножения многчлена на многочлен:

Пример 5. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле квадрата разности получаем

.

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Выделение полного квадрата

Часто в многочлене второй степени содержится квадрат суммы или разности, но содержится в скрытом виде. Чтобы получить полный квадрат в явном виде, нужно преобразовать многочлен. Для этого, как правило, одно из слагаемых многочлена представляется в виде удвоенного произведения, а затем к многочлену прибавляется и из него вычитается одно и то же число.

Пример 7.

Решение. Этот многочлен можно преобразовать следующим образом:

Здесь мы представили 5x в виде удвоенного произведения 5/2 на x , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число , далее применили формулу квадрата суммы для двучлена .

Итак, мы доказали равенство

,

равен полному квадрату плюс число .

Пример 8. Рассмотрим многочлен второй степени

Решение. Проведём над ним следующие преобразования:

Здесь мы представили 8x в виде удвоенного произведения x на 4 , прибавили к многочлену и вычли из него одно и то же число 4² , применили формулу квадрата разности для двучлена x − 4 .

Итак, мы доказали равенство

,

показывающее, что многочлен второй степени

равен полному квадрату плюс число −16 .

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Куб суммы

Формулой куба суммы называется равенство

(куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго и плюс куб второго числа).

Формула куба суммы выводится так:

Пример 10. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба суммы получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Куб разности

Формулой куба разности называется равенство

(куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе, плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа).

С помощью формулы куба суммы многочлен можно разложить на множители, а именно, представить в виде произведения трёх одинаковых множителей .

Формула куба разности выводится так:

Пример 12. Записать в виде многочлена выражение

Решение. По формуле куба разности получаем

Применить формулу сокращённого умножения самостоятельно, а затем посмотреть решение

Разность квадратов

Формулой разности квадратов называется равенство

(разность квадратов двух чисел равна произведению суммы эти чисел на их разность).

С помощью формулы куба суммы любой многочлен вида можно разложить на множители.

Доказательство формулы получено с применением правила умножения многочленов:

Пример 14. Записать в виде многочлена произведение

.

Решение. По формуле разности квадратов получаем

Пример 15. Разложить на множители

Решение. Это выражение в явной форме ни под одно тождество не подходит. Но число 16 можно представить в виде степени с основанием 4: 16=4² . Тогда исходное выражение примет иной вид:

,

а это уже формула разности квадратов, и, применив эту формулу, получим

Алгебра

Формулы сокращенного умножения применяются для преобразования выражений. Тождества используются для представления целого выражения в виде многочлена и разложения многочленов на множители.

• 1 Квадрат суммы (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Квадрат разности (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Разность квадратов a 2 - b 2 = (a - b)(a + b)
• 4 Куб суммы (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 Куб разности (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Сумма кубов a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Разность кубов a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

Формулы для квадратов

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Формулы для кубов

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Формулы для четвертой степени

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
следует из \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы

2. Квадрат разности

3. Сумма и разность квадратов

4. Сумма в третьей степени (куб суммы)

5. Разность в третьей степени (куб разности)

6. Сумма и разность кубов

7. Формулы сокращенного умножения для четвертой степени

8. Формулы сокращенного умножения для пятой степени

9. Формулы сокращенного умножения для шестой степени

10. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - любое натуральное число

11. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - четное положительное число

12. Формулы сокращенного умножения для степени n, где n - нечетное положительное число

Формулы сокращенного умножения. Тренировка.

Попробуй таким способом вычислить следующие выражения:

Ответы:

Либо, если ты знаешь квадраты основных двухзначных чисел, вспомни, сколько будет? Вспомнил? . Отлично! Так как мы возводим в квадрат, то мы должны умножить на. Получается, что.

Помни, что формулы квадрат суммы и квадрат разности справедливы не только для числовых выражений:

Посчитай самостоятельно следующие выражения:

Ответы:

Формулы сокращенного умножения. Итог.

Подведем небольшой итог и запишем формулы квадрата суммы и разности в одну строку:

Теперь потренируемся «собирать» формулу из разложенного вида в вид. Данный навык понадобится нам в дальнейшем при преобразовании больших выражений.

Допустим, у нас есть следующее выражение:

Мы знаем, что квадрат суммы (или разности) - это квадрат одного числа квадрат другого числа и удвоенное произведение этих чисел .

В данной задаче легко увидеть квадрат одного числа - это. Соответственно, одно из чисел, входящих в скобку, - это квадратный корень из, то есть

Так как во втором слагаемом есть, значит, это удвоенное произведение одного и другого числа, соответственно:

Где - второе число, входящее в нашу скобку.

Второе число, входящее в скобку, равно.

Проверим. должно быть равно. Действительно так и есть, значит, мы нашли оба числа, присутствующие в скобках: и. Осталось определить знак, который стоит между ними. Как ты думаешь, что за знак там будет?

