Прямая на плоскости – необходимые сведения.
В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.
Навигация по странице.
- Прямая на плоскости - понятие.
- Взаимное расположение прямой и точки.
- Взаимное расположение прямых на плоскости.
- Способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости - понятие.
Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).
Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости .
Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости .
Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.
К началу страницы
Взаимное расположение прямой и точки.
Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F . В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d .
Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости : либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).
Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ « ». К примеру, если точка А лежит на прямой а , то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а , то записывают .
Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.
Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).
Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком . Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА . Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».
Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а , можно кратко записать .
Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А , В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С . Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В . Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А , а точки А и В лежат по одну сторону от точки С .
Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – двалуча . Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О , принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точкиО , а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О .
К началу страницы
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
1. Пусть даны три точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), А 3 (х 3 , у 3), тогда условие нахождения их на одной прямой :
либо (х 2 – х 1) (у 3 – у 1) – (х 3 – x 1) (у 2 – у 1) = 0.
2. Пусть даны две точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти две точки :
(х 2 – х 1)(у – у 1) – (х – х 1)(у 2 – у 1) = 0 или (х – х 1) / (х 2 – х 1) = (у – у 1) / (у 2 – у 1).
3. Пусть имеются точка М (х 1 , у 1) и некоторая прямая L , представленная уравнением у = ах + с . Уравнение прямой, проходящей параллельно данной прямой L через данную точку М:
у – у 1 = а (х – х 1).
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С М , описывается уравнением А (х – х 1) + В (у – у 1) = 0.
Уравнение прямой, проходящей перпендикулярно данной прямой L через данную точку М :
у – у 1 = –(х – х 1) / а
а (у – у 1) = х 1 – х .
Если прямая L задана уравнением Ах + Ву + С = 0, то параллельная ей прямая, проходящая через точку М (х 1 , у 1), описывается уравнением А (у – у 1) – В (х – х 1) = 0.
4. Пусть даны две точки А 1 (х 1 , у 1), А 2 (х 2 , у 2) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0. Взаимное расположение точек относительно этой прямой:
1) точки А 1 , А 2 лежат по одну сторону от данной прямой, если выражения (Ах 1 + Ву 1 + С ) и (Ах 2 + Ву 2 + С ) имеют одинаковые знаки;
2) точки А 1 , А 2 лежат по разные стороны от данной прямой, если выражения (Ах 1 + Ву 1 + С ) и (Ах 2 + Ву 2 + С ) имеют разные знаки;
3) одна или обе точки А 1 , А 2 лежат на данной прямой, если одно или оба выражения соответственно (Ах 1 + + Ву 1 + С ) и (Ах 2 + Ву 2 + С ) принимают нулевое значение.
5. Центральный пучок – это множество прямых, проходящих через одну точку М (х 1 , у 1), называемую центром пучка . Каждая из прямых пучка описывается уравнением пучка у – у 1 = к (х – х 1) (параметр пучка к для каждой прямой свой).
Все прямые пучка можно представить уравнением: l (y – y 1) = m (x – x 1), где l, m – не равные одновременно нулю произвольные числа.
Если две прямые пучка L 1 и L 2 соответственно имеют вид (А 1 х + В 1 у + С 1) = 0 и (А 2 х + В 2 у + С 2) = 0, то уравнение пучка: m 1 (А 1 х + В 1 у + С 1) + m 2 (А 2 х + В 2 у + С 2) = 0. Если прямые L 1 и L 2 пересекающиеся, то пучок центральный, если прямые параллельны, то и пучок параллельный.
6. Пусть даны точка М (х 1 , у 1) и прямая, заданная уравнением Ах + Ву + С = 0 . Расстояние d от этой точки М до прямой :
- 1. Основные понятия. Системы координат. Прямые линии и их взаимное расположение
- 2. Условие нахождения трех точек на одной прямой. Уравнение прямой. Взаимное расположение точек и прямой. Пучок прямых. Расстояние от точки до прямой
Статья рассказывает о понятии прямой на плоскости. Рассмотрим основные термины и их обозначения. Поработаем со взаимным расположением прямой и точки и двух прямых на плоскости. Поговорим об аксиомах. В итоге обсудим методы и способы задания прямой на плоскости.
