Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа (операционный метод) Операционное исчисление один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и пользуется большой популярностью у инженеров. Метод был предложен известным американским электротехником и физиком О. Хевисайдом (892 г.). Он предложил формальные правила обращения с оператором d dx и некоторыми функциями от этого оператора, используя которые решил ряд важнейших задач электродинамики. Однако операционное исчисление не получило в трудах О. Хевисайда математического обоснования («его математика возникала в физическом контексте, из которого ее нелегко было выделить» [, с. 8]), многие его результаты оставались недоказанными. Лишь в 2-е годы XX века метод получил обоснование в работах Бромвича (T. J. I A. Bromwich) и Карсона (J. R. Carson) 2.. Понятие оригинала и изображения по Лапласу Определение. Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция f(x) действительного аргумента x, удовлетворяющая условиям:) f(x) непрерывна при x, за исключением, быть может, конечного числа точек точек разрыва -го рода; 2) для всех x < f(x) = ; 3) существуют такие постоянные M > и a >, при которых f(x) M e ax для x. () Дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие для студентов физико-технического факультета: в 3 ч. Часть 2 / cост. : Н. Ю. Светова, Е. Е. Семёнова. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, Попытки строгого обоснования и «математически приемлемого» изложения исчисления напоминали «общий штурм» английский математик Бромвич (96), американский инженер Карсон (925), голландский инженер-электрик Ван-дер-Поль () привлекли результаты различных теорий, связали исчисление Хевисайда с преобразованием Лапласа, с теорией функций комплексной переменной .

2 2 Точная нижняя грань a всех чисел a, для которых справедливо неравенство (), называется показателем роста функции f(x). Заметим, что для любой ограниченной функции показатель роста a =. Простейшим оригиналом является функция Хевисайда {, x ; χ(x) =, x <. Очевидно, для любой функции ϕ(x) { ϕ(x), x, ϕ(x) χ(x) =, x <. Если при x функция ϕ(x) удовлетворяет условиям и 3 определения, то функция ϕ(x)χ(x) является оригиналом. В дальнейшем для сокращения записи будем, как правило, записывать ϕ(x) вместо ϕ(x)χ(x), считая, что рассматриваемые нами функции продолжены нулем для отрицательных значений аргумента x. Определение 2. Функция F (p) комплексного переменного p (p C), определяемая интегралом F (p) = e px f(x) dx, () называется преобразованием Лапласа, или изображением по Лапласу 3, функции f(x). Для указания соответствия между оригиналом и изображением будем использовать следующую запись 4: f(x) F (p). 3 В мемуарах П. Лапласа (782 82) современные оригинал и изображение именуются fonction determinant и fonction generatrice «определяющая функция» и «производящая». Эти названия, хотя и признанные неудачными, сохранились до XX в. Хевисайд употреблял названия «подоператорная функция» (892). Оператор он обозначал буквой p, которая употребляется в современном исчислении . 4 Названия original и image и знак предложил Ван дер Поль в статьях гг. В русской литературе термин изображение и символ, по-видимому, впервые появились в книге харьковских математиков А. М. Эфроса и А. М. Данилевского «Операционное исчисление и контурные интегралы» (937), а термин оригинал только в 953 г. . Используются и другие варианты записи соответствия между оригиналами и изображениями. Например, f(x) F (p) или L{f(x)} = F (p).

3 Для любого оригинала f(x) его изображение F (p) определено в полуплоскости Re p > a (a показатель роста функции f(x)), где несобственный интеграл () сходится. Пример. Пользуясь определением, найти изображение функции f(x) = sin 3x. Решение. Для функции f(x) = sin 3x имеем a =. Поэтому изображение F (p) будет определено в полуплоскости Re p >. Применим формулу () к заданной функции, используя при выполнении преобразований правило интегрирования по частям и ограничение на множество значений переменной p, обеспечивающее сходимость интеграла: F (p) = + e px sin 3x dx = = p e px sin 3x x= = 3 p p e px cos 3x = 3 p 2 9 p 2 Получили равенство: Откуда находим + x=+ + 3 p x=+ x= + 3 p e px cos 3x dx = + e px sin 3x dx = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p 2 9 p 2 F (p). F (p) = 3 p Таким образом, справедливо следующее соответствие: sin 3x 3 p 2, Re p >. + 9 e px sin 3x dx = 3

