Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.
Основные действия над матрицами.
Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.
Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной .
Определение. Если = , то матрица называется симметрической .
Пример. - симметрическая матрица
Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.
Определение. Диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят только единицы:
= E , называется единичной матрицей .
Определение. Матрица, у которой под главной диагональю находятся только нулевые элементы, называется верхней треугольной матрицей. Если у матрицы над главной диагональю находятся только нулевые элементы, то она называется нижней треугольной матрицей.
Определение. Две матрицы называются равными , если они одной размерности и выполняется равенство:
· Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера . Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:
Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.
С = А + В = В + А.
· Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.
a (А+В) =aА ± aВ
А(a±b) = aА ± bА
Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.
2А = , 2А + В = .
· Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:
Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Пример.
· Определение . Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием , если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.
А = ; В = А Т = ;
другими словами, = .
Обратная матрица .
Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:
где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .
Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.
Обратная матрица
Может быть построена по следующей схеме:
Если , то матрица называется невырожденной , а в противном случае – вырожденной.
Обратная матрицаможет быть построена только для невырожденных матриц.
Свойства обратных матриц.
1) (A -1) -1 = A;
2) (AB) -1 = B -1 A -1
3) (A T) -1 = (A -1) T .
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным , если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.
В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.
Очень важным свойством элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.
Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.
Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
Заметим, что элементами матрицы могут быть не только числа. Представим себе, что вы описываете книги, которые стоят на вашей книжной полке. Пусть у вас на полке порядок и все книги стоят на строго определенных местах. Таблица , которая будет содержать описание вашей библиотеки (по полкам и следованию книг на полке), тоже будет матрицей. Но такая матрица будет не числовой. Другой пример. Вместо чисел стоят разные функции, объединенные между собой некоторой зависимостью. Полученная таблица также будет называться матрицей. Иными словами, Матрица , это любая прямоугольная таблица , составленная из однородных элементов. Здесь и далее мы будем говорить о матрицах, составленных из чисел.
Вместо круглых скобок для записи матриц применяют квадратные скобки или прямые двойные вертикальные линии
 |
(2.1*) |
Определение 2 . Если в выражении (1) m = n , то говорят о квадратной матрице , а если , то о прямоугольной .
В зависимости от значений m и n различают некоторые специальные виды матриц:
Важнейшей характеристикой квадратной матрицы является ее определитель или детерминант , который составляется из элементов матрицы и обозначается
Очевидно, что D E =1 ; .
Определение 3 . Если , то матрица A называется невырожденной или не особенной .
Определение 4 . Если detA = 0 , то матрица A называется вырожденной или особенной .
Определение 5 . Две матрицы A и B называются равными и пишут A = B , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны, т.е .
Например, матрицы и равны, т.к. они равны по размеру и каждый элемент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матрицы. А вот матрицы и нельзя назвать равными, хотя детерминанты обеих матриц равны, и размеры матриц одинаковые, но не все элементы, стоящие на одних и тех же местах равны. Матрицы и разные, так как имеют разный размер. Первая матрица имеет размер 2х3, а вторая 3х2. Хотя количество элементов одинаковое – 6 и сами элементы одинаковые 1, 2, 3, 4, 5, 6, но они стоят на разных местах в каждой матрице. А вот матрицы и равны, согласно определению 5.
Определение 6 . Если зафиксировать некоторое количество столбцов матрицы A и такое же количество ee строк, тогда элементы, стоящие на пересечении указанных столбцов и строк образуют квадратную матрицу n - го порядка, определитель которой называется минором k – го порядка матрицы A .
Пример . Выписать три минора второго порядка матрицы
Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства.
Определитель матрицы n-го порядка. N, Z,Q, R,C,
Матрицей порядка m*n называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая m-строк и n - столбцов.
Равенство матриц:
Две матрицы называются равными, если число строк и столбцов одной из них равно соответственно числу строк и столбцов другой и соответст. эл-ты этих матриц равны.
Замечание: Эл-ты имеющие одинаковые индексы являются соответствующими.
Виды матриц:
Квадратная матрица: матрица называется квадратной, если число её строк равно числу столбцов.
Прямоугольная: матрица называется прямоугольной, если число строк не равно числу столбцов.
Матрица строка: матрица порядка 1*n (m=1) имеет вид a11,a12,a13 и называется матрицей строки.
Матрица столбец:………….