Прямая на плоскости – понятие
Для начала необходимо иметь четкое представление о том, что такое плоскость. Любую поверхность чего-либо можно отнести к плоскости, только от предметов она отличается своей безграничностью. Если представить, что плоскость – это стол, то в нашем случае он не будет иметь границ, а будет бесконечно огромен.
Если карандашом дотронуться до стола, останется отметина, которую можно называть «точкой». Таким образом, получим представление о точке на плоскости.
Рассмотрим понятие прямой линии на плоскости. Если провести прямую на листе, то она отобразится на нем с ограниченной длиной. Мы получили не всю прямую, а только ее часть, так как на самом деле она не имеет конца, как и плоскость. Поэтому изображение прямых и плоскостей в тетради формальное.
Имеем аксиому:
Определение 1
На каждой прямой и в каждой плоскости могут быть отмечены точки.
Точки обозначают как большими, так и маленькими латинскими буквами. Например, А и D или a и d .
Для точки и прямой известны только два варианта расположения: точка на прямой, иначе говоря, что прямая проходит через нее, или точка не на прямой, то есть прямая не проходит через нее.
Чтобы обозначить, принадлежит точка плоскости или точка прямой, используют знак « ∈ ». Если в условии дано, что точка A лежит на прямой a , тогда это имеет такую форму записи A ∈ a . В случае, когда точка А не принадлежит, тогда другая запись A ∉ a .
Справедливо суждение:
Определение 2
Через любые две точки, находящиеся в любых плоскостях, существует единственная прямая, которая проходит через них.
Данное высказывание считается акисомой, поэтому не требует доказательств. Если рассмотреть это самостоятельно, видно, что при существующих двух точках имеется только один вариант их соединения. Если имеем две заданные точки А и В, то прямую, проходящую через них можно назвать данными буквами, например, прямая А В. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Прямая, расположенная на плоскости, имеет большое количество точек. Отсюда исходит аксиома:
Определение 3
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все остальные точки данной прямой принадлежат плоскости.
Множество точек, находящееся между двумя заданными, называют отрезком прямой. Он имеет начало и конец. Введено обозначение двумя буквами.
Если дано, что точки А и Р – концы отрезка, значит, его обозначение примет вид Р А или А Р. Так как обозначения отрезка и прямой совпадают, рекомендовано дописывать или договаривать слова «отрезок», «прямая».
Краткая запись принадлежности включает в себя использование знаков ∈ и ∉ . Для того, чтобы зафиксировать расположение отрезка относительно заданной прямой, применяют ⊂ . Если в условии дано, что отрезок А Р принадлежит прямой b , значит, и запись будет выглядеть следующим образом: А Р ⊂ b .
Случай принадлежности одновременно трех точек одной прямой имеет место быть. Это верно, когда одна точка лежит между двумя другими. Данное утверждение принято считать аксиомой. Если даны точки А, В, С, которые принадлежат одной прямой, а точка В лежит между А и С, следует, что все заданные точки лежат на одной прямой, так как лежат по обе стороны относительно точки B .
Точка делит прямую на две части, называемые лучами.Имеем аксиому:
Определение 4
Любая точка O , находящаяся на прямой, делит ее на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону луча относительно точки O , а другие – по другую сторону луча.
Расположение прямых на плоскости может принимать вид двух состояний.
Определение 5
совпадать .
Такая возможность появляется, когда прямые имеют общие точки. Исходя из аксиомы, написанной выше, имеем, что через две точки проходит прямая и только одна. Значит, что при прохождении 2 прямых через заданные 2 точки, они совпадают.
Определение 6
Две прямые на плоскости могут пересекаться .
