Обозначение, запись и изображение числовых множеств. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексных чисел Геометрическое изображение рациональных чисел

Геометрически действительные числа, так же как и рациональные числа, изображаются точками прямой.

Пусть l - произвольная прямая, а О - некоторая ее точка (рис. 58). Каждому положительному действительному числу α поставим в соответствие точку А, лежащую справа от О на расстоянии в α единиц длины.

Если, например, α = 2,1356..., то

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

и т. д. Очевидно, что точка А в этом случае должна находиться на прямой l правее точек, соответствующих числам

2; 2,1; 2,13; ... ,

но левее точек, соответствующих числам

3; 2,2; 2,14; ... .

Можно показать, что эти условия определяют на прямой l единственную точку А, которую мы и рассматриваем как геометрический образ действительного числа α = 2,1356... .

Аналогично, каждому отрицательному действительному числу β поставим в соответствие точку В, лежащую слева от О на расстоянии в | β | единиц длины. Наконец, числу «нуль» поставим в соответствие точку О.

Так, число 1 изобразится на прямой l точкой А, находящейся справа от О на расстоянии в одну единицу длины (рис. 59), число - √2 - точкой В, лежащей слева от О на расстоянии в √2 единиц длины, и т. д.

Покажем, как на прямой l с помощью циркуля и линейки можно отыскать точки, соответствующие действительным числам √2, √3, √4, √5 и т. д. Для этого прежде всего покажем, как можно построить отрезки, длины которых выражаются этими числами. Пусть АВ есть отрезок, принятый за единицу длины (рис. 60).

В точке А восставим к этому отрезку перпендикуляр и отложим на нем отрезок АС, равный отрезку АВ. Тогда, применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ABC, получим; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1+1 = √2

Следовательно, отрезок ВС имеет длину √2. Теперь восставим перпендикуляр к отрезку ВС в точке С и выберем на нем точку D так, чтобы отрезок CD был равен единице длины АВ. Тогда из прямоугольною треугольника BCD найдем:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Следовательно, отрезок BD имеет длину √3. Продолжая описанный процесс дальше, мы могли бы получить отрезки BE, BF, ..., длины которых выражаются числами √4, √5 и т. д.

Теперь на прямой l легко найти те точки, которые служат геометрическим изображением чисел √2, √3, √4, √5 и т. д.

Откладывая, например, справа от точки О отрезок ВС (рис. 61), мы получим точку С, которая служит геометрическим изображением числа √2. Точно так же, откладывая справа от точки О отрезок BD, мы получим точку D", которая является геометрическим образом числа √3, и т. д.

Не следует, однако, думать, что с помощью циркуля и линейки на числовой прямой l можно найти точку, соответствующую любому заданному действительному числу. Доказано, например, что, имея в своем распоряжении только циркуль и линейку, нельзя построить отрезок, длина которого выражается числом π = 3,14 ... . Поэтому на числовой прямой l с помощью таких построений нельзя указать точку, соответствующую этому числу Тем не менее такая точка существует.

Итак, каждому действительному числу α можно поставить в соответствие некоторую вполне определенную точку прямой l . Эта точка будет отстоять от начальной точки О на расстоянии в | α | единиц длины и находиться справа от О, если α > 0, и слева от О, если α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . В самом деле, пусть числу α соответствует точка А, а числу β - точка В. Тогда, если α > β , то А будет находиться правее В (рис. 62, а); если же α < β , то А будет лежать левее В (рис. 62,б).

Говоря в § 37 о геометрическом изображении рациональных чисел, мы поставили вопрос: любую ли точку прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого рационального числа? Тогда мы не могли дать ответ на этот вопрос; теперь же мы можем ответить на него вполне определенно. На прямой есть точки, которые служат геометрическим изображением иррациональных чисел (например, √2). Поэтому не всякая точка прямой изображает рациональное число. Но в таком случае напрашивается другой вопрос: любую ли точку числовой прямой можно рассматривать как геометрический образ некоторого действительного числа? Этот вопрос решается уже положительно.

В самом деле, пусть А - произвольная точка прямой l , лежащая справа от О (рис. 63).

