Основание прямой призмы ромб со стороной. Полезные энциклопедии

Вы можете просмотреть вариант этой темы урока от сайта www.urokimatematiki.ru по ссылке

В ходе урока все желающие смогут получить представление о теме « Многогранники. Призма. Задачи на призму». На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы. Затем решим несколько задач на эту тему.

Тема: Многогранники

Урок: Многогранники. Призма. Задачи на призму

На этом занятии мы повторим основные сведения о многогранниках. Особенное внимание уделим определению призмы. Вспомним теорему о площади боковой поверхности прямой призмы.

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1 , ее основания ABCDF и A 1 B 1 C 1 D 1 F 1 . Пятиугольники ABCDF и A 1 B 1 C 1 D 1 F 1 равны и лежат в параллельных плоскостях.

Рис. 1

Основания призмы - это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами .

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1:

ABCDF и A 1 B 1 C 1 D 1 F 1 - основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА 1 В 1 В, ВВ 1 С 1 С, CC 1 D 1 D , DD 1 F 1 F , FF 1 A 1 A . А боковыми ребрами - АА 1 , ВВ 1 , СС 1 , DD 1 , FF 1 .

Определение . Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой .

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA 1 B 1 C 1 D 1 F 1 (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA 1 перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма - прямая. Так как ребро АА 1 перпендикулярно плоскости АВС , то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС , в том числе и прямой AF . Значит, боковая грань является прямоугольником.

Рис. 2

Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- (рис. 3) - частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 .

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- (рис. 4). Если ребро AA 1 перпендикулярно плоскости ABCD , то параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1- или кратко AC 1 .

Определение . Правильной n -угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n -угольник.

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 (рис. 5). Призма ABCA 1 B 1 C 1- - прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - прямая призма, т. е. АА 1 ⊥ АВС .

АА 1 = h.

Доказать : S бок = Р осн ∙ h.

Рис. 5

Доказательство .

Треугольная призма АВСА 1 В 1 С 1 - прямая, значит, боковые грани АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С - прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА 1 В 1 В, АА 1 С 1 С, ВВ 1 С 1 С:

S бок = АВ∙ АА 1 + ВС∙ ВВ 1 + СА∙ СС 1 = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P осн ∙ h.

Получаем, S бок = Р осн ∙ h, что и требовалось доказать.

В правильной n -угольной призме сторона основания равна a и высота равна h . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы, если n = 3, h = 15 см, a = 10 см. См. рис. 6.

Дано : АВСА 1 В 1 С 1 - призма,

АА 1 ⊥ АВС ,

h = АА 1 = 15см,

АВ = BC = CA = a = 10 см.

Найти : S бок, S полн .

Рис. 6

Решение:

По условию призма прямая. Значит, ребро АА 1 перпендикулярно плоскости основания и равно высоте призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на высоту. Найдем площадь боковой поверхности.

S бок = P осн ∙ h = P АВС ∙ АА 1 = 3 ∙ АВ ∙ h = 3∙ 10 ∙ 15 = 450 (см 2).

В основании призмы лежит правильный треугольник АВС . Найдем его площадь.

Площадь полной поверхности призмы - это площадь всех ее граней, то есть площадь боковой поверхности плюс площади двух оснований. Значит:

Ответ : (см 2).

Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно 12 см. Перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найти площадь боковой поверхности.

Дано : призма ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 7),

АА 1 = 12 см,

перпендикулярное сечение - ромб со стороной 5 см.

Найти : S бок

Рис. 7

Решение :

Мы доказали на прошлом уроке, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

По условию, перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Все стороны ромба равны. Значит, периметр перпендикулярного сечения равен см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

(см 2).

Ответ : 240 см 2 .

Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых рёбрах призмы. См. рис. 8.

Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - призма,

AA 1 ⊥ ABC ,

AB ∥ CD, CB = AD,

AB = 9 см, CD = 25 см,

h трап = 8 см.

Найти: двугранные углы при боковых рёбрах призмы.

Рис. 8

Решение:

Вспомним, что такое двугранный угол. Пусть у нас есть две полуплоскости α и β, которые пересекаются по прямой СC 1 (рис. 9). Тогда они образовывают двугранный угол с ребром СC 1 . Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Как строится линейный угол? Берется произвольная точка M на ребре, и проводятся два перпендикуляра: один перпендикуляр в плоскости β - перпендикуляр b , второй перпендикуляр в плоскости α - перпендикуляр a . Тогда угол между прямыми a и b и будет линейным углом двугранного угла.