Данный случай показывает, что имеется одна общая точка, которую называют пересечением прямых. Вводится обозначение пересечение знаком ∩ . Если имеется форма записи a ∩ b = M , то отсюда следует, что заданные прямые a и b пересекаются в точке M .
При пересечении прямых имеем дело образовавшимся углом. Отдельному рассмотрению подвергается раздел пересечения прямых на плоскости с образованием угла в 90 градусов, то есть прямого угла. Тогда прямые называют перпендикулярными.Форма записи двух перпендикулярных прямых такая: a ⊥ b , а это значит, что прямая a перпендикулярна прямой b .
Определение 7
Две прямые на плоскости могут быть параллельны .
Только в том случае, если две заданные прямые не имеют общих пересечений, а, значит, и точек, они параллельны. Используется обозначение, которое можно записать при заданной параллельности прямых a и b: a ∥ b .
Прямая на плоскости рассматривается вместе с векторами. Особое значение придается нулевым векторам, которые лежат на данной прямой или на любой из параллельных прямых, имеют название направляющие векторы прямой. Рассмотрим рисунок, расположенный ниже.
Ненулевые векторы, расположенные на прямых, перпендикулярных данной, иначе называют нормальными векторами прямой. Подробно имеется описание в статье нормальный вектор прямой на плоскости. Рассмотрим рисунок ниже.
Если на плоскости даны 3 линии, их расположение может быть самое разное. Есть несколько вариантов их расположения: пересечение всех, параллельность или наличие разных точек пересечения. На рисунке показано перпендикулярное пересечение двух прямых относительно одной.
Для этого приводим необходимы факторы, доказывающие их взаимное расположение:
- если две прямые параллельны третьей, тогда они все параллельны;
- если две прямые перпендикулярны третьей, тогда эти две прямые параллельны;
- если на плоскости прямая пересекла одну параллельную прямую, тогда пересечет и другую.
Рассмотрим это на рисунках.
Прямая на плоскости может быть задана несколькими способами. Все зависит от условия задачи и на чем будет основано ее решение. Эти знания способны помочь для практического расположения прямых.
Определение 8
Прямая задается при помощи указанных двух точек, расположенных в плоскости.
Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну единственную. Когда прямоугольная система координат указывает координаты двух несовпадающих точек, тогда можно зафиксировать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим рисунок, где имеем прямую, проходящую через две точки. 
Определение 9
Прямая может быть задана через точку и прямую, которой она параллельна.
Данный способ имеет место на существование, так как через точку можно провести прямую, параллельную заданной, причем, только одну. Доказательство известно еще из школьного курса по геометрии.
Если прямая задана относительно декартовой системы координат, тогда возможно составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Рассмотрим принцип задания прямой на плоскости.
Определение 10
Прямая задается через указанную точку и направляющий вектор.
Когда прямая задается в прямоугольной системе координат, есть возможность составления канонического и параметрического уравнений на плоскости. Рассмотрим на рисунке расположение прямой при наличии направляющего вектора.
Четвертым пунктом задания прямой имеет смысл, когда указана точка, через которую ее следует начертить, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:
Определение 11
Через заданную точку, расположенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная заданной.
И последний пункт, относящийся к заданию прямой на плоскости, это при указанной точке, через которую проходит прямая, и при наличии нормального вектора прямой. При известных координатах точки, которая расположена на заданной прямой, и координатах нормального вектора есть возможность записывания общего уравнения прямой.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
На прямой а (рис. 7, о) взяты точки А, В и С. Точка В лежит между точками А и С. Можно также сказать, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В. Точки А и В лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точкой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А.Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов.
На рисунке 7, б отрезок АВ является частью прямой а. Точка М лежит между точками А и В, а поэтому принадлежит отрезку АВ; точка К не лежит между точками А и В, поэтому не принадлежит отрезку АВ.
Аксиома (основное свойство) расположения точек на прямой формулируется так:
Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Следующая аксиома выражает основное свойство измерения отрезков.
Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке МК взять любую точку С, то длина отрезка МК равна сумме длин отрезков МС и СК (рис. 7, в).
