Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:
Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Согласно формуле (2) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, . Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг (в системе МКГСС - ).
Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. д.).
Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами:
Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством
где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.
Зная радиус инерции, можно по формуле (4) найти момент инерции тела и наоборот.
Формулы (2) и (3) справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве (2), обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где - плотность, а V - объем, получим
Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы (3) для сплошных тел примут вид
Формулами (5) и (5) удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла.
Найдем моменты инерции некоторых однородных тел.
1. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А (рис. 275). Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате формула (5) дает
Заменяя здесь его значением, найдем окончательно
2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С (рис. 276).
Так как все точки кольца находятся от оси на расстоянии то формула (2) дает
Следовательно, для кольца
Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.
3. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр (см. рис. 276). Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной (рис. 277, а). Площадь этого кольца , а масса где - масса единицы площади пластины. Тогда по формуле (7) для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение - это мера инертности тела, совершающего вращательные движения.
Момент инерции является скалярной (в общем случае тензорной) физической величиной, которую находят как сумму произведений масс материальных точек () (на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела) на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
Если тело считают непрерывным, то суммирование в выражении (1) заменяется интегрированием, массы элементов тела обозначают как :
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела. Если тело является однородным:
Момент инерции материальной точки
Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:
где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной.
Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции () отдельных точек:
Примеры моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тонкого стержня вращающегося около оси, проходящей через его один конец и перпендикулярно стержню, равен:
Момент инерции прямого круглого конуса, массы высоты h и радиуса r вращающегося около своей оси:
Момент инерции однородного твердого параллелепипеда, c геометрическими параметрами и массой m вращающегося относительно своей самой длинной диагонали, вычисляют по формуле:
Момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m, ширины w и длины d, вращающейся относительно оси, которая проходит через точку пересечения диагоналей этого прямоугольника перпендикулярно плоскости пластины:
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Примеры формул для вычисления моментов инерции других тел можно посмотреть в разделе . В этом же разделе можно ознакомиться с теоремой Штейнера.
Примеры решения задач по теме «Момент инерции»
ПРИМЕР 1
| Задание | Два малых шарика массой m каждый соединены тонким невесомым стержнем, длина которого равна Каким будет момент инерции системы относительно оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс сиcтемы?
|
| Решение | Для решения задачи используем формулу для момента инерции одной материальной точки:
где расстояние от точки до оси вращения равно . Следовательно, формула (1.1) преобразуется к виду:
Так как массы первой и второй материальных точек равны, равны расстояния от каждой из них до оси вращения, то: Момент инерции является аддитивной величиной, значит, момент инерции двух точек найдем как сумму и :
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции системы, которая изображена на рис.2 и состоит из двух тонких стержней с массами m. Угол между стержнями прямой. Длины стержней равны l. Ось вращения параллельна одному из стержней (рис.2).
|
| Решение | Момент инерции системы можно найти как сумму моментов инерции каждого стержня относительно оси вращения:
Момент инерции () для горизонтального стержня равен: |
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы : определить момент инерции физического маятника в виде стержня с грузами по периоду собственных колебаний.
Оборудование : маятник, секундомер.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Момент инерции твердого тела – это мера инертности тела при его вращательном движении. В этом смысле он является аналогом массы тела, которая является мерой инертности тела при поступательном движении. Согласно определению, момент инерции тела равен сумме произведений масс частиц тела m i на квадраты их расстояний до оси вращения r i 2:
, или .(1)
Момент инерции зависит не только от массы, но и от ее распределения относительно оси вращения. Как видно, инертность при вращении тела тем больше, чем дальше от оси расположены частицы тела.
Существуют различные экспериментальные методы определения момента инерции тел. В работе предлагается метод определения момента инерции по периоду собственных колебаний исследуемого тела как физического маятника. Физический маятник – это тело произвольной формы, точка подвеса которого расположена выше центра тяжести. Если в поле тяжести маятник отклонить от положения равновесия и отпустить, то под действием силы тяжести маятник стремится к положению равновесия, но, достигнув его, по инерции продолжает движение и отклоняется в противоположную сторону. Затем процесс движения повторяется в обратном направлении. В итоге маятник будет совершать вращательные собственные колебания.
Для вывода формулы момента инерции маятника через период собственных колебаний применим основной закон динамики вращательного движения : угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту силы и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:
 |
Момент силы по определению равен произведению силы на плечо силы. Плечо силы – это перпендикуляр, опущенный из оси вращения на линию действия силы. Для маятника (рис. 1а) плечо силы тяжести равно d = а sina, где а – расстояние между осью вращения и центром масс маятника. При малых колебаниях маятника угол отклонения a сравнительно мал, а синусы малых углов с достаточной точностью равны самим углам. Тогда момент силы тяжести можно определить по формуле М = −mgа∙a . Знак минус обусловлен тем, что момент силы тяжести противодействует отклонению маятника.
Так как угловое ускорение – это вторая производная от угла поворота по времени, то основной закон динамики вращательного движения (1) принимает вид
.