Рис. 9

Найдем линейный угол при ребре СС 1 . Так как ребро СC 1 перпендикулярно всей плоскости ABC , то ребро СC 1 перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, в том числе прямым BC и CD . Тогда угол между прямыми BC и CD , а именно угол DCB , является линейным углом двугранного угла при ребре СC 1 .

Аналогичным образом, получаем, что линейные угол при ребре АА 1 - это угол В AD , при ребре DD 1 - ∠ADC , при ребре BB 1 - ∠ABC . Все эти углы являются углами трапеции ABCD . Найдем их градусную меру.

Рассмотрим трапецию ABCD (рис. 10). Проведем высоты АН и КВ. По условию, высота трапеции равна 8 см. Значит, АН = КВ = 8 см.

Рис. 10

Найдем НК . Прямые АН и КВ перпендикулярны одной и той же прямой DC . Значит, прямые АН и КВ параллельны. Так как АН = КВ , то АНКВ - параллелограмм. Значит, НК = АВ = 9 см.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то см.

Рассмотрим треугольник DHA . Он прямоугольный, так как АН ⊥ DC и равнобедренный, так как АН = DH . Значит, ∠ HAD = ∠ HDA = 45° градусов.

Так как трапеция ABCD равнобедренная, то ∠ DCB = ∠ С DA = 45°, ∠ DAB = ∠ ABC = 180° - 45° = 135°.

Ответ : 45°, 45°, 135°, 135°.

Список литературы

1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е изд., испр. и доп. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М.: Дрофа, 008. - 233 с.: ил.

1. Физ/мат класс ().
2. 5klass.net ().
3. Ppt4web.ru ().
4. Якласс ().
5. Rutube.ru ().

Домашнее задание

1. У параллелепипеда три грани имеют площадь 1 см 2 , 2 см 2 , 3 см 2 . Чему равна полная поверхность параллелепипеда?
2. Основание призмы - прямоугольный треугольник, диагонали боковых граней призмы - 8 см, 14 см, 16 см. Найдите высоту призмы.
3. Диагональ боковой грани правильной шестиугольной призмы равна большей диагонали основания. Под каким углом пересекаются диагонали боковой грани этой призмы?
4. Найдите площадь поверхности правильной n -угольной призмы, если любое ребро это призмы равно а. а) n = 3; б) n = 4.

Задание 8 для экзамена «Математика»