Диагональная: диагональ квадратной матрицы, идущая от верхнего левого угла к правому нижнему углу, то есть состоящая из элементов а11,а22……-называется главной диагональю. (опред: квадратная матрица все элементы которой равны нулю, кроме тех, что расположены на главной диагонали, называется диагональной матрицей.
Единичная: диагональная матрица называется единичной, если все элементы расположены на главной диагонали и равны 1.
Верхняя треугольная: А=||aij|| называется верхней треугольной матрицей, если aij=0. При условии i>j.
Нижняя треугольная: aij=0. i Нулевая: это матрица Эл-ты которой равны 0. Операции над матрицами. 1.Транспонирование. 2.Умножение матрицы на число. 3.Сложение матриц. 4.Умножение матриц. Основные св-ва действия над матрицами. 1.A+B=B+A (коммутативность) 2.A+(B+C)=(A+B)+C (ассоциативность) 3.a(A+B)=aA+aB (дистрибутивность) 4.(a+b)A=aA+bA (дистриб.) 5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (асооц.) 6.AB≠BA (отсутствует комму.) 7.A(BC)=(AB)C (ассоц.) –выполняется, если опред. Произведений матриц выполняется. 8.A(B+C)=AB+AC (дистриб.) (B+C)A=BA+CA (дистриб.) 9.a(AB)=(aA)B=(aB)A Определитель квадратной матрицы – определение и его свойства. Разложение определителя по строкам и столбцам. Способы вычисления определителей. Если матрица А имеет порядок m>1, то определитель этой матрицы – число. Алгебраическим дополнением Aij эл-та aij матрицы А называется минор Mij, умноженный на число ТЕОРЕМА1: Определитель матрицы А равен сумме произведений всех элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Основные свойства определителей. 1. Определитель матрицы не изменится при её транспонировании. 2. При перестановки двух строк (столбцов) определитель меняет знак, а абсолютная величина его не меняется. 3. Определитель матрицы, имеющий две одинаковые строки (столбцы) равен 0. 4.При умножении строки (столбца) матрицы на число её определитель умножается на это число. 5. Если одна из строк (столбцов) матрицы состоит из 0, то определитель этой матрицы равен 0. 6. Если все элементы i-ой строки (столбца) матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых, то её определитель можно представить в виде суммы определителей двух матриц. 7. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца (строки) прибавить соответственно эл-ты другого столбца (строки) предварительно умнож. на одно и того же число. 8.Сумма произвольных элементов какого либо столбца (строки) определителя на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другого столбца (строки) равна 0. https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27"> Способы вычисления определителя: 1. По определению или теореме 1. 2. Приведение к треугольному виду. Определение и свойства обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Матричные уравнения. Определение: Квадратная матрица порядка n, называется обратной к матрице А того же порядка и обозначается Для того чтобы для матрицы А существовала обратная матрица необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от 0. Свойства обратной матрицы: 1. Единственность: для данной матрицы А её обратная – единственная. 2. определитель матрицы 3. Операция взятия транспонирования и взятие матрицы обратной. Матричные уравнения: Пусть А и В две квадратные матрицы того же порядка. https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src="> Понятие линейной зависимости и независимости столбцов матрицы. Свойства линейной зависимости и линейной независимости системы столбцов. Столбцы А1,А2…Аn называются линейно зависимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу. Столбцы А1,А2…Аn называются линейно независимыми, если существует их не тривиальная линейная комбинация, равная 0-му столбцу. Линейная комбинация называется тривиальной, если все коэффициенты С(l) равны 0 и не тривиальной в противном случае. https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24"> 2.для того чтобы столбцы были линейно зависимы необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь столбец являлся линейной комбинацией других столбцов. Пусть 1 из столбцов https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src=">является линейной комбинацией других столбцов. https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> линейно зависимы, то и все столбцы линейно зависимы. 4. Если система столбцов линейно независима, то любая её подсистема так же линейно независима. (Всё что сказано относительно столбцов, справедливо и для строк). Миноры матрицы. Базисные миноры. Ранг матрицы. Метод окаймляющих миноров вычисления ранга матрицы. Минором порядка к матрицы А называется определитель элементы которого расположены на пересечении к-строк и к-стролбцов матрицы А. Если все миноры к-го порядка матрицы А =0, то любой минор порядка к+1 тоже равен 0. Базисный минор. Рангом матрицы А называется порядок её базисного минора. Метод окаймляющих миноров: - Выбираем не нулевой элемент матрицы А (Если такого элемента не существует, то ранг А =0) Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка. (Если этот минор не равен 0, то ранг >=2) Если ранг этого минора =0, то окаймляем выбранный минор 1-го порядка другими минорами 2-го порядка. (Если все миноры 2-го порядка =0, то ранг матрицы = 1). Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы. Рангом матрицы А называется порядок его базисного минора. Способы вычисления: 1) Метод окаймляющих миноров: -Выбираем ненулевой элемент матрицы А (если такого элемента нет, то ранг =0) – Окаймляем минор предыдущий 1-го порядка минором 2-го порядка..gif" width="40" height="22">r+1 Mr+1=0. 2)Приведение матрицы к ступенчатому виду: этот метод основан на элементарных преобразованиях. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Элементарными преобразованиями называются следующие преобразования: Перестановка двух строк (столбцов). Умножение всех элементов некоторого столбца (строки) на число не =0. Прибавление ко всем элементам некоторого столбцы (строки) элементов другого столбца (строки), предварительно умноженных на одно и тоже число. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Базисным минором матрицы А называется минор наибольшего к-го порядка отличного от 0. Теорема о базисном миноре: Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Замечания: Строки и столбцы на пересечении которых стоит базисный минор называются соответственно базисными строками и столбцами. a11 a12… a1r a1j a21 a22….a2r a2j a31 a32….a3r a3j ar1 ar2 ….arr arj ak1 ak2…..akr akj Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя: Для того чтобы определитель n-го порядка =0, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы. Системы линейных уравнений, их классификация и формы записи. Правило Крамера. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="l14image048" width="64" height="38 id="> называется определителем системы. Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="l14image052" width="93" height="22 id="> Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31: https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="l14image056" width="247" height="31 id="> Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="l14image060" width="324" height="42 id="> Аналогично можно показать, что и . Наконец несложно заметить, что Таким образом, получаем равенство: . Следовательно, . Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы. Системы линейных уравнений. Условие совместимости линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Решением системы алгебраических уравнений называется такая совокупность n чисел C1,C2,C3……Cn, которая при подстановки в исходную систему на место x1,x2,x3…..xn обращает все уравнения системы в тождества. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленно много решений. Условия совместности систем линейных алгебраических уравнений. a11 a12 ……a1n x1 b1 a21 a22 ……a2n x2 b2 ……………….. .. = .. am1 am2…..amn xn bn ТЕОРЕМА: Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу матрицы А. Замечание: Эта теорема даёт лишь критерии существования решения, но не указывает способа отыскивания решения. 10 вопрос. Системы линейных уравнений. Метод базисного минора - общий метод отыскивания всех решений систем линейных уравнений. A=a21 a22…..a2n Метод базисного минора: Пусть система совместна и RgA=RgA’=r. Пусть базисный минор расписан в верхнем левом углу матрицы А. https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src=">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n) … = ………….. Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n) https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src="> Замечания: Если ранг основной матрицы и рассматриваемой равен r=n, то в этом случае dj=bj и система имеет единственное решение. Однородные системы линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. AX=0 – однородная система. АХ =В – неоднородная система. Однородные системы всегда совместны. Х1 =х2 =..=хn =0 Теорема 1. Однородные системы имеют неоднородные решения, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных. Теорема 2. Однородная система n-линейных уравнений с n-неизвестными имеет не нулевое решение, когда определитель матрицы А равен нулю. (detA=0) Свойства решений однородных систем. Любая линейная комбинация решения однородной системы сама является решением этой системы. α1C1 +α2C2 ; α1 и α2– некоторые числа. А(α1C1 +α2C2) = А(α1C1) +А(α2C2) = α1(А C1) + α2(АC2) = 0,т. к. (А C1) = 0; (АC2) = 0 Для неоднородной системы это свойство не имеет места. Фундаментальная система решений. Теорема 3. Если ранг матричной системы уравнения с n-неизвестными равен r, то эта система имеет n-r линейно-независимых решений. Пусть базисный минор в левом верхнем углу. Если r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1,0..0) C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0) <= Линейно-независимы. …………………….. Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1) Система n-r линейно-независимых решений однородной системы линейных уравнений с n-неизвестными ранга r называется фундаментальной системой решений. Теорема 4. Любое решение системы линейных уравнений есть линейная комбинация решения фундаментальной системы. С = α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r Если r 12 вопрос. Общее решение неоднородной системы. Сон (общ. неоднор.) = Соо +Сч (частное) АХ=В (неоднородная система) ; АХ= 0 (АСоо) +АСч = АСч = В, т. к. (АСоо) = 0 Сон= α1C1 +α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Сч Метод Гаусса. Это метод последовательных исключений неизвестных (переменных) – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований, исходная система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних переменных, находят все остальные переменные. Пусть а≠0 (если это не так, то перестановкой уравнений добиваются этого). 