4 4 2. Свойства преобразования Лапласа На практике при построении изображений используются различные приемы, основанные на свойствах преобразования Лапласа. Перечислим основные свойства, справедливость которых легко установить с помощью определений изображения и оригинала.. Свойство линейности. Если f(x) F (p), g(x) G(p), то для любых α, β C αf(x) + βg(x) αf (p) + βg(p), Re p > max(a, b). Здесь и далее a, b показатели роста функций f(x) и g(x) соответственно. 2. Теорема подобия. Если f(x) F (p), то для любого α > f(αx) α F (p α), Re p > αa. 3. Теорема смещения. Если f(x) F (p), то для любого λ C e λx f(x) F (p λ), Re p > a + Re λ. 4. Дифференцирование оригинала. Пусть функция f(x) n раз дифференцируема. Тогда f (x) pf (p) f(+), f (x) p 2 F (p) pf(+) f (+), f (n) (x) p n F (p) p n f(+)... pf (n 2) (+) f (n) (+), где f (k) (+) = lim x + f (k) (x), k =, n. Замечание. При построении изображений производных непрерывных в нуле функций в записи аргумента функции и ее производных знак "плюс"опускается. 5. Дифференцирование изображения. Если f(x) F (p), то В частности, при n = имеем F (n) (p) (x) n f(x), Re p >. F (p) xf(x).

5 5 6. Интегрирование оригинала. Если f(x) F (p), то x f(ξ) dξ F (p) p, Re p > α. 7. Интегрирование изображения. Если интеграл и F (p) f(x), то p F (p) dp f(x) x, Re p > α. p F (p) dp сходится 8. Теорема об умножении изображений (теорема о свертке) Если f(x) F (p), g(x) G(p), то F (p)g(p) x f(t)g(x t) dt = x f(x t)g(t) dt, когда Re p > max(a, b). Интегралы в правой части соответствия называют сверткой функций f(x) и g(x). 9. Теорема запаздывания. Если f(x) F (p), то для любого ξ > f(x ξ)χ(x ξ) e ξp F (p), Re p > α. Оригинал по изображению восстанавливается единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва. На практике обычно используют готовые таблицы оригиналов и изображений 5. В таблице перечислены основные оригиналы и изображения, часто встречающиеся в приложениях. Пример 2. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу основных оригиналов и изображений, найти изображения следующих функций:) f(x) = e 4x sin 3x cos 2x; 3) f(x) = x 2 e 3x ; 2) f(x) = e (x 2) sin (x 2); 4) f(x) = sin2 x x. 5 Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчислению. М., 965.

6 6 Таблица. Основные оригиналы и изображения Оригинал Изображение Оригинал Изображение p cos ωx p p 2 + ω 2 x n n! p n+ e λx p + λ sin ωx x cos ωx x n e λx n! (p + λ) n+ x sin ωx ω p 2 + ω 2 p 2 ω 2 (p 2 + ω 2) 2 2pω (p 2 + ω 2) 2 Решение.) Преобразуем выражение для функции f(x) следующим образом: f(x) = e 4x sin 3x cos 2x = 2 e 4x (sin 5x + sin x) = = 2 e 4x sin 5x + 2 e 4x sin x. Так как sin x 5 p 2 и sin 5x + p , то, используя свойство линейности и теорему смещения, для изображения функции f(x) будем иметь: F (p) = () 5 2 (p + 4) (p + 4)) Так как sin x p 2 +, ex sin x (p) 2 +, то, используя теорему запаздывания, будем иметь f(x) = e x 2 sin (x 2) F (p) = e 2p (p)) Так как x 2 2 p 3, то по теореме смещения имеем: f(x) = x 2 e 3x F (p) = 2 (p 3) 3.

7 Приведем для сравнения способ построения изображения функции f(x) = x 2 e 3x с применением свойства дифференцирования изображения: Получили тот же результат. 4) Так как e 3x p 3 ; xe 3x d () = dp p 3 (p 3) 2 ; x 2 e 3x d () 2 dp (p 3) 2 = (p 3) 3. sin 2 x = 2 2 cos 2x 2p 2 p p 2 + 4, то, используя свойство интегрирования изображения, будем иметь: sin 2 x (x 2p) 2 p p 2 dp = + 4 p (= 4 ln p2) 4 ln(p2 + 4) = p 4 ln p 2 p p = 4 ln p2 + 4 p Восстановление оригинала по изображению Пусть изображение Y (p) представляет собой правильную рациональную дробь (является рациональной функцией). Если дробь разложить на сумму простейших (элементарных) дробей, то для каждой из них соответствующий оригинал можно найти, используя свойства преобразования Лапласа и таблицу оригиналов и их изображений. Действительно, A p a A eax ; A (p a) n A (n)! xn e ax.