3.1. Диагональ меньшей боковой грани прямоугольного параллелепипеда равна большему ребру основания. Высота параллелепипеда равна 2 см, диагональ основания равна 14 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.2. Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и катетом 6 см. Больший катет треугольника в основании призмы равен диагонали меньшей из боковых граней. Найдите высоту призмы.
3.3. Основанием прямой призмы является ромб со стороной 12 см и углом 60°. Меньшее из диагональных сечений призмы является квадратом. Найдите объем призмы.
3.4. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60°; боковая сторона и меньшая из параллельных сторон трапеции равны 4 см; диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите объем призмы.
3.5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани -- угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем.
3.6. В основании прямой призмы - ромб; диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы 30° и 60°; высота призмы равна 6 см. Найдите объем призмы.
3.7. В основании прямой призмы лежит ромб со стороной 10 см. Сторона основания удалена от двух параллельных ей сторон противолежащей боковой грани соответственно на 5 см и 13 см. Найдите объем призмы.
3.8. Ребро нижнего основания правильной четырехугольной призмы удалено от плоскости верхнего основания на 10 см. Расстояния между противолежащими боковыми ребрами равны 8 см. Найдите объем призмы.
3.9. В основании прямой призмы лежит трапеция. Площади параллельных боковых граней призмы равны 8см и 12 см, а расстояние между ними равно 5 см. Найдите объем призмы.
3.10. В основании прямой призмы лежит трапеция. Объем призмы равен 40 см. Площади параллельных боковых граней равны 6 см и 14 см. Найдите расстояние между ними.
3.11. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда
равна 10см, а диагонали боковых граней 2*/W см и 2 л/17 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.12. В основании прямой призмы лежит ромб. Площадь основания призмы равна 48 см, а площади ее диагональных
сечений равны 30 см и 40 см. Найдите объем призмы.
3.13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3 см, площадь боковой поверхности равна 80 см. Найдите объем пирамиды.
3.14. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания. Найдите объем пирамиды.
3.15. Площадь боковой поверхности конуса равна 60тг см; расстояние от центра основания до образующей равно 4,8 см. Найдите объем конуса.
3.16. Основание наклонной призмы - квадрат со стороной 6 см; одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно плоскости основания и является ромбом с углом 60°. Найдите объем призмы.
3.17. В основании наклонного параллелепипеда - квадрат со стороной 3 см. Две противолежащие боковые грани перпендикулярны основанию, две другие образуют с плоскостью основания углы 30°. Полная поверхность параллелепипеда 72 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.18. В основании наклонного параллелепипеда - ромб со стороной 4 см и острым углом 45°; боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°; диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания. Найдите объем параллелепипеда.
3.19. Все 9 ребер наклонной призмы равны 4 см. Объем призмы равен 24 см. Найдите угол наклона бокового ребра призмы к плоскости основания.
3.20. В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами равны 5см, 12 см и 13 см. Площадь меньшей боковой грани равна 22 см. Найдите объем призмы.
3.21. В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см. Боковое ребро призмы составляет с плоскостью основания угол 60°. Объем призмы равен 60 см. Найдите длину бокового ребра призмы.
3.22. Две боковые грани наклонной треугольной призмы образуют угол 60°; расстояние от их общего ребра до двух других ребер равно 5 см; боковое ребро призмы равно 8 см. Найдите боковую поверхность призмы.
3.23. Две боковые грани наклонной треугольной призмы перпендикулярны. Сумма их площадей равна 70 см. Длина бокового ребра равна 5 см. Объем призмы равен 120 см. Найдите расстояния между боковыми ребрами призмы.
3.24. В правильной треугольной пирамиде высота равна стороне основания. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
3.25. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.
3.26. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.27. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.28. В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 30°. Сторона основания пирамиды равна 12 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
3.29. Высота правильной четырехугольной "пирамиды равна 6 см и образует с боковой гранью угол 30°. Найдите объем пирамиды.
3.30. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см и образует с боковым ребром угол 45°. Найдите объем пирамиды.
3.31. Высота правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковое ребро - 10 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.32. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20 см, а боковое ребро - 16 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.33. Высота правильной шестиугольной пирамиды равна 12 см, а боковое ребро - 13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.34. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 60°. Найдите объем пирамиды.
3.35. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 8 см; двугранный угол при основании пирамиды равен 30°. Найдите объем пирамиды.
3.36. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 16см; двугранный угол при основании пирамиды равен 45°. Найдите объем пирамиды.
3.37. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3.38. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см; диагональное сечение равновелико основанию. Найдите боковую поверхности пирамиды.
3.39. Радиус цилиндра равен 8 см, а его высота равна 12 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость нижнего основания цилиндра на расстоянии 24 см от центра нижнего основания. В каких отношениях эта прямая делит пересекающиеся с ней образующие цилиндра?
3.40. Радиус цилиндра равен 6 см, а его высота равна 10 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра. Эта прямая пересекает нижнее основание цилиндра на расстоянии 3 см от центра нижнего основания. В каком отношении эта прямая делит ось цилиндра?
3.41. Радиус цилиндра равен 8 см. Через середину оси цилиндра проведена прямая, пересекающая плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 12см от центра нижнего основания. Эта прямая пересекает образующую цилиндра на расстоянии 2 см от плоскости нижнего основания. Найдите высоту цилиндра.
3.42. Высота цилиндра равна 12 см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
3.43. Высота конуса равна 20 см, расстояние от центра основания до образующей равно 12 см. Найдите объем конуса.
3.44. Радиус основания конуса равен 20 см; расстояние от центра основания до образующей равно 12см, Найдите площадь боковой поверхности конуса.
3.45. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, "гипотенуза которого равна 15см, а один из катетов - 9 см. Найдите площадь сечения, проведенного через середину высоты пирамиды параллельно ее основанию.
3.46. На расстоянии 4 см от вершины пирамиды проведено сечение, параллельное основанию. Площадь сечения равна 10 см и составляет - от площади основания пирамиды.
Найдите объем пирамиды.
3.47. Радиус основания конуса б см, а высота равна 12 см. В конусе проведено сечение параллельно основанию. Радиус сечения равен 4 см. В каком отношении сечение делит высоту конуса?
3.48. Высота конуса равна 12 см, а радиус основания равен 3 см. На каком расстоянии от вершины конуса надо провести сечение, параллельное основанию, чтобы его площадь была равна к см?
3.49. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину несоприкасающегося с этой диагональю бокового ребра. Расстояние от плоскости сечения до вершины нижнего основания,
не лежащей в плоскости сечения, равно 5 см. Площадь
2 сечения равна 10 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.50. В правильной четырехугольной призме проведено сечение через диагональ нижнего основания и конец непараллельной ей диагонали верхнего основания. Площадь основания призмы и площадь сечения равны 20 см. Найдите объем призмы.
3.51. В правильной треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и середину противолежащего бокового ребра. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания под углом 45°; площадь сечения равна 4 л/6 см. Найдите объем призмы.
3.52. Высота правильной треугольной призмы равна 12см. В призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Плоскость сечения наклонена к плоскости основания призмы под углом 60°. Найдите объем призмы.
3.53. В прямом параллелепипеде проведено сечение через диагональ нижнего основания и середину непересекающегося с этой диагональю бокового ребра. Объем меньшего из двух многогранников, на которые параллелепипед делится плоскостью сечения, равен 40 см. Найдите объем параллелепипеда.
3.54. В треугольной призме проведено сечение через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. В каком отношении плоскость сечения делит объем призмы?
3.55. В треугольной пирамиде проведено сечение через среднюю линию нижнего основания и вершину пирамиды. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды?
3.56. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение через середины двух смежных сторон основания перпендикулярно основанию. В каком отношении плоскость сечения делит объем пирамиды?
3.57. В прямоугольном параллелепипеде проведено сечение через ребро нижнего основания и точку пересечения диагоналей противолежащей боковой грани. В каком отношении плоскость сечения делит объем параллелепипеда?
3.58. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит пирамиду на части, объемы которых относятся как 1: 26, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит высоту пирамиды?
3.59. В пирамиде проведено сечение параллельно основанию. Плоскость сечения делит высоту пирамиды на части, отношение которых равно 2:1, считая от вершины. В каком отношении плоскость сечения делит объем пиоамилы?
3.60. Площадь основания пирамиды равна 1м. Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две равновеликие части. Найдите площадь сечения пирамиды.
3.61. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Определите объем этой призмы. Найдите оба решения.
3.62. Развертка боковой поверхности правильной треугольной призмы есть прямоугольник со сторонами 18 см и 9 см. Определите площадь полной поверхности этой призмы. Найдите оба решения.
3.63. Прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.
3.64. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см может быть двумя способами свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих Призм.
3.65. Прямоугольник со сторонами 12 см и 8 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 8 см, а во второй - правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните объемы этих призм.
3.66. Прямоугольник со сторонами 24 см и 10 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной четырехугольной призмы высотой 10 см, а во второй - правильной треугольной призмы с такой же высотой. Сравните площади полных поверхностей этих призм.
3.67. Квадрат со стороной 12 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй - правильной четырехугольной призмы. Сравните площади полных поверхностей этих призм.
3.68. Квадрат со стороной 24 см в первый раз свернут в виде боковой поверхности правильной треугольной призмы, а во второй - правильной четырехугольной призмы. Сравните объемы этих призм.
3.69. Ромб со стороной 10 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите объем тела вращения.
3.70. Ромб со стороной 8 см и острым углом 60° вращается около стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.71. Прямоугольная трапеция с основаниями 5 см и 8 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
3.72. Прямоугольная трапеция с основаниями б см и 10 см и высотой 3 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.73. Прямоугольная трапеция с основаниями 10см и 14см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.
3.74. Прямоугольная трапеция с основаниями 12см и 15 CMJ^ и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.75. Прямоугольная трапеция с основаниями 10см и 15см и высотой 12 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй- около большего. Сравните объемы тел вращения.
3.76. Прямоугольная трапеция с основаниями 12 см и 20 см и высотой 15 см в первый раз вращается около меньшего из оснований, а во второй - около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
3.77. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 16 см и высотой 4 см вращается около меньшего основания. Найдите объем тела вращения.
3.78. Равнобочная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вращается около меньшего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.79. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объем тела вращения.
3.80. Равнобочная трапеция с основаниями 15 см и 25 см и высотой 12 см вращается около большего основания. Найдите площадь поверхности тела вращения.
3.81. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 24 см и высотой 8 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй - около большего. Сравните объемы тел вращения.
3.82. Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 28 см и высотой 6 см в первый раз вращается около меньшего основания, а во второй - около большего. Сравните площади поверхностей тел вращения.
3.83. Прямоугольный треугольник с катетом 3 см и гипотенузой 6 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого утла параллельно гипотенузе. Найдите объем тела вращения.
3.84. Квадрат со стороной 8 см вращается около прямой, проведенной через вершину параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.85. Правильный треугольник со стороной 4 см вращается около оси, проведенной через вершину параллельно стороне, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.86. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается около прямой, параллельной меньшему из катетов и проходящей через вершину меньшего из углов треугольника. Найдите объем тела вращения.
3.87. Ромб со стороной 13 см и диагональю 10 см вращается около оси, проходящей через ^вершину тупого утла параллельно диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите объем тела вращения.
3.88. Ромб ABCD со стороной 10 см и диагональю.АС = 12 см в первый раз вращается около оси, проходящей через вершину А параллельно диагонали BD, а во второй - через вершину В параллельно диагонали АС. Сравните объемы тел вращения.
3.89. Прямоугольная трапеция с основаниями 10 см и 18 см и высотой 6 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. Найдите объем тела вращения.
3.90. Три металлических кубика с ребром а сплавлены в один шар. Что больше: площадь поверхности этого шара или суммарная площадь поверхностей кубиков?
3.91. Четыре металлических шарика радиуса а сплавлены в один куб. Что больше: площадь поверхности этого куба или суммарная площадь поверхностей шариков?
3.92. Сколько шариков диаметром 2 см можно отлить из металлического куба с ребром 4 см?
3.93. Сколько кубиков с ребром 2 см можно отлить из металлического шара диаметром 4 см?
3.94. В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр. Объем цилиндра равен V. Найдите объем призмы.
3.95. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Площадь боковой поверхности призмы равна S. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3.96. В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
3.97. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Объем конуса равен V. Найдите объем пирамиды.
3.98. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Объем пирамиды равен V. Найдите объем конуса.
3.99. В куб вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей куба и шара.
3.100. В шар вписан куб. Найдите отношение объемов шара и куба.