1)исключаем переменную х1 из второго, третьего…n-ого уравнения, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя полученные результаты ко 2-ому, 3-ему…n-ому уравнению, тогда получаем: Получаем систему равносильную исходной. 2)исключаем переменную х2 3) исключаем переменную х3 и т. д. Продолжая процесс последовательного исключения переменных х4;х5...хr-1 получим для (r-1)-ого шага. Число ноль последних n-r в уравнениях означают, что их левая часть имеет вид: 0х1 +0х2+..+0хn Если хотя бы одно из чисел вr+1, вr+2… не равны нулю, то соответственное равенство противоречиво и система (1) не совместна. Таким образом, для всякой совместной системы эта вr+1 … вm равна нулю. Последнее n-r уравнение в системе (1;r-1) являются тождествами и их можно не принимать во внимание. Возможны два случая: а)число уравнений системы (1;r-1) равно числу неизвестных, т. е. r=n (в этом случае система имеет треугольный вид). б)r Переход от системы (1) к равносильной ей системе (1;r-1) называется прямым ходом метода Гаусса. О нахождение переменной из системы (1;r-1) – обратным ходом метода Гаусса. Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя их не с уравнениями, а с расширенной матрицей их коэффициентов. 13 вопрос. Подобные матрицы. Будем рассматривать только квадратные матрицы порядка n/ Матрица А называется подобной матрице В (А~В), если существует такая неособенная матрица S, что А=S-1BS. Свойства подобных матриц. 1)Матрица А подобна сама себе. (А~А) Если S=Е, тогда ЕАЕ=Е-1АЕ=А 2)Если А~В, то В~А Если А=S-1ВS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B 3)Если А~В и одновременно В~С, то А~С Дано, что А=S1-1BS1, и В=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, где S3 = S2S1 4)Определители подобных матриц равны. Дано, что А~В, надо доказать, что detA=detB. A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (сокращаем) = detB. 5)Ранги подобных матриц совпадают. Собственные векторы и собственные значения матриц. Число λ называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор Х(матр. столбец) такой, что АХ= λ Х, вектор Х называется собственным вектором матрицы А, а совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы А. Свойства собственных векторов. 1)При умножении собственного вектора на число получим собственный вектор с тем же собственным значением. АХ= λ Х; Х≠0 α Х => А(α Х) = α (АХ) = α(λ Х) = = λ (αХ) 2) Собственные векторы с попарно-различными собственными значениями линейно независимы λ1, λ2,.. λк. Пусть система состоит из 1-ого вектора, сделаем индуктивный шаг: С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn = 0 (1) – умножаем на А. С1 АХ1 +С2 АХ2 + .. +Сn АХn = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0 Умножаем на λn+1 и вычтем С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn Хn+ Сn+1 Хn+1 = 0 С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0 C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0 Надо чтобы С1 =С2 =… = Сn = 0 Сn+1 Хn+1 λn+1 =0 Характеристическое уравнение. А-λЕ называется характеристической матрицей для матрицы А. Для того, чтобы ненулевой вектор Х был собственным вектором матрицы А, соответствующий собственному значению λ необходимо чтобы он являлся решением однородной системы линейно-алгебраических уравнений (А - λЕ)Х = 0 Нетривиальное решение система имеет тогда, когда det (А - XЕ) = 0 - это характеристическое уравнение. Утверждение! Характеристические уравнения подобных матриц совпадают. det(S-1AS – λЕ) = det(S-1AS – λ S-1ЕS) =det(S-1 (A – λЕ)S) = det S-1 det(A – λЕ) detS= det(A – λЕ) Характеристический многочлен. det(A – λЕ)- функция относительно параметра λ det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA Этот многочлен и называется характеристическим многочленом матрицы А. Следствие: 1)Если матрицы А~В, то сумма их диагональных элементов совпадает. a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn 2)Множество собственных значений подобных матриц совпадают. Если характеристические уравнения матриц совпадают, то они необязательно подобны. Для матрицы А Для матрицы В https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38"> Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0 Для того чтобы матрица А порядка n была диагонализируема, необходимо, чтобы существовали линейно-независимые собственные вектора матрицы А. Следствие. Если все собственные значения матрица А различны, то она диагонализируема. Алгоритм нахождения собственных векторов и собственных значений. 1)составляем характеристическое уравнение 2)находим корни уравнений 3)составляем систему уравнений для определения собственного вектора. λi (A-λi E)X = 0 4)находим фундаментальную систему решений x1,x2..xn-r, где r - ранг характеристической матрицы. r =Rg(A - λi E) 5)собственный вектор, собственные значения λi записываются в виде: X = С1 Х1 +С2 Х2 + .. +Сn-r Хn-r, где С12 +С22 +… С2n ≠0 6)проверяем, может ли матрица быть приведена к диагональному виду. 7)находим Ag Ag = S-1AS S= 15 вопрос. Базис прямой, плоскости, пространства. https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│, ││). Модуль вектора равен нулю, тогда, когда этот вектор нулевой (│ō│=0) 4.