8 8 Выполнив преобразования дроби Ap + B A(p a) + aa + B A(p a) (p a) 2 = + b2 (p a) 2 + b 2 = (p a) 2 + b 2 + aa + B (p a) 2 + b 2, получим Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx. b Для построения оригинала, соответствующего дроби Ap + B ((p a) 2 + b 2) n, можно воспользоваться теоремой умножения. Например, при n = 2 имеем Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = Ap + B (p a) 2 + b 2 (p a) 2 + b 2. Так как и то При n = 3: Ap + B (p a) 2 + b 2 A eax cos bx + aa + B e ax sin bx = h (x) b (p a) 2 + b 2 b eax sin bx = g(x), Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 = x Ap + B ((p a) 2 + b 2) 2 (p a) 2 + b 2 g(x t) h (t) dt = h 2 (t). x g(x t) h 2 (t) dt, Аналогично можно рассматривать восстановление оригиналов и при n > 3. Знаменатель рациональной функции Y (p) есть многочлен порядка k. Если он имеет k различных нулей p i, i =, k, то, разложив

9 знаменатель на множители (p p i), соответствующий оригинал для Y (p) можно найти по формуле: y(x) = k (Y (p)(p p i)e px) p=pi. (2) i= Произведение Y (p)(p p i) дает рациональную функцию, знаменатель которой не содержит множителя (p p i), и вычисленное при p = p i определяет коэффициент, с которым дробь входит в p p i разложение функции Y (p) на сумму элементарных дробей. Пример 3. Найти оригинал, соответствующий изображению: Y (p) = p 3 p. Решение. Разложив заданное изображение на сумму элементарных дробей: p 3 p = p(p)(p +) = p + 2(p) + 2(p +), найдем оригинал Ответ: y(x) = + ch x. y(x) = + 2 ex + 2 e x = + ch x. Пример 4. Найти оригинал для изображения: Y (p) = p(p 2 +). Решение. Так как p 2 sin x, то, применяя свойство интегрирования оригинала, + получим: p(p 2 +) x Ответ: y(x) = cos x. sin t dt = cos t x = cos x. Пример 5. Найти оригинал, соответствующий изображению: Y (p) = (p 2 + 4) 2. 9

10 Решение. Применяя свойство изображения свертки, будем иметь: Y (p) = (p 2 + 4) 2 = p p x sin 2(x t) sin 2t dt. Вычислив интеграл, получим искомое выражение для оригинала. Ответ: y(x) = 6 sin 2x x cos 2x. 8 Пример 6. Найти оригинал, соответствующий изображению: Y (p) = p p 3 p 2 6p. Решение. Так как p 3 p 2 6p = p(p 3)(p + 2), то знаменатель дроби Y (p) имеет три простых корня: p =, p 2 = 3 и p 3 = 2. Построим соответствующий оригинал с помощью формулы (2): y(x) = (p2 + 2)e px (p 3)(p + 2) + (p2 + 2)e px p= p(p + 2) + (p2 + 2)e px p=3 p(p 3) = p= 2 = e3x e 2x. Пример 7. Найти оригинал, соответствующий изображению: Y (p) = e p 2 p(p +)(p 2 + 4). Решение. Представим дробь, входящую в выражение в виде простейших дробей: p(p +)(p 2 + 4) = A p + B p + + Cp + D p Применяя к разложению метод неопределенных коэффициентов, получим: Изображение примет вид: A = 4 ; B = D = 5 ; C = 2. Y (p) = e p 2 4 p 5 e p 2 p + pe p 2 2 p e p 2 5 p (а)

11 Используя соотношения: p χ(x), p + e x χ(x), p p cos 2x χ(x), p sin 2x χ(x) 2 и учитывая теорему запаздывания, получим для изображения (а) искомый оригинал. Ответ: y(x) = (4 5 e (x 2) cos (2x) sin (2x) 2) χ (x) Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Метод решения различных классов уравнений с помощью преобразования Лапласа получил название операционного метода. Свойство преобразования Лапласа дифференцирование оригинала позволяет сводить решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами к решению алгебраических уравнений. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения с начальными условиями y (n) + a y (n) a n y + a n y = f(x) (3) y() = y, y () = y,..., y (n) () = y n. (4) Пусть для функции f(x) и искомого решения выполнены условия существования преобразования Лапласа. Обозначим через Y (p) изображение неизвестной функции (оригинала) y(x), а через F (p) изображение правой части f(x): y(x) Y (p), f(x) F (p). По правилу дифференцирования оригинала имеем y (x) py (p) y, y (x) p 2 Y (p) py y, y (n) (x) p n Y (p) p n y p n 2 y... y n.