Правильно! Так как мы прибавляем удвоенное произведение, то между числами будет стоять знак сложения. Теперь запиши преобразованное выражение. Справился? У тебя должно получиться следующее:

Заметь: перемена мест слагаемых не сказывается на результате (неважно, сложение или вычитание стоит между и).

Совершенно необязательно, чтобы слагаемые в преобразуемом выражении стояли так, как написано в формуле. Посмотри на это выражение: . Попробуй преобразовать его самостоятельно. Получилось?

Потренируйся - преобразуй следующие выражения:

Ответы: Справился? Закрепим тему. Выбери из приведенных ниже выражений те, которые можно представить в виде квадрата суммы или разности.

1. - докажи, что это равносильно.

1. - нельзя представить как квадрат; можно было бы представить, если вместо было.

Разность квадратов

Еще одна формула сокращенного умножения - разность квадратов.

Разность квадратов это не квадрат разности!

Разность квадратов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их разность:

Проверим, верна ли эта формула. Для этого перемножим, как делали при выведении формул квадрата суммы и разности:

Таким образом, мы только что удостоверились, что формула действительно верная. Данная формула также упрощает сложные вычислительные действия. Приведем пример:

Необходимо вычислить: . Конечно, мы можем возвести в квадрат, затем возвести в квадрат и вычесть одно из другого, но формула упрощает нам задачу:

Получилось? Сверим результаты:

Так же как и квадрат суммы (разности), формула разности квадратов может применяться не только с числами:

Умение раскладывать разность квадратов поможет нам преобразовывать сложные математические выражения.

Обрати внимание:

Поскольку, при разложении на квадрат разности правого выражения мы получим

Будь внимателен и смотри, какое конкретное слагаемое возводится в квадрат! Для закрепления темы преобразуй следующие выражения:

Записал? Сравним полученные выражения:

Теперь, когда ты усвоил квадрат суммы и квадрат разности, а также разность квадратов, попробуем решать примеры на комбинацию этих трех формул.

Преобразование элементарных выражений (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов)

Допустим, нам дан пример

Необходимо упростить данное выражение. Посмотри внимательно, что ты видишь в числителе? Правильно, числитель - это полный квадрат:

Упрощая выражение, помни, что подсказка, в какую сторону двигаться в упрощении, находится в знаменателе (или в числителе). В нашем случае, когда знаменатель разложен, и больше ничего сделать нельзя, можно понять, что числителем будет либо квадрат суммы, либо квадрат разности. Так как мы прибавляем, то становится ясно, что числитель - квадрат суммы.

Попробуй самостоятельно преобразовать следующие выражения:

Получилось? Сравниваем ответы и двигаемся дальше!

Куб суммы и куб разности

Формулы куб суммы и куб разности выводятся аналогичным образом, как квадрат суммы и квадрат разности : раскрытием скобок при перемножении членов друг на друга.

Если квадрат суммы и квадрат разности запомнить весьма легко, то возникает вопрос «как запомнить кубы?»

Посмотри внимательно на две описываемые формулы в сравнении с возведением аналогичных членов в квадрат:

Какую ты видишь закономерность?

1. При возведении в квадрат у нас есть квадрат первого числа и квадрат второго; при возведении в куб - есть куб одного числа и куб другого числа.

2. При возведении в квадрат , у нас есть удвоенное произведение чисел (числа в 1 степени, что на одну степень меньше чем та, в которую возводим выражение); при возведении в куб - утроенное произведение, при котором одно из чисел возводится в квадрат (что так же на 1 степень меньше, чем степень, в которую возводим выражение).

3. При возведении в квадрат знак в скобках в раскрытом выражении отражается при прибавлении (или вычитании) удвоенного произведения - если в скобках сложение, то прибавляем, если вычитание - отнимаем; при возведении в куб правило такое: если у нас куб суммы, то все знаки «+», а если куб разности, то знаки чередуются: « » - « » - « » - « ».

Всё перечисленное, кроме зависимости степеней при умножении членов, изображено на рисунке.

Потренируемся? Раскрой скобки в следующих выражениях:

Сравни полученные выражения:

Разность и сумма кубов

Рассмотрим последнюю пару формул разность и сумму кубов.

Как мы помним, в разности квадратов у нас идет перемножение разности и суммы данных чисел одно на другое. В разности кубов и в сумме кубов также имеется две скобки:

1 скобка - разность (или сумма) чисел в первой степени (в зависимости от того, разность или сумму кубов мы раскрываем);

2 скобка - неполный квадрат (присмотрись: если бы мы вычитали (или прибавляли) удвоенное произведение чисел, был бы квадрат), знак при перемножении чисел противоположный знаку изначального выражения.