Орт вектора. Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице. Равные вектора имеют равные орты. 5.Угол между двумя векторами. Это меньшая часть площади, ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и направленные одинаково с данными векторами. Сложение векторов. Умножение вектора на число. 1)Сложение двух векторов https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │ 2)Умножение вектора на скаляр. Произведением вектора и скаляра называют новый вектор, который имеет: а) = произведения модуля умножаемого вектора на абсолютную величину скаляра. б) направление одинаковое с умножаемым вектором, если скаляр положителен, и противоположное, если скаляр отрицателен. λ а(вектор)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │ Свойства линейных операций над векторами. 1.Закон коммунитативности. 2. Закон ассоциативности. 3. Сложение с нулем. а(вектор)+ō= а(вектор) 4.Сложение с противоположным. 5. (αβ) = α(β) = β(α) 6;7.Закон дистрибутивности. Выражение вектора через его модуль и орт. Максимальное число линейно-независимых векторов называются базисом. Базисом на прямой является любой ненулевой вектор. Базисом на плоскости являются любые два некаллениарных вектора. Базисом в пространстве является система любых трех некомпланарных векторов. Коэффициент разложения вектора по некоторому базису называется компонентами или координатами вектора в данном базисе. https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> выполнить действие сложения и умножения на скаляр, то в результате любого числа таких действий получим: λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная ō. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> называются линейно-НЕзависимыми, если не существует их нетривиальная линейная комбинация. Свойства линейно-зависимых и Независимых векторов: 1)система векторов, содержащая нулевой вектор линейно-зависима. λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> были линейно-зависимыми, необходимо, чтобы какой-нибудь вектор являлся линейной комбинацией других векторов. 3)если часть векторов из системы а1(вектор), а2(вектор)… ак(вектор) линейно-зависимы, то и все вектора линейно-зависимы. 4)если все вектора https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">) Линейные операции в координатах. https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src="> Свойства скалярного произведения: 1. Комутативность 3. (a;b)=0, тогда и только тогда, когда векторы ортоганальны или какой нибудь из векторов равен 0. 4. Дистрибутивность (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c) 5. Выражение скалярного произведения a и b через их координаты https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src="> При выполнении условия () , h, l=1,2,3 https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> и называется третий вектор который удовлетворяет следующим уравнениям: 3. – правая Свойства векторного произведения: 4. Векторное произведение координатных ортов Ортонормированый базис. https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src="> Часто для обозначения ортов ортонормированного базиса используются 3 символа https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src="> Если - это ортонормированный базис, то https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- уравнение прямой параллельной оси ОХ 2) - уравнение прямой параллельной оси ОУ 2. Взамное расположение 2-х прямых. Теорема 1 Пусть относительно аффинной системы координат даны уравнения прямых А) Тогда необходимое и достаточное условие когда они пересекаются имеет вид: Б) Тогда необходимое и достаточное условие того что прямые паралельны является условие: B) Тогда необходимым и достаточным условием того что прямые сливаются в одну является условие: 3. Расстояние от точки до прямой. Теорема. Расстояние от точки до прямой относительно декартовой системы координат: https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src="> 4. Угол между двумя прямыми. Условие перпендикулярности. Пусть 2 прямые заданы относительно декартовой системы координат общими уравнениями. https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src="> Если , то прямые перпендикулярны. 24 вопрос. Плоскость в пространстве. Условие комплонарности вектора и плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. 1. Условие комплонарности вектора и плоскости. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="Безымянный4.jpg" width="111" height="39"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="Безымянный5.jpg" width="88" height="57"> https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src="> 3. Угол между 2-я плоскостями. Условие перпендикулярности. https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src="> Если , то плоскости перпендикулярны. 25 вопрос. Прямая линя в пространстве. Различные виды уравнения прямой линии в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19"> 2. Векторное уравнение прямой в пространстве. https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src="> 4. Каноническое уравнение прямое. https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src="> https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="Безымянный3.jpg" width="56" height="51"> Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.