12 2 Тогда в силу свойства линейности преобразования Лапласа после его применения к левой и правой частям уравнения (3) получим операторное уравнение M(p)Y (p) N(p) = F (p), (5) где M(p) характеристический многочлен уравнения (3): M(p) = p n + a p n a n p + a n y, N(p) многочлен, содержащий начальные данные задачи Коши (обращается в нуль при нулевых начальных данных): N(p) = y (p n + a p n a n) + + y (p n 2 + a p n a n 2) y n 2 (p + a) + y n, F (p) изображение функции f(x). Разрешая операторное уравнение (5), получаем изображение Лапласа Y (p) искомого решения y(x) в виде Y (p) = F (p) + N(p). M(p) Восстанавливая оригинал для Y (p), находим решение уравнения (3), удовлетворяющее начальным условиям (4). Пример 8. Найти решение дифференциального уравнения: y (x) + y(x) = e x, удовлетворяющее условию: y() =. Решение. Пусть y(x) Y (p). Так как y (x) py (p) y() = py (p), e x p +, то, применив к заданному уравнению преобразование Лапласа, используя свойство линейности, получим алгебраическое уравнение относительно Y (p): py (p) + Y (p) = p +. Откуда находим выражение для Y (p):

13 Так как то имеем Y (p) = p + e x, (p +) 2 + p +. (p +) 2 xe x, Y (p) y(x) = e x x + e x. Проверка: Покажем, что найденная функция действительно является решением задачи Коши. Подставляем выражение для функции y(x) и ее производной в заданное уравнение: y (x) = e x x + e x e x = e x x e x x + e x x + e x = e x. После приведения подобных слагаемых в левой части уравнения получаем верное тождество: e x e x. Таким образом, построенная функция является решением уравнения. Проверим, удовлетворяет ли она начальному условию y() = : y() = e + e =. Следовательно, найденная функция является решением задачи Коши. Ответ: y(x) = e x x + e x. Пример 9. Решить задачу Коши y + y =, y() =, y () =. Решение. Пусть y(x) Y (p). Так как 3 y (x) p 2 Y (p) py() y (), /p, то, применив к уравнению преобразование Лапласа, с учетом начальных условий получим (p 2 +)Y (p) = p = Y (p) = p(p 2 +). Разложим дробь на простейшие дроби: Y (p) = p По таблице найдем y(x) = cos x. p p 2 +.

14 4 Восстановить оригинал по изображению можно и применив свойство интегрирования оригинала (см. пример 4). Ответ: y(x) = cos x. Пример. Решить задачу Коши y +3y = e 3x, y() =, y () =. Решение. Пусть y(x) Y (p). Так как y py (p) y(), y (x) p 2 Y (p) py() y (), и e 3x p + 3, то, учитывая начальные условия, получим операторное уравнение (p 2 + 3p)Y (p) + = p + 2 = Y (p) = p + 3 (p + 3) 2 p. Разложим рациональную функцию на простейшие дроби: p + 2 (p + 3) 2 p = A p + B p C (p + 3) 2 = A(p2 + 6p + 9) + B(p 2 + 3p) + Cp p(p + 3) 2. Составим систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B и C: A + B =, 6A + 3B + C =, 9A = 2, решая которую найдем A = 2/9, B = 2/9, C = /3. Следовательно, Y (p) = 2 9 p p (p + 3) 2. Используя таблицу получим ответ. Ответ: y(x) = e 3x 3 xe 3x. Пример. Найти решение дифференциального уравнения: y (x) + 2y (x) + 5y (x) =, удовлетворяющее условиям: y() =, y () = 2, y () =. Решение. Пусть y(x) Y (p). Так как, учитывая заданные условия, имеем y (x) p Y (p) y() = py (p) () = py (p) +, y (x) p 2 Y (p) p y() y () = = p 2 Y (p) p () 2 = p 2 Y (p) + p 2, y (x) p 3 Y (p) p 2 y() p y () y () = = p 3 Y (p) p 2 () p 2 = p 3 Y (p) + p 2 2p,

15 то после применения к заданному уравнению преобразования Лапласа получим следующее операторное уравнение: p 3 Y (p) + p 2 2p + 2p 2 Y (p) + 2p 4 + 5pY (p) + 5 = или после преобразований: Y (p) (p 3 + 2p 2 + 5p) = p 2. Решая это уравнение относительно Y (p), получим Y (p) = p 2 p(p 2 + 2p + 5). Полученное выражение разложим на простые дроби: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = A p + Bp + C p 2 + 2p + 5. С помощью метода неопределенных коэффициентов найдем A, B, C. Для этого приведем дроби к общему знаменателю и приравняем коэффициенты при равных степенях p: p 2 p(p 2 + 2p + 5) = Ap2 + 2Ap + 5A + Bp 2 + Cp p(p p + 5) Получим систему алгебраических уравнений относительно A, B, C: решением которой будут: A + B =, 2A + C =, 5A =, A = 5, B = 4 5, C = 2 5. Тогда Y (p) = 5p + 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5. Чтобы найти оригинал второй дроби, выделим в ее знаменателе полный квадрат: p 2 + 2p + 5 = (p +) 2 + 4, тогда в числителе выделим слагаемое p+: 4p+2 = 4(p+)+6 и разложим дробь на сумму двух дробей: 5 4p + 2 p 2 + 2p + 5 = 4 5 p + (p +) (p +) Далее, воспользовавшись теоремой смещения и таблицей соответствия изображений и оригиналов, получим решение исходного уравнения. Ответ: y(x) = e x cos 2x e x sin 2x.