Длину отрезка МК называют также расстоянием между точками М и К.
Пример 1. На прямой даны три точки О, Р и М. Известно, что . Лежит ли точка Р между О и М? Может ли точка В принадлежать отрезку РМ, если ? Объяснить ответ.
Решение. Точка Р лежит между точками О и М, если Проверим выполнение этого условия: . Вывод: точка Р лежит между точками О и М.
Точка В принадлежит отрезку РМ, если она лежит между точками Р и М, т. е. Проверим: , а по условию . Вывод: точка В не принадлежит отрезку РМ.
Пример 2. Можно ли на плоскости расположить 6, 7 и 8 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?
Решение. 6 отрезков расположить так можно (рис. 8, о). 8 отрезков так расположить тоже можно (рис. 8, б). 7 отрезков так расположить нельзя.
Докажем последнее утверждение. Предположим, что такое расположение семи отрезков возможно. Занумеруем отрезки и составим такую таблицу в клетке на пересечении строки и столбца поставим « + », если отрезок пересекается с j-м, и «-», если не пересекается. Если то тоже ставим Подсчитаем двумя способами, сколько знаков в таблице.
С одной стороны, в каждой строке их 3, поэтому всего знаков . С другой стороны, таблица заполнена симметрично относительно диагонали:
если в клетке С: j) стоит то в клетке тоже. Значит, общее количество знаков должно быть четным. Получили противоречие.
Здесь мы воспользовались доказательством методом от противного.
5. Луч.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки. Эта точка называется начальной точкой полупрямой или началом луча. Различные полупрямые одной и той же прямой с общей начальной точкой называются дополнительными.
Полупрямые обозначаются строчными латинскими буквами. Можно обозначить полупрямую двумя буквами: начальной и еще какой-нибудь буквой, соответствующей точке, принадлежащей полупрямой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, на рисунке 9, а изображены лучи АВ и АС, являющиеся дополнительными, на рисунке 9, б изображены лучи МА, MB и луч с.
Следующая аксиома отражает основное свойство откладывания отрезков-.
На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
Пример. Даны две точки А и В. Сколько прямых можно провести через точки А и В? Сколько существует на прямой АВ лучей с началом в точке А, в точке В? Отметить на прямой А В две точки, отличные от А и В. Принадлежат ли они отрезку АВ?
Решение. 1) По аксиоме через точки А и В всегда можно провести прямую, и только одну.
2) На прямой АВ с началом в точке А существуют два луча, которые называются дополнительными. Аналогично и для точки В.
3) Ответ зависит от расположения отмеченных точек. Рассмотрим возможные случаи (рис. 10). Ясно, что в случае а) точки принадлежат отрезку АВ; в случаях б), в) одна точка
принадлежит отрезку, а другая нет; в случаях г) и д) точки М и N не принадлежат отрезку АВ.
6. Окружность. Круг.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
На рисунке 11, а изображена окружность с центром в точке О. Отрезок ОА - радиус этой окружности, BD - хорда окружности, СМ - диаметр окружности.
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга. Границей круга, является окружность с теми же центром и радиусом (рис. 11, б).
Пример. На какое наибольшее число различных частей, не имеющих общих точек, кроме своих границ, могут разбивать плоскость: а) прямая и окружность; б) две окружности; в) три окружности?
Решение. Изобразим на рисунке соответствующие условию случаи взаимного расположения фигур. Запишем ответ: а) четыре части (рис. 12, о); б) четыре части (рис. 12, б); в) восемь частей (рис. 12, в).
7. Полуплоскость.
Сформулируем еще одну аксиому геометрии.
Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
На рисунке 13 прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости так, что каждая точка плоскости, не принадлежащая прямой о, лежит в одной из них. Это разбиение обладает следующим свойством: если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой; если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой. На рисунке 13 точки лежат в одной из полуплоскостей, на которые Прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезок АВ не пересекается с прямой а. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях. Поэтому отрезок CD пересекает прямую а.