(3)
Это дифференциальное уравнение второго порядка. Его решением должна быть функция, превращающая при подстановке уравнение в тождество. Как видно из уравнения (3), для этого функция решения и ее вторая производная должны иметь одинаковый вид. В математике такой функцией может быть функция косинуса, синуса
a = a 0 sin(w t + j ), (4)
при условии, если циклическая частота равна 
. Циклическая частота связана с периодом колебаний
, то есть временем одного колебания, соотношением T =
2p /w.
Отсюда
Период колебаний Т и расстояние от оси вращения до центра тяжестимаятника а измерить можно. Тогда из (5) момент инерции маятника относительно оси вращения С может быть определен экспериментально по формуле
. (6)
Маятник, момент инерции которого определяется в работе, представляет собой стержень с надетыми на него двумя дисками. Теоретически момент инерции маятника можно определить как сумму моментов инерции отдельных частей. Момент инерции дисков можно рассчитать по формуле момента инерции материальной точки, так как они невелики по сравнению с расстоянием до оси вращения: , .
Момент инерции стержня относительно оси, находящейся на расстоянии b
от середины стержня, можно определить по теореме Штейнера 
. В итоге суммарный момент инерции маятника можно теоретически рассчитать по формуле
. (7)
Здесь m 1 , m 2 и m 0 – массы первого, второго дисков и стержня, l 1 , l 2 – расстояния от середин дисков до оси вращения, l 0 – длина стержня.
Расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника а , необходимое для экспериментального определения момента инерции в формуле (6), можно определить, используя понятие центра тяжести. Центр тяжести тела – это точка, к которой приложена равнодействующая сила тяжести. Поэтому если маятник положить горизонтально на опору, расположенную под центром тяжести, то маятник будет в равновесии. Затем достаточно измерить расстояние от оси С до опоры.
Но можно определить расстояние а расчетом. Из условия равновесия маятника на опоре (рис. 1б) следует, что момент результирующей силы тяжести относительно оси С (m 1 +m 2 + m 0)gа равен сумме моментов сил тяжести грузов и стержня m 1 gl 1 + m 2 gl 2 + m 0 gb . Откуда получим
. (8)
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
1. Взвешиванием на весах определить массы дисков и стержня. Расположить на стержне и закрепить диски. Измерить расстояния от оси вращения до середин дисков l 1 , l 2 и до середины стержня b , длину стержня l 0 по сантиметровым делениям на стержне. Результаты измерений записать в табл. 1.
Таблица 1
2.Включить электронный блок в сеть 220 В.
Измерить период колебаний. Для этого отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол и отпустить. Нажать кнопку Пуск
секундомера. Чтобы измерить время t
, например, десяти колебаний, следует после девятого колебания нажать кнопку Стоп.
Период равен
Т = t/
10.
Записать результат в табл. 2, нажать кнопку Сброс
. Опыт повторить не менее трех раз при других углах отклонения маятника.
Выключить установку.
4. Произвести расчеты в системе СИ. Определить среднее значение <Т > периода колебаний. Определить расстояние а от оси до центра тяжести маятника по формуле (8), или положить маятник на опору так, чтобы он находился в равновесии, и по делениям на стержне измерить расстояние а .
| а , м | Т 1 , с | Т 2 , с | Т 3 , с | <T >,с | | J теор, кг∙м 2 |
Таблица 2
5. Определить среднее экспериментальное значение момента инерции маятника <J экс > по формуле (6) по среднему значению периода колебаний <T >.
6. Определить теоретическое значение момента инерции маятника J теор по формуле (7).
7. Сделать вывод, сравнив теоретическое и экспериментальное значения момента инерции маятника. Оценить погрешность измерения D J =
8. Записать результат в виде J эксп = < J > ±D J .
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение физического маятника, объясните, почему возможны собственные колебания маятника.
2. Запишите основной закон динамики вращательного движения для физического маятника.
Что такое инерция?
Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.
Определение момента инерции
Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.
В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.
Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:
J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.
Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:
Теорема Гюйгенса – Штейнера
Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.
Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:
Где d – расстояние между осями
Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.
Моменты инерции простейших объектов
Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.
Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.
Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.
Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.
- Тарг С. М. Момент инерции // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1992. - Т. 3. - С. 206-207. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3.
- Showman, Adam P.; Malhotra, Renu. The Galilean Satellites (англ.) // Science. - 1999. - Vol. 286, no. 5437. - P. 77-84. - DOI:10.1126/science.286.5437.77. - PMID 10506564.
- Margot, Jean-Luc; et al. Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data (англ.) // Journal of Geophysical Research (англ.)русск. : journal. - 2012. - Vol. 117. - DOI:10.1029/2012JE004161.
- Галкин И.Н. Внеземная сейсмология. - М.: Наука, 1988. - С. 42-73. - 195 с. - (Планета Земля и Вселенная). - 15 000 экз. - ISBN 502005951X.
- Матвеев. А. Н. Механика и . М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. - 432с.)
- Трофимова Т. И. Курс физики. - 7-е изд. - М.: Высшая школа, 2001. - 542 с.
- Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392с.
- Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие - М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
Момент инерции, видео
И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.
English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。
Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.
You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.