Для закрепления темы решим несколько примеров:

Сравни полученные выражения:

Тренировка

Ответы:

Подведем итоги:

Существует 7 формул сокращенного умножения:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Формулы сокращенного умножения - это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:
3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы:
4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения:
5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения:
6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений:
7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений:

Теперь докажем все эти формулы.

Формулы сокращенного умножения. Доказательство.

1. .
Возвести выражение в квадрат - значит умножить его само на себя:
.

Раскроем скобки и приведем подобные:

2. .
Делаем то же самое: умножаем разность саму на себя, раскрываем скобки и приводим подобные:
.

3. .
Возьмем выражение в правой части и раскроем скобки:
.

4. .
Число в кубе можно представить как это число умноженное на свой квадрат:

Аналогично:

В разности кубов знаки чередуются.

6. .

.

7. .
Раскроем скобки в правой части:
.

Применение формул сокращенного умножения при решении примеров

Пример 1:

Найдите значение выражений:

Решение:

1. Используем формулу квадрат суммы: .
2. Представим это число в виде разности и используем формулу квадрата разности: .

Пример 2:

Найдите значение выражения: .

Решение:

Используя формулу разности квадратов двух выражений, получим:

Пример 3:

Упростите выражение:

Решение двумя способами:

Воспользуемся формулами квадрат суммы и квадрат разности:

II способ.

Воспользуемся формулой разности квадратов двух выражений:

ТЕПЕРЬ ТВОЕ СЛОВО...

Я рассказал все, что знаю о формулах сокращенного умножения.

Расскажи теперь ты будешь ли ты ими пользоваться? Если нет, то почему?

Как тебе эта статья?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях. Мы читаем все комментарии и отвечаем на все.

И удачи на экзаменах!

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) нужны для того, чтобы умножать и возводить в степень числа, выражения, в том числе многочлены. То есть, при помощи формул можно работать с числами значительно быстрее и проще. Таким образом можно из сложного уравнения сделать обычное, что упростит задачу.

Таблица с формулами сокращённого умножения

Обратите внимание на первые четыре формулы. Благодаря им можно возводить в квадрат или куб суммы (разности) двух выражений. Что касается пятой формулы, её нужно применять, чтобы вкратце умножить разность или сумму двух выражений.

Две последние формулы (6 и 7) применяются, чтобы умножать суммы обоих выражений на их неполный квадрат разности или суммы.

Вышеперечисленные формулы довольно-таки часто нужны на практике. Именно поэтому их желательно знать наизусть.

Если вам попался пример, разложить многочлен на множители, тогда во многих случаях нужно левую и правую часть переставить местами.

Например, возмём ту же первую формулу:

и левую часть поставим вправо, а правую влево:

Такую же процедуру можно проделывать и с остальными формулами.

Доказательство ФСУ

Остановимся на доказательствах формул сокращённого умножения. Это не сложно. Нужно всего лишь раскрыть скобки. Рассмотрим на первой формуле – квадрат суммы: .

Шаг первый.

Возведём a + b во вторую степень. Для этого степень трогать не будем, а выполним банальное умножение: = x .

Шаг второй. Теперь и выносим за скобки: x + x .

Шаг третий . Раскрываем скобки: x + x + x + x .

Шаг четвёртый . Умножаем, не забывая о знаках: x + x + .

Шаг пятый . Упрощаем выражение: .

Точно так же можно доказать абсолютно любую формулу сокращённого умножения.

Примеры и решения с помощью ФСУ

Как правило, эти семь формул применяются тогда, когда нужно упростить выражение, чтобы решить какое-либо уравнение и даже обычный пример.

Пример 1

Задание

Упростите выражение:

Как видно, к этому примеру подходит первая формула сокращённого умножения – Квадрат суммы.

Решение

Исходя из первой формулы надо пример разложить на множители. Для этого смотрим на формулу и вместо букв подставляем цифры. В нашем случае «а» – это 3x, а «b» – это 5:

Считаем правую часть и записываем результат. У нас получается:

В примере надо умножить всё то, что умножается и сразу получаем ответ:

Конечно же, есть примеры и с дробями. Но, если научитесь решать простые примеры, тогда другие виды вам будут не страшны.

Пример 2

Задание

Упростите выражение

Решение

= – x x + =

Удвоенное произведение этих выражений – , который совпадает с со вторым членом трёхчлена (со знаком «плюс), значит,

Итак, как видно, ничего сложно в примерах нет. Главное, знать формулы, где их можно применять, а где можно обойтись и без них.

Полезные источники

1. Арефьева И. Г., Пирютко О. Н. Алгебра: учебник пособие для 7 класса учреждений общего среднего образования: Минск “Народная Асвета”, 2017 – 304 с.
2. Никольский С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 класс: М: 2015 – 287 с.
3. Рубин А. Г., Чулков П. В. Алгебра. 7 класс. М: 2015 – 224 с.

ФСУ – формулы сокращённого умножения по алгебре за 7 класс с примерами обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру