Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.
Формулы для выражения длины медианы
- Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:
где a, b и c - стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.
- Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.
Основные свойства
- Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
- Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
- Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
- Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
- В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
- Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
- Пусть O - точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.
- Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.
Свойства сторон, к которым проведена медиана
- Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.
В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.
Данная страница посвящена достаточно распространенному информационному ресурсу - описанию и расчету площади произвольного треугольника. Отличие от других ресурсов, это расчет площади онлайн, непосредственно в процессе прочтения статьи
Площадь через высоту и основание
Это самая простая для запоминания формула. Словами эта формула звучит так - площадь треугольника равна половине произведения основания треугольника на его высоту.
В случае прямоугольного треугольника это выражение приобретает еще более простой смысл: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух катетов
площадь через стороны треугольника
Площадь треугольника выраженная через стороны известна очень давно - она фигурирует в книгах, датированных 1 веком до нашей эры.
Эту формулу можно выразить по разному, благо формул расчета параметров треугольника достаточно.
Но если попытаться мыслить категориями времен до нашей эры, когда не было формул в современном преставлении, не было переменных и знаков корня, то единственной аксимомой, на базе которого, Герон, создал свою формулу, была теорема Пифагора. А так как в те времена, еще не знали иррациональных чисел, да к отрицательным у ученых было достаточно скептическое видение, то для размышлений использовались целые числа.
Самого доказательства здесь не будет, предположив только что Герон, дополнял произвольный пифагоровый треугольник до прямоугольника высчитывал его площадь, и делил на два.
Площадь через координаты вершин
Когда известны координаты вершин треугольника, формула площади может быть выражена вот такой формулой
Определитель третьего порядка легко раскладывается, и поэтому расчет площади даже в ручном режиме не вызовет никаких затруднений.
Площадь через две стороны и угол между ними
Площадь через сторону и два угла
Редко встречающаяся задача, но и для таких исходных данных высчитали формулу. Внимательный читатаель сразу видит "ошибку". Заголовок гласит, что площадь узнается через сторону и два угла, то есть через три переменных, а в формуле присутствут все четыре. Как же так?
На самом деле ошибки никакой нет, зная одну из основных аксиом треугольника, гласящая, что сумма внутренних углов треугольника всегда(!!) равна 180 градусов
Поэтому нет ничего сложного, зная два угла треугольника, узнать третий.
Площадь через медианы треугольника
| Медиана на сторону а | |
| Медиана на сторону b | |
| Медиана на сторону с |
Красивая формула не правда ли?
Содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы .
- Можно также ввести понятие внешней медианы треугольника.
Энциклопедичный YouTube
1 / 3
✪ МЕДИАНЫ биссектрисы и ВЫСОТЫ треугольника - 7 класс
✪ Медиана треугольника. Построение. Свойства.
✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс
Субтитры
Свойства
Основное свойство
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан равнобедренного треугольника
- В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой .
- Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник - равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
- У равностороннего треугольника все три медианы равны.
Свойства оснований медиан
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек : основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан ) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром , все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек ).
- Отрезок, проведенный через основания
двух любых медиан треугольника, является его средней линией
. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
Другие свойства
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний ), то его биссектриса , проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой , проведёнными из той же вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника .
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку - точку Лемуана .
- Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Основные соотношения
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) {\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}={\frac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} .
- Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
Урок 3
Медиана делит площадь треугольника пополам
Два треугольника называются равновеликими . Если они имеют одинаковую площадь.
Теорема 1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Доказательство:
Пусть ВМ – медиана треугольника АВС. Докажем, что
https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">
Проведем высоту BH треугольника АВС. Тогда
,
https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2 . Медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих треугольников.
Из теоремы, в частности следует, что если точку пересечения медиан треугольника соединить со всеми его вершинами, то треугольник разобьется на три равновеликие части.
Задача 1 Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 3 и 4. Найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть в треугольнике АВС медианы АМ и ВЕ равны 3 и 4 соответственно, , К – точка пересечения медиан.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.