16 6 Операционным методом может быть построено и общее решение уравнения (3). Для этого надо конкретные значения y, y,..., y (n) начальных условий заменить на произвольные постоянные C, C 2,..., C n. Список литературы. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. М.: Изд-во ЛКИ, с. 2. Васильева А. Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариационное исчисление в примерах и задачах / А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев, Н. А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина. М.: ФИЗ- МАТЛИТ, с. 3. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функций комплексного переменного /Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин.М.: Наука, 989.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Операционное исчисление относится к символическим исчислениям, в основе которых лежат построение математического анализа как системы формальных операций над искусственно введенным

Занятие 18 Оригиналы и их изображения Операционное исчисление один из методов математического анализа, который мы будем применять к решению дифференциальных уравнений и систем. Суть применения этого метода

Уравнения математической физики Сборник примеров и упражнений Петрозаводск 1 Петрозаводский государственный университет Математический факультет Уравнения математической физики Сборник примеров и упражнений

Оглавление Введение. Основные понятия.... 4 1. Интегральные уравнения Вольтерры... 5 Варианты домашних заданий.... 8 2. Резольвента интегрального уравнения Вольтерры. 10 Варианты домашних заданий.... 11

1 Тема 4. Операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем 4.1 Преобразование Лапласа Оригиналом называется любая функция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая следующим

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТГТУ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Преобразование Лапласа и его свойства Лектор Пахомова Е.Г. 2011 г. 11. Оригинал и изображение. Теорема обращения ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть:R C. Функция

Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Решение типовых вариантов контрольной работы по теме Интегралы функции одной переменной Методические указания УДК 517.91 Методические указания содержат подробные решения типовых вариантов контрольной работы

Глава 1 Операционное исчисление. 1. Определение преобразования Лапласа. Преобразование Лапласа ставит в соответствие функции f(t) действительной переменной t функцию F () комплексной переменной = x + iy

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Кафедра «Высшая и вычислительная

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ИМПЕРАТОРА НИКОЛАЯ II» Кафедра «Высшая и вычислительная математика»

82 4. Раздел 4. Функциональные и степенные ряды 4.2. Занятие 3 4.2. Занятие 3 4.2.. Разложение функции в ряд Тейлора ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2.. Пусть функция y = f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности

Лекция ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ Рациональные дроби Интегрирование простейших рациональных дробей Разложение рациональной дроби на простейшие дроби Интегрирование рациональных дробей Рациональные

ТЕМА 5 Линейное уравнение Вольтерра -го рода Основные определения и теоремы Уравнение y = λ K(,) y() d+ f(), [, или в операторной форме y = λ By+ f, называется уравнением Вольтерра -го рода Пусть

Лекция 6 Операционное исчисление Преобразование Лапласа Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа Изображение производной оригинала Операционное исчисление Преобразование Лапласа

Занятие 19 Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом 19.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Пусть требуется найти частное решение линейного

2.2. Операторный метод расчета переходных процессов. Теоретические сведения. Расчет переходных процессов в сложных цепях классическим методом очень часто затруднен нахождением постоянных интегрирования.

ДОРОХОВ ВМ РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ОПЕРАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ МОСКВА, 4 ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящем учебном пособии изложены теоретические основы операционного исчисления Излагаются методы решения задач

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Российский химико-технологический университет им ДИ Менделеева» Новомосковский институт (филиал) Контрольная работа 8 по математике (Операционное

УДК 53.7 ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ НАХОЖДЕНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Жаныбекова А.А., [email protected] Казахстанско-Британский технический университет,

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Лемма Функция F(называется первообразной для функции f(на промежутке X, если F (= f(X Функция,

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Будем рассматривать уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: F (x, y, y) = 0, (1) где F заданная функция своих

II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» Комплексные числа и операционное исчисление

1 Тема 3. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 3.1 Линейное однородное уравнение Дифференциальное уравнение вида y (n) + a n 1 y (n 1) +... + a 1 y + a 0 y = 0, (3.1) где a

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

Министерство образования и науки РФ Ачинский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» МАТЕМАТИКА

Предел функции. Актуальность изучения темы Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Глава 1 Дифференциальные уравнения 1.1 Понятие о дифференциальном уравнении 1.1.1 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. В классической физике каждой физической величине ставится в соответствие