Длина отрезка ОА выражается некоторым положительным действительным числом α (см § 41). Поэтому точка А является геометрическим образом числа α . Аналогично устанавливается, что каждая точка В, лежащая слева от О, может рассматриваться как геометрический образ отрицательного действительного числа - β , где β - длина отрезка ВО. Наконец, точка О служит геометрическим изображением числа нуль. Понятно, что две различные точки прямой l не могут быть геометрическим образом одного и того же действительного числа.

В силу изложенных выше причин прямая, на которой указана в качестве «начальной» некоторая точка О (при заданной единице длины), называется числовой прямой .

Вывод. Множество всех действительных чисел и множество всех точек числовой прямой находятся во взаимно однозначном соответствии.

Это означает, что каждому действительному числу соответствует одна, вполне определенная точка числовой прямой и, наоборот, каждой точке числовой прямой при таком соответствии отвечает одно, вполне определенное действительное число.

Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

Рис. 8. Числовая ось

На некоторой прямой линии, «числовой оси», отметим отрезок от 0 до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно, положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем Если сделаем так для значений соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть «рациональными»; вообще термины «рациональное число» и «рациональная точка» будем употреблять как синонимы.

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства для натуральных чисел. На числовой оси это соотношение отражено следующим образом: если натуральное число А меньше, чем натуральное число В, то точка А лежит левее точки В. Так как указанное геометрическое соотношение устанавливается для любой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше, чем Рациональное число или что число В больше, чем число если разность положительна. Отсюда следует (при ), что точки (числа) между это те, которые

одновременно Каждая такая пара точек вместе со всеми точками между ними, называется сегментом (или отрезком) и обозначается (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком), обозначаемым

Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютным значением А и обозначается символом

Понятие «абсолютное значение» определяется следующим образом: если , то если то Ясно, что если числа имеют один и тот же знак, то справедливо равенство если же имеют разные знаки, то . Соединяя эти два результата вместе, мы приходим к общему неравенству

которое справедливо независимо от знаков

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число настолько большое, что интервал ( будет меньше, чем данный интервал ; тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

• N – множество всех натуральных чисел;
• Z – множество целых чисел;
• Q – множество рациональных чисел;
• J – множество иррациональных чисел;
• R – множество действительных чисел;
• C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

§1.1. Действительные числа
Первое знакомство с действительными числами происходит в школьном курсе математики. Всякое действительное число представляется конечной или бесконечной десятичной дробью.

Действительные (вещественные) числа делятся на два класса: класс рациональных и класс иррациональных чисел. Рациональными называются числа, которые имеют вид , где m и n – целые взаимно простые числа, но
. (Множество рациональных чисел обознается буквой Q ). Остальные действительные числа называются иррациональными . Рациональные числа представляются конечной или бесконечной периодической дробью (то же, что обыкновенные дроби), тогда иррациональными будут те и только те действительные числа, которые можно представить бесконечными непериодическими дробями.

Например, число
– рациональное, а
,
,
и т.п. – иррациональные числа.

Действительные числа можно также разделить на алгебраические - корни многочлена с рациональными коэффициентами (к ним относятся, в частности, все рациональные числа – корни уравнения
) – и на трансцендентные – все остальные (например, числа
и другие).

Множества всех натуральных, целых, действительных чисел обозначаются соответственно так: N Z , R
(начальные буквы слов Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Изображение действительных чисел на числовой оси. Интервалы

Геометрически (для наглядности) действительные числа изображают точками на бесконечной (в обе стороны) прямой линии, именуемой числовой осью . С этой целью на рассматриваемой прямой берётся точка (начало отсчёта – точка 0), указывается положительное направление, изображаемое стрелкой (обычно направо) и избирается единица масштаба, которую откладывают неограниченно в обе стороны от точки 0. Так изображаются целые числа. Чтобы изобразить число с одним десятичным знаком, надо каждый отрезок разделить на десять частей и т.д. Таким образом, каждое действительное число изобразится точкой на числовой оси. Обратно, каждой точке
соответствует действительное число, равное длине отрезка
и взятое со знаком «+» или «–», в зависимости от того, лежит ли точка правее или левее от начала отсчёта. Таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек числовой оси. Термины «действительное число» и «точка числовой оси» употребляются как синонимы.