Зачет № 3 по теме «Многогранники. Площадь поверхности призмы, пирамиды»

I уровень

Карточка № 1

2. Основания прямой призмы - ромб со стороной 5 см и тупым углом 120°. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240 см2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

3. Сторона правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а высота

Карточка № 2

2. Основание прямой призмы - ромб с острым углом 60°. Боковое ребро призмы равно 10 см, а площадь боковой поверхности - 240 см2. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см, а высота √13 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

II уровень

Карточка № 1

1. Правильные многогранники.

2. Основание прямого параллелепипеда - ромб. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений Р и Q .

3. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Карточка № 2

1. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды.

2. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы имеет площадь Q . Найдите площадь боковой поверхности призмы.

3. Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с острым углом 30°. Высота пирамиды равна 4 см и образует со всеми боковыми ребрами углы 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

III уровень

Карточка № 1

1. Призма. Площадь боковой поверхности прямой призмы.

2. В прямой призме АВСА1В1С1 АВ = 13, ВС = 21, АС = 20. Диагональ боковой грани А1С составляет с плоскостью грани СС1В1В угол 30°. Найдите площадь полной поверхности призмы.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Карточка № 2

1. Пирамида. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды.

2. В прямом параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AD = 17, DC = 28, АС = 39. Диагональ боковой грани A 1 D составляет с плоскостью боковой грани DD 1 C 1 C угол 45°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна m . Угол между смежными боковыми гранями равен 120°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решения

I уровень (карточка 1)

№ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - прямая призма. ABCD - ромб . AD = 5 см ; ∠ B = 120 ° ; S6 ок . = 240 см 2.

Найти: S сеч .

BB 1 D 1 D . BB 1 D 1 D - прямоугольник. S сеч. = BD · DD 1. AA = 180° - 120° = 60°, так как ABDC - ромб, то Δ ABD - равносторонний и BD = AD = 5 см. (Ответ: 60 см2.)

№ 2. Дано: DABC - правильная треугольная пирамида АВ = ВС = АС = 6 см. DO - высота; DO = √3.

Найти: S бок.

Решение: Так как пирамида правильная, то О - центр описанной и вписанной в ΔАВС окружности. где ha - апофема боковой грани. Росн. = 3 · 6 = 18 см. Рассмотрим ΔАА1С: (Ответ: S бок. = 36 см2.)

I уровень (карточка 2)

№ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - прямая призма. ABCD - ромб. ∠ A = 60°. AA 1 = 10 см. S бок. = 240 см2.

Найти: S сеч .