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Основные понятия Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Многие задачи науки и техники приводятся к дифференциальным уравнениям Рассмотрим

Методическая разработка Решение задач по ТФКП Комплексные числа Операции над комплексными числами Комплексная плоскость Комплексное число можно представить в алгебраической и тригонометрической экспоненциальной

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

Типового варианта «Комплексные числа Многочлены и рациональные дроби» Задание Даны два комплексных числа и cos sn Найдите и результат запишите в алгебраической форме результат запишите в тригонометрической

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические

С П ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ, СР ТИХОМИРОВ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 987 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Формулировка задания 3 Варианты задания 3 Пример выполнения задания и комментарии

Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Пахомова Е.Г. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Министерство транспорта Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)» Институт экономики и финансов

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Преобразование Лапласа и формула обращения Пусть в промежутке Дирихле а именно: Интеграл Фурье (l l) а) ограничена на этом отрезке; функция удовлетворяет условиям б) кусочно-непрерывна

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

57 Рассмотрим интегрирование простейшей рациональной дроби четвертого типа (M N) d () p q p Сделаем замену переменной, положив d. где a p q. Тогда Интеграл M N d p p p q q a, M p N Mp q d M (p q) p

Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно функции y и её производных y..., y (n) т. е. имеет вид a 0 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a ny = f (x), где

Математический анализ Раздел: Неопределенный интеграл Тема: Интегрирование рациональных дробей Лектор Рожкова С.В. 0 г. 5. Интегрирование рациональных дробей ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рациональной дробью называется

Министерство связи и массовых коммуникаций Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ()

Т А Матвеева В Б ветличная Д К Агишева А Зотова ПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ: ОПЕРАЦИОННОЕ ИЧИЛЕНИЕ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛЖКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕКИЙ ИНТИТУТ ФИЛИАЛ ГОУДАРТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ Первообразная функция и неопределённый интеграл первообразной Функция F() называется первообразной для функции f() на промежутке X, если F / () = f() X.

5. 4 Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведение подынтегрального выражения к табличной форме и использование свойств неопределенного

Лекция 3 Математическое описание систем управления В теории управления при анализе и синтезе систем управления имеют дело с их математической моделью Математическая модель САУ представляет собой уравнения

Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения переменных Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений нормальной

Уравнения в частных производных первого порядка Некоторые задачи классической механики, механики сплошных сред, акустики, оптики, гидродинамики, переноса излучения сводятся к уравнениям в частных производных

Простейшие неопределенные интегралы Примеры решения задач Следующие интегралы сводятся к табличным путем тождественного преобразования подынтегрального выражения. 1. dx = dx = 2x 2/3 /3 + 2x 1/2 + C. >2.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида P Q, где P и Q многочлены Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P ниже степени

[Ф] Филиппов АВ Сборник задач по дифференциальным уравнениям Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» 00 URL: http://librarbsaz/kitablar/846pf [М] Матвеев НМ Сборник задач и упражнений по

Е занятие. Ряды Тейлора. Суммирование степенных рядов Матем. анализ, прикл. матем., 3-й семестр Найти разложения функции в степенной ряд по степеням, вычислить радиус сходимости степенного ряда: A f()

Задача 1.1. Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля) Решение: Рассмотрим

9. Первообразная и неопределенный интеграл 9.. Пусть на промежутке I R задана функция f(). Функцию F () называют первообразной функции f() на промежутке I, если F () = f() для любого I, и первообразной

~ ~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F называется первообразной по отношению к функции f, если эти функции связаны следующим

Лекция 5 7 Теорема Гильберта-Шмидта Будем рассматривать интегральный оператор A, ядро которого K(удовлетворяет следующим условиям: K(s) симметрическое, непрерывное по совокупности переменных на [, ]

Министерство образования Республики Беларусь Белорусский государственный университет Физический факультет Кафедра высшей математики и математической физики О А Кононова, Н И Ильинкова, Н К Филиппова Линейные

Тема 9 Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида при этом числа... коэффициентами ряда, а точка разложения ряда.,...,... R... называются центром Степенные ряды Общий член степенного

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Приведение к одному уравнению -го порядка С практической точки зрения очень важны линейные системы с постоянными коэффициентами

Интегралы и дифференциальные уравнения Модуль 1. Неопределенный интеграл Лекция 1.2 Аннотация Рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших. Интегрирование простейших

На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.

К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления . Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!

Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений , что значит найти общее решение системы и частное решение системы.

Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения . Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

1) Речь идёт только о частном решении .
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули , и ничто другое.

Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом . Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений .

Пример 1

, ,

Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования №№1,2, учитывая начальное условие , находим:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:

Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:

При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :

Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера . Вычислим главный определитель системы:

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом . Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов , с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):

Таким образом:

Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.