Так как треугольник АВК прямоугольный с прямым углом ВКА, то 
.
Так как медиан делят треугольник на 6 равновеликих частей, то .
Ответ: 8
Задача 2 Медианы треугольника равны 6, 8 и 10, найти площадь треугольника.
Решение.
Пусть медианы А M , BE и CD данного треугольника соответственно равны 6, 8 и 10, К – точка их пересечения. Отложим на продолжении луча ВЕ за точку Е отрезок EF = KE . Соединим точки С, F и A.
Рассмотрим треугольник KAF .
https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">
https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, так как CKAE – параллелограмм (по признаку параллелограмма: ели диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, до данный четырехугольник параллелограмм), получаем 
.
Так как https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src=">, то по обратной теореме Пифагора (если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный) треугольник KAF – прямоугольный и .
Вычислим площадь треугольника AKF:
https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 height=41" height="41"> от площади самого треугольника.
Доказательство можно посмотреть, например, в методическом пособии «Опорные задачи по планиметрии».
Вопросы для самопроверки:
1. Какие треугольники называются равновеликими?
2. Площадь треугольника равна S. Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые его разбивает медиана, проведенная к какой-либо стороне этого треугольника?
3. На сколько равновеликих частей разбивают треугольник проведенные в нем три медианы?
4. Площадь треугольника равна S. Цент тяжести этого треугольника соединили с его вершинами. Чему равна площадь каждого из получившихся треугольников?
5. Площадь треугольника равна 48, чему равна площадь треугольника, составленного из медиан этого треугольника?
6. Площадь треугольника, составленного из медиан некоторого треугольника равна 24, чему равна площадь треугольника?
Посмотреть ответы.
Задачи для самостоятельного решения:
1. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны и равны соответственно 6 и 8. Найти площадь треугольника.
Посмотреть решение.
2. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 найти площадь треугольника.
Посмотреть решение.
3. Треугольник АВС, стороны которого 13 см, 14 см и 15 см, разбит на три треугольника отрезками, соединяющими точку М пересечения медиан треугольника с вершинами треугольника. Найти площадь треугольника ВМС.
Посмотреть решение.
4. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.
Посмотреть решение.
Свойства
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке , которая называется центроидом , и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
- При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
- Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.
Формулы
- Формула медианы через стороны (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
- Формула стороны через медианы:
Если две медианы перпендикулярны, то сумма квадратов сторон, на которые они опущены, в 5 раз больше квадрата третьей стороны.
Мнемоническое правило
Медиана-обезьяна,
у которой зоркий глаз,
прыгнет точно в середину
стороны против вершины,
где находится сейчас.
Примечания
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Медиана треугольника" в других словарях:
Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны в статистике медианой называется значение совокупности, делящее ранжированный ряд данных пополам Медиана (статистика) … … Википедия
Медиана: Медиана треугольника в планиметрии, отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Медиана (статистика) квантиль 0.5 Медиана (трасса) средняя линия трассы, проведённая между правым и левым … Википедия
Треугольник и его медианы. Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок. Содержание 1 Свойства 2 Формулы … Википедия
Линия, соединяющая вершину треугольника с серединой его основания. Полный словарь иностранных слов, вошедших в употребление в русском языке. Попов М., 1907. медиана (лат. mediana средняя) 1) геол. отрезок, соединяющий вершину треугольника с… … Словарь иностранных слов русского языка
Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так … Большая советская энциклопедия
Треугольника прямая (или ее отрезок внутри треугольника), соединяющая вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, к рая называется центром тяжести треугольника, центроидом, или… … Математическая энциклопедия
- (от лат. mediana средняя) отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Большой Энциклопедический словарь
МЕДИАНА, медианы, жен. (лат. mediana, букв. средняя). 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противолежащей стороны (мат.). 2. В статистике для ряда многих данных величина, обладающая тем свойством, что число данных,… … Толковый словарь Ушакова
МЕДИАНА, ы, жен. В математике: отрезок прямой линии, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова
МЕДИАНА (от лат. mediana средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны … Энциклопедический словарь