Решение: Сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую диагональ основания BB 1 D 1 D . BB 1 D 1 D - прямоугольник. S сеч. = BD · DD 1. AB = DC = АС (по условию). АВ = 24/4 = 6 см. Рассмотрим Δ ABD , так как ∠ А = 60°, то Δ ABD - равносторонний. BD = 6 см. S сеч = 6 · 10 = 60 см. (Ответ: 60 см.)

№ 2. Дано: DABC - правильная треугольная пирамида DC = DB = AD = 5 см. DO - высота; DO = √ 1 3 cm .

Найти: S бок.

Решение: где ha – апофема боковой грани. Рассмотрим Δ AOD : Итак, h а = 4 (см). Рассмотрим ΔАВС - равносторонний. (Ответ: S бок.= 36 см2.)

II уровень (карточка 1)

№ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - прямой параллелепипед. ABCD - ромб. SAC 1 CA = Р; SB 1 D 1 DB = Q .

Найти: S бок.

Решение:

2)

3) Диагонали ромба, пересекаясь, делятся пополам и взаимно перпендикулярны.

(Ответ: )

№ 2. Дано: DABC - пирамида ∠ C = 90 ° ; СА = 4√3 (см); ∠ B = 60 ° ; ∠ DBO = ∠ DAO = ∠ DCO = 45 ° .

Найти: S бок.

Решение: Так как ребра пирамиды наклонены под одним и тем же углом, то ОА = ОВ = СО. Точка О - центр описанной около ΔАВС окружности и является серединой гипотенузы.

1) Рассмотрим Δ ADB : ΔDAO – равнобедренный (∠ DAO = 45°). Следовательно, AO = DO . АО = 1/2 A В. АВ определим из Δ ABC .

2) Рассмотрим Δ CDA : DM определим из Δ DOM . ОМ определим из ΔАВС. ОМ = 1/2 B С. ВС =1/2АВ (катет против угла в 30°). ВС = 4 см. МО = 2 см.

3) Рассмотрим Δ CDB:

(Ответ: )

II уровень (карточка 2)

№ 1. Дано: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - правильная четырехугольная призма. ABCD - квадрат. SACA 1 C 1 = Q .

Найти: S бок.

Решение: Рассмотрим Δ ADC : AC 2 = AD 2 + DC 2, так как ABCD - квадрат, то AC 2= 2 AD 2.

(Ответ: )

№ 2. Дано; DABC - пирамида. ΔАВС - прямоугольный; ∠ С = 90 ° ; ∠ В = 30 ° ; DO - высота; DO = 4 см. ∠ ADO = ∠ BDO = ∠ CDO

Найти: S бок.

Решение: Δ ADO = Δ DBO = Δ CDO (по катету и острому углу). Следовательно, АО = О B = ОС. Значит, точка О - центр описанной около ΔАВС окружности и, следовательно, - середина гипотенузы. Из равенства треугольников следует АО = ОВ = ОС = OD (равнобедренные, прямоугольные). АО = 4 см. АВ = 8 см. Рассмотрим ΔАВС:

1. Рассмотрим ΔADB :

2. Рассмотрим ΔADC :

(Ответ: )

III уровень (карточка 1)

№ 1. Дано: ABCA 1 B 1 C 1 - прямая призма. AB = 13, B С = 21, АС = 20; ∠ АСМ = 30 ° .

Найти: S полн.

Решение: Угол между А1С и плоскостью ВВ1С1С равен 30°. Это угол между прямой А1С и ее проекцией на плоскость ВВ1С1С. А1М ⊥ В1С1, МС - проекция А1С на плоскость BB 1 CC 1. ∠ ACM = 30°. Рассмотрим ΔА1МС: А1М - высота и Рассмотрим ΔA 1 MC : (то есть ∠ A 1 CM = 30°); А1С = 24 и (Ответ: )

№ 2. Дано: MABCD - правильная четырехугольная пирамида. DA = а; ∠ BKD = 120°.

Найти: S бок.

Решение: Угол между гранями B МС и DMC равен 120°; DK ⊥ MC ; так как ΔВМС = Δ DMC , то BK ⊥ MC и ∠ BKD - линейныйугол двугранного угла с ребром МС; ha = MN ; BD = а√2 (диагональ квадрата); ΔBKD -равнобедренный. Следовательно, ∠ OKD = 60°, а ∠ ODK = 30° и Рассмотрим Δ DMC : или Из ΔDKC : Из Δ MNC : (Ответ: )