Символом будем обозначать и действительное число, и точку, ему соответствующую. Положительные числа располагаются правее точки 0, отрицательные – левее. Если
, то на числовой оси точка лежит левее точки . Пусть точке
соответствует число , тогда число называется координатой точки , пишут
; чаще саму точку обозначают той же буквой , что и число. Точка 0 – начало координат. Ось обозначают тоже буквой (рис.1.1).

Рис. 1.1. Числовая ось.
Совокупность всех чисел, лежащих между данными числами и называется интервалом или промежутком; концы и ему могут принадлежать, а могут и не принадлежать. Уточним это. Пусть
. Совокупность чисел , удовлетворяющих условию
, называется интервалом (в узком смысле) или открытым интервалом, обозначается символом
(рис.1.2).

Рис. 1.2. Интервал
Совокупность чисел таких, что
называется замкнутым интервалом (отрезок, сегмент) и обозначается через
; на числовой оси отмечается так:

Рис. 1.3. Замкнутый интервал
От открытого промежутка он отличается лишь двумя точками (концами) и . Но это отличие принципиальное, существенное, как увидим в дальнейшем, например, при изучении свойств функций.

Опуская слова «множество всех чисел (точек) x таких, что» и т. п., отметим далее:

и
, обозначается
и
полуоткрытые, или полузамкнутые, интервалы (иногда: полуинтервалы);

или
означает:
или
и обозначается
или
;

или
означает
или
и обозначается
или
;

, обозначается
множество всех действительных чисел. Значки
символы «бесконечности»; их называют несобственными или идеальными числами.

§1.3. Абсолютная величина (или модуль) действительного числа
Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа называется само это число, если
или
если
. Обозначается абсолютная величина символом . Итак,

Например,
,
,
.

Геометрически означает расстояние точки a до начала координат. Если имеем две точки и , то расстояние между ними можно представить как
(или
). Например,
то расстояние
.

Свойства абсолютных величин.

1. Из определения следует, что

,
, то есть
.

2. Абсолютная величина суммы и разности не превосходит суммы абсолютных величин:
.

1) Если
, то
. 2) Если
, то . ▲

3.
.

, тогда по свойству 2:
, т.е.
. Аналогично, если представить
,то придём к неравенству
▲

4.
– следует из определения: рассмотреть случаи
и
.

5.
, при условии, что
Так же следует из определения.

6. Неравенство
,
, означает
. Этому неравенству удовлетворяют точки, которые лежат между
и
.

7. Неравенство
равносильно неравенству
, т.е. . Это есть интервал с центром в точке длины
. Он называется
окрестностью точки (числа) . Если
, то окрестность называется проколотой: это или
. (Рис.1.4).

8.
откуда следует, что неравенство
(
) равносильно неравенству
или
; а неравенство
определяет множество точек, для которых
, т.е. это точки, лежащие вне отрезка
, именно:
и
.

§1.4. Некоторые понятия, обозначения
Приведём некоторые широко применяемые понятия, обозначения из теории множеств, математической логики и других разделов современной математики.

1 . Понятие множества является одним из основных в математике, исходным, всеобщим – а потому не поддаётся определению. Его можно лишь описать (заменить синонимами): это есть собрание, совокупность каких-то объектов, вещей, объединённых какими-либо признаками. Объекты эти называются элементами множества. Примеры: множество песчинок на берегу, звёзд во Вселенной, студентов в аудитории, корней уравнения, точек отрезка. Множества, элементы которых суть числа, называются числовыми множествами . Для некоторых стандартных множеств вводятся специальные обозначения, например, N , Z , R - см. § 1.1.

Пусть A – множество и x является его элементом, тогда пишут:
; читается «x принадлежит A » (
знак включения для элементов). Если же объект x не входит в A , то пишут
; читается: «x не принадлежит A ». Например,
N ; 8,51N ; но 8,51R .

Если x является общим обозначением элементов множества A , то пишут
. Если возможно выписать обозначение всех элементов, то пишут
,
и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом ; например, множество корней (действительных) уравнения
есть пустое.

Множество называется конечным , если оно состоит из конечного числа элементов. Если же какое бы натуральное число N ни взяли, во множестве A найдётся элементов больше, чем N, то A называется бесконечным множеством: в нём элементов бесконечно много.