Пример 2

С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.

Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:

Пример 3

Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом . Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:

Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.

Едем дальше:

Таким образом, операторное решение системы:

Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.

Пример 4

Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,

Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.

В результате операторное решение системы:

А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Рассмотрим операционный метод решения дифференциальных уравнений на примере уравнения третьего порядка.

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами

удовлетворяющее начальным условиям:

с 0, с 1 , с 2 - заданные числа.

Пользуясь свойством дифференцирования оригинала, запишем:

В уравнении (6.4.1) перейдем от оригиналов к изображениям

Полученное уравнение называют операторным или уравнением в изображениях. Разрешают его относительно Y.

Алгебраические многочлены от переменной р.

Равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (6.4.1).

Находя оригинал y(t) , соответствующий найденному изображению получаем частное решение дифференциального уравнения.

Пример: методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Перейдем от оригиналов к изображениям

Запишем исходное уравнение в изображениях и решим его относительно Y

Чтобы найти оригинал полученного изображения, знаменатель дроби разложим на множители и запишем полученную дробь в виде суммы простейших дробей.

Найдем коэффициенты А, В, и С .

Пользуясь таблицей запишем оригинал полученного изображения

Частное решение исходного уравнения.

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Неизвестные функции.

Переходим к изображениям

Получаем систему изображающих уравнений

Решаем систему методом Крамера. Находим определители:

Находим решение изображающей системы X(p), Y(p) , Z(p).

Получили искомое решение системы

С помощью операционного исчисления можно находить решения линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных; вычислять интегралы. При этом решение задач значительно упрощается. Применяется при решении задач уравнений математической физики.

Вопросы для самоконтроля.

1. Какая функция называется оригиналом?

2. Какая функция называется изображением оригинала?

3. Функция Хевисайда и ее изображение.

4. Получить изображение для функций оригиналов, пользуясь определением изображения: f(t) =t , .

5. Получить изображения для функций , пользуясь свойствами преобразований Лапласа.

6. Найти функции оригиналы, пользуясь таблицей изображений: ;

7. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения методами операционного исчисления.

Литература: стр. 411-439, стр. 572-594.

Примеры: стр. 305-316.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 304с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – М.: Высш. шк., 1997.– 416с.

3. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Часть 4./ И.А. Каплан - Издательство Харьковского государственного университета, 1966 г., 236 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х томах, том 1: учеб. пособие для втузов./ Н.С. Пискунов – М.: изд. «Наука», 1972 .– 456 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 2: учеб. Пособие для втузов../ Н.С. Пискунов –М.: изд. «Наука»,1972 .– 456 с.

6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–4-е изд./ Д.Т. Письменный –М.: Айрис-пресс, 2006.–608 с. – (Высшее образование).

7. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики. Изд. 2-е, переработ. и доп. Учеб. пособие для втузов./ В.А. Слободская – М.: Высш. шк., 1969.– 544с.

Конспект лекций Высшая математика

для студентов направления 6.070104 «Морской и речной транспорт»

специальности «Эксплуатация судовых энергетических установок»

дневной и заочной формы обучения 2 курс

Тираж______экз. Подписано к печати ______________

Заказ №__________. Объем__2,78__п.л.

Изд-во «Керченский государственный морской технологический университет»

98309 г. Керчь, Орджоникидзе, 82

Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .

Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:

Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:

Пример 1

, ,

Используя табличные формулы №№1,2, учитывая начальное условие , получаем:

Подставим найденные изображения в исходное уравнение :

В результате расчёта определителя получен многочлен .

Таким образом, наш главный определитель системы:

Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:

В итоге получаем операторное решение системы :

1) Разбираемся с первой дробью:

Таким образом:

Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:

Ответ:

Пример 2

Пример 3

Подставим найденные изображения в исходную систему:

Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:

Едем дальше:

Таким образом, операторное решение системы:

Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.

Сокрушаем первую дробь:

И добиваем вторую:

В результате операторное решение принимает нужный нам вид:

С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Ответ: частное решение:

Пример 4

Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:

Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

В результате операторное решение системы:

Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:

Подставим полученные изображения в операторное решение системы:

Формула разложения Хевисайда

Пусть изображение функции представляет собой дробно-рациональную функцию.