При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи. Матрицей называется
прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m
строк и некоторое количество п
столбцов. Числа т
и п
называются порядками матрицы. В случае, если т
= п,
матрица называется квадратной, а число m = n -
ее порядком. В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки: Или Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a ij ||
, а иногда с разъяснением: А
= || a ij ||
= (a ij),
где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).
Числа a ij ,
входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij
первый индекс і
означает номер строки, а второй индекс j
- номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а 11 а 12 …
a nn
идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а n 1 а (n -1)2
…
a 1 n ,
идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол. Основные операции над матрицами и их свойства.
Перейдем к определению основных операции над матрицами. Сложение матриц.
Суммой двух матриц A = || a ij || ,
где и В = || b ij || ,
где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n)
одних и тех же порядков т
и п
называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п)
тех же порядков т
и п,
элементы с ij
которой определяются по формуле ,
где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n)
(1.2) Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В.
Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению: Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно: 1) переместительным свойством: А + В = В + А,
2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).
Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n)
, элементы которой определяются по формуле: ,
где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n)
(1.3) Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A
или С = А l.
Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число. Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами: 1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (l m) A = l (m A);
2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;
3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A
Замечание.
Разностью двух матриц А
и В
одинаковых порядков т
и п
естественно назвать такую матрицу С
тех же порядков т
и п,
которая в сумме с матрицей B
дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A - В.
Очень легко убедиться в том, что разность С
двух матриц А
и В
может быть получена по правилу С = A + (–1) В.
Произведение матриц
или перемножение матриц.
Произведением матрицы A = || a ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n)
имеющей порядки, соответственно равные т
и n,
на матрицу В = || b ij || ,
где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р),
имеющую порядки, соответственно равные n
и р,
называется матрица С = || c ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р)
, имеющая порядки, соответственно равные т
и р
элементы которой определя-ются по формуле: Для обозначения произведения матрицыі А
на матрицу В
используют запись С = А × В
. Операция составления произведения матрицы А
на матрицу В
называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В,
необходимо, чтобы число столбцов матрицы А
было равно числу строк матрицы В.
Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А
на матрицу В.
Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c i j стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.
В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка. × = Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А
на матри-цу В:
1) сочетательное свойство: (А В) С = А (В С);
2) распределительное относительно суммы матриц свойство: (A + B) С = А С + В С или A (В + С) = A В + А С.
Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A
на матрицу В
имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В
одинакового порядка. Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими. Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п
имеет вид D = где d 1 , d 2 ,
…
, d n
-какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d 1 = d 2 =
… =
d n
то для любой квадратной матрицы А
порядка п
справедливо равенство А D = D А.
Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d 1 = d 2 =
… =
d n =
= d
особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1,
называется единичной матрицей n
Е.
Вторая матрица получается при d = 0
, называется нулевой матрицей n
-го порядка и обозначается символом O.
Таким образом, E = В силу доказанного выше А Е = Е А
и А О = О А.
Более того, легко показать, что А Е = Е А = А, А О = О А = 0.
(1.6) Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е,
аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О,
то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство А + 0 = 0 + А = А. В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую
матрицу, все элементы которой равныї нулю). Блочные матрицы
Предположим, что некоторая матрица A = || a ij ||
при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А
как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А
= || A a b ||
, элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй - номер «блочного» столбца. Например, матрицу
можно рассматривать как блочную матрицу элементами которой служат следующие блоки: Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки. Понятие определителя.