Если всякий элемент множества ^ A принадлежит и множеству B , то называется частью или подмножеством множества B и пишут
; читается «A содержится в B » (
есть знак включения для множеств). Например, N Z R. Если и
, то говорят, что множества A и B равны и пишут
. В противном случае пишут
. Например, если
, а
множество корней уравнения
, то .

Совокупность элементов обоих множеств A и B называется объединением множеств и обозначается
(иногда
). Совокупность элементов, принадлежащих и A и B , называется пересечением множеств и обозначается
. Совокупность всех элементов множества ^ A , которые не содержатся в B , называется разностью множеств и обозначается
. Схематично эти операции можно изобразить так:

Если между элементами множеств можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны и пишут
. Всякое множество A , эквивалентное множеству натуральных чисел N = называется счётным или исчислимым. Иначе говоря, множество называется счётным, если его элементы можно пронумеровать, расположить в бесконечную последовательность
, все члены которой различны:
при
, и его можно записать в виде . Прочие бесконечные множества называются несчётными . Счётными, кроме самого множества N, будут, например, множества
, Z. Оказывается, что множества всех рациональных и алгебраических чисел – счётные, а эквивалентные между собой множества всех иррациональных, трансцендентных, действительных чисел и точек любого интервала – несчётные. Говорят, что последние имеют мощность континуума (мощность – обобщение понятия количества (числа) элементов для бесконечного множества).

2 . Пусть есть два утверждения, два факта: и
. Символ
означает: «если верно , то верно и » или «из следует », « имплицирует есть корень уравнения обладает свойством от английского Exist – существовать.

Запись:

, или
, означает: существует (по крайней мере один) предмет , обладающий свойством . А запись
, или
, означает: все обладают свойством . В частности, можем записать:
и .

Выразительное геометрическое представление системы рациональных чисел может быть получено следующим образом.

На некоторой прямой линии, "числовой оси", отметим отрезок от О до 1 (рис. 8). Тем самым устанавливается длина единичного отрезка, которая, вообще говоря, может быть выбрана произвольно. Положительные и отрицательные целые числа тогда изображаются совокупностью равноотстоящих точек на числовой оси, именно положительные числа отмечаются вправо, а отрицательные - влево от точки 0. Чтобы изобразить числа со знаменателем n, разделим каждый из полученных отрезков единичной длины на n равных частей; точки деления будут изображать дроби со знаменателем n. Если сделаем так для значений n, соответствующих всем натуральным числам, то каждое рациональное число будет изображено некоторой точкой числовой оси. Эти точки мы условимся называть "рациональными"; вообще, термины "рациональное число" и "рациональная точка" будем употреблять как синонимы.

В главе I, § 1 было определено соотношение неравенства Алюбой пары рациональных точек, то естественно пытаться обобщить арифметическое отношение неравенства таким образом, чтобы сохранить этот геометрический порядок для рассматриваемых точек. Это удается, если принять следующее определение: говорят, что рациональное число А меньше , чем рациональное число В (Абольше, чем число А (В>А), если разность В-А положительна. Отсюда следует (при Aмежду А и В - это те, которые одновременно >A и сегментом (или отрезком ) и обозначается [А, В] (а множество одних только промежуточных точек - интервалом (или промежутком ), обозначаемым (А, В)).

Расстояние произвольной точки А от начала 0, рассматриваемое как положительное число, называется абсолютной величиной А и обозначается символом

Понятие "абсолютная величина" определяется следующим образом: если A≥0, то |А| = А; если A

|А + В|≤|А| + |В|,

которое справедливо независимо от знаков А и В.

Факт фундаментальной важности выражается следующим предложением: рациональные точки расположены на числовой прямой всюду плотно. Смысл этого утверждения тот, что внутри всякого интервала, как бы он ни был мал, содержатся рациональные точки. Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, достаточно взять число n настолько большое, что интервал будет меньше, чем данный интервал (A, В); тогда по меньшей мере одна из точек вида окажется внутри данного интервала. Итак, не существует такого интервала на числовой оси (даже самого маленького, какой только можно вообразить), внутри которого не было бы рациональных точек. Отсюда вытекает дальнейшее следствие: во всяком интервале содержится бесконечное множество рациональных точек. Действительно, если бы в некотором интервале содержалось лишь конечное число рациональных точек, то внутри интервала, образованного двумя соседними такими точками, рациональных точек уже не было бы, а это противоречит тому, что только что было доказано.