Теорема. Пусть, где и - дифференцируемые функции. Введем как полюсы функции, т.е. корни (нули) ее знаменателя. Тогда, если, получим формулу Хевисайда:

Доказательство проведем для случая, когда и - многочлены степеней т и п соответственно, при этом т п . Тогда - правильная рациональная дробь. Представим в виде суммы простейших дробей:

Отсюда Коэффициенты найдем из тождества (17.2), переписав его в виде

Умножим обе части последнего равенства на и перейдем к пределу при. Учитывая, что и, получим

откуда и следует (17.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов и вещественны, то комплексные корни многочлена попарно сопряжены. Следовательно, в формуле (17.1) комплексно сопряженными величинами будут слагаемые, соответствующие комплексно сопряженным корням многочлена, и формула Хевисайда примет вид

где первая сумма распространена на все вещественные корни многочлена, вторая - на все его комплексные корни с положительными мнимыми частями.

Замечание 2. Каждый член формулы (17.1) представляет собой записанное в комплексной форме колебание, где. Таким образом, вещественным корням () соответствуют апериодические колебания, комплексным корням с отрицательными вещественными частями - затухающие колебания, чисто мнимым корням - незатухающие гармонические колебания.

Если знаменатель не имеет корней с положительными вещественными частями, то при достаточно больших значениях получим установившийся режим:

Чисто мнимые корни многочлена с положительными мнимыми частями.

Колебания, соответствующие корням с отрицательными вещественными частями, экспоненциально затухают при и поэтому не входят в установившийся режим.

Пример 1. Найти оригинал изображения

Решение. Имеем. Выпишем корни многочлена: .

По формуле (17.1)

Здесь, так как числа - корни уравнения. Следовательно,

Пример 2. Найти оригинал изображения

где а 0; .

Решение. Здесь функция, помимо очевидного корня, имеет бесконечно много корней, являющихся нулями функции. Решая уравнение, получим, откуда

Таким образом, корни знаменателя имеют вид и, где

По формуле (17.3) находим оригинал

Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения

(здесь) с начальными условиями

Переходя в (18.1) к изображениям, в силу линейности преобразования Лапласа будем иметь

Изображения производных, используя теорему 3 § 16 и начальные условия (18.2), запишем в виде

Подставив (18.4) в (18.3), после несложных преобразований получим операторное уравнение

где (характеристический многочлен); .

Из уравнения (18.5) найдем операторное решение

Решением задачи Коши (18.1), (18.2) является оригинал операторного решения (18.6):

Для задачи Коши в принятых обозначениях можно записать

Операторное уравнение имеет вид

разложим операторное решение на простейшие дроби:

С помощью формул, полученных в § 15, получим оригиналы:

Таким образом, решение задачи Коши будет иметь вид

Пример 1. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с начальными условиями, где.

Решение.

Его решение имеет вид

Используя теорему 2 § 16, последовательно найдем:

Пример 2. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с нулевыми начальными условиями, где - ступенчатая импульсная функция.

Решение. Запишем операторное уравнение

и его решение

Из теоремы 2 § 16 следует

в соответствии с теоремой запаздывания (§ 15)

Окончательно,

Пример 3. На точку массой т , прикрепленную к пружине жесткостью с и находящуюся на гладкой горизонтальной плоскости, действует периодически меняющаяся сила. В момент времени точка подверглась удару, несущему импульс. Пренебрегая сопротивлением, найти закон движения точки, если в начальный момент времени она покоилась в начале координат.

Решение. Уравнение движения запишем в виде

где - упругая сила; - функция Дирака. Решим операторное уравнение

Если (случай резонанса), то

По теореме запаздывания

Окончательно,

Интеграл (формула) Дюамеля. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (18.1) при начальных условиях. Операторное решение в этом случае имеет вид

Пусть весовая функция - оригинал для. тогда по теореме 1 § 16 получим

Соотношение (18.7) называется интегралом (формулой) Дюамеля.

Замечание. При ненулевых начальных условиях формула Дюамеля непосредственно неприменима. В этом случае необходимо предварительно преобразовать исходную задачу к задаче с однородными (нулевыми) начальными условиями. Для этого введем новую функцию, полагая

где - начальные значения искомого решения.

Как легко видеть, и следовательно, .

Таким образом, функция - решение уравнения (18.1) с правой частью, полученной в результате подстановки (18.8) в (18.1), при нулевых начальных данных.

Используя (18.7), найдем и.

Пример 4. С помощью интеграла Дюамеля найти решение задачи Коши

с начальными условиями.

Решение. Начальные данные ненулевые. Полагаем, в соответствии с (18.8), . Тогда, и для определения получим уравнение с однородными начальными условиями.

Для рассматриваемой задачи характеристический многочлен, весовая функция. По формуле Дюамеля

Окончательно,

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений в матричной записи имеет вид

где - вектор искомых функций; - вектор правых частей; - матрица коэффициентов; - вектор начальных данных.

Транскрипт

Формула разложения Хевисайда

Операторный метод решения дифференциальных уравнений

Биография агнии барто для детей

Сочинение на тему "мои каникулы" для школьников Мои летние каникулы шаблон — My summer vacation