Рассмотрим произвольную квадратную матрицу любого порядка п:
A = С каждой такой матрицей свяжем вполне определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. Если порядок n
матрицы (1.7) равен единице, то эта матрица состоит из одного элемен-та а i
j определителем первого порядка соответствующим такой матрице, мы назовем величину этого элемента. то определителем второго порядка, соответствующим такой матрице, назовем число, равное а 11 а 22 - а 12 а 21
и обозначаемое одним из символов: Итак, по определению Формула (1.9) представляет собой правило составления определителя второго порядка по элементам соответствующей ему матрицы. Словесная формулировка этого правила такова: определитель второго порядка, соответствующий матрице (1.8), равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали этой матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной ее диагонали. Определители второго и более высоких порядков находят широкое применение при решении систем линейных уравнений. Рассмотрим, как выполняются операции с матрицами в системе MathCad
. Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCad в виде операторов. Написание операторов по смыслу максимально приближено к их математическому действию. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Рассмотрим матричные и векторные операции MathCad 2001. Векторы являются частным случаем матриц размерности n x 1,
поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены (например, некоторые операции применимы только к квадратным матрицам n x n
). Какие-то действия допустимы только для векторов (например, скалярное произведение), а какие-то, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы. q После нажатия кнопки OK открывается поле для ввода элементов матрицы. Для того, чтобы ввести элемент матрицы, установите курсор в отмеченной позиции и введите с клавиатуры число или выражение. Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно: q выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции, q или щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы. Меню “Символы” содержит три операции - транспонирование, инвертирование, определитель
. Это означает, например, что вычислить определитель матрицы можно, выполнив команду Символы/Матрицы/Определитель
. Номер первой строки (и первого столбца) матрицы MathCAD хранит в переменной ORIGIN. По умолчанию отсчет ведется от нуля. В математической записи чаще принято вести отсчет от 1. Для того, чтобы MathCAD вел отсчет номеров строк и столбцов от 1, нужно задать значение переменной ORIGIN:=1. Функции, предназначенные для работы с задачами линейной алгебры, собраны в разделе “Векторы и матрицы” диалога “вставить функцию” (напоминаем, что он вызывается кнопкой на панели “Стандартные”). Основные из этих функций будут описаны позже. Транспонирование
Похожая информация. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра)
имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков. Матрицей A=A mn
порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов
. Элементы матрицы a ij ,
у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ
. Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a 11 , a 22 ,..., a nn . Равенство матриц.
A=B
, если порядки матриц A
и B
одинаковы и a ij =b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
Действия над матрицами.
1. Сложение матриц - поэлементная операция 2. Вычитание матриц - поэлементная операция 3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция 4. Умножение A*B
матриц по правилу строка на столбец
(число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) A mk *B kn =C mn
причем каждый элемент с ij
матрицы C mn
равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е. Покажем операцию умножения матриц на примере 5. Возведение в степень m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц 6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A" Строки и столбцы поменялись местами Пример
Свойства опрераций над матрицами
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(λA)"=λ(A)"
(A+B)"=A"+B"
(AB)"=B"A"
Виды матриц
1. Прямоугольные: m
и n
- произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n
3. Матрица строка: m=1
. Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1
. Например 5. Диагональная матрица: m=n
и a ij =0
, если i≠j
. Например 6. Единичная матрица: m=n
и 7. Нулевая матрица: a ij =0, i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0. 9. Симметрическая матрица: m=n
и a ij =a ji
(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A"=A
Например, 10. Кососимметрическая матрица: m=n
и a ij =-a ji
(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j
имеем a ii =-a ii
) Ясно, A"=-A
11. Эрмитова матрица: m=n
и a ii =-ã ii
(ã ji
- комплексно - сопряженное к a ji
, т.е. если A=3+2i
, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i
)
(1.1) + 
= 
где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)
(1.4)
(1.5)
O = 
(1.7)
(1.9)
В появившемся диалоге задайте число строк и столбцов матрицы.
Рис.2 Транспонирование матриц
В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются символы <+>
или <->
соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (пример на рис.3).
Кроме сложения матриц, MathCAD поддерживает операцию сложения матрицы со скалярной величиной, т.е. числом (пример на рис.4). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответст-вующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.
Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой <*> или воспользоваться панелью инструментовMatrix (Матрица),
нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение)
(рис.1). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой, как показано в примере на рис 6. Символ умножения матриц можно выбирать точно так же, как и в скалярных выражениях.
Еще один пример, относящийся к умножению вектора на матрицу-строку и, наоборот, строки на вектор, приведен на рис. 7. Во второй строке этого примера показано, как выглядит формула при выборе отображения оператора умноженияNo Space (Вместе).
Однако тот же самый оператор умножения действует на два вектора по-другому.