8. Угол. Градусная мера угла.
Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла (рис. 14). Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется развернутым.
Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек; вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол иногда заменяют символом Z.
Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами:
Говорят, что луч с проходит между сторонами угла если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.
На рисунке 15 луч с проходит между сторонами угла , так как он пересекает отрезок АВ.
В случае развернутого угла любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.
Углы измеряются в градусах. Если взять развернутый угол и разделить его на 180 равных углов, то градусная мера каждого из этих углов называется градусом.
Основные свойства измерения углов выражены в следующей аксиоме:
Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла то угол равен сумме углов
Градусная мера угла находится при помощи транспортира.
Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180° называется тупым.
Сформулируем основное свойство откладывания углов.
От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
Рассмотрим полупрямую а. Продлим ее за начальную точку А. Полученная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке 16 показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.
Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.
Пусть углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол меньше угла . В теореме 1. 2 утверждается, что луч b проходит между сторонами угла (ас) (рис. 17).
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит угол пополам. На рисунке 18 луч ОМ - биссектриса угла АОВ.
В геометрии существует понятие плоского угла. Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существуют два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 19 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и b.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой является градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера равна 360° - а, где а - градусная мера дополнительного плоского угла.
Пример. Между сторонами угла равного 120°, проходит луч а. Найти углы если их градусные меры относятся как 4:2.
Решение. Луч а проходит между сторонами угла значит, по основному свойству измерения углов (см. п. 8)
Так как градусные меры относятся как 4:2, то
9. Смежные и вертикальные углы.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. На рисунке 20 углы смежные.
Сумма смежных углов равна 180°.
Из теоремы 1. 3 следуют свойства:
1) если два угла равны, то смежные с ними углы равны;
2) угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол;
3) угол, смежный с острым, является тупым, а смежный с тупым - острым.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. На рисунке 21, а углы вертикальные.
Вертикальные углы равны.
Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют смежные и вертикальные углы. Смежные углы дополняют Друг Друга до 180°. Угловая мера меньшего из них называется углом между прямыми.
Пример. На рисунке 21, б угол равен 30.° Чему равны углы АОК и
Решение. Углы COD и АОК вертикальные, следовательно, по теореме 1.4 они равны, т. е. Угол ТЮК смежный с углом СОД значит, по теореме 1.3
10. Центральные и вписанные углы.
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
На рисунке 22 угол АОВ - центральный угол окружности, его вершина О является центром данной окружности, а стороны ОА и ОВ пересекают окружность. Дуга АВ является частью окружности, расположенной внутри центрального угла.
Градусная мера дуги АВ на рисунке 22 равна градусной мере угла АОВ. Градусная мера дуги АВ обозначается АВ.
Угол, вершина которого лежнт на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. На рисунке 23 изображены вписанные углы.
Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняет эту половину до 180°.
При доказательстве теоремы 1. 5 необходимо рассмотреть три разных случая, которые изображены на рисунке 23: одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности (рис. 23, с); центр окружности лежнт внутри вписанного угла (рис. 23, б); центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 23, в).
Из теоремы 1. 5 вытекает следствие: все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одиу сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны; вписанные углы, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, прямые.
На рисунке 24 стороны вписанного угла ABC проходят через концы диаметра АС, поэтому
Пример. Точки А у В и С лежат на окружности с центром О. Найти угол АОС, если
Решение. Угол ABC, вписанный в окружность, опирается на дугу АС, а центральный угол данной окружности (рис. 25). , значит, по теореме 1. 5, а так как угол АОС центральный, то его градусная мера равна градусной мере дуги АС, т. е.
11. Параллельные прямые.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
На рисунке 26 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую 6, параллельную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется символ II. Запись читается: «Прямая а параллельна прямой b».
Аксиома параллельности выражает основное свойство параллельных прямых.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
На рисунке 27 прямые а и b параллельны прямой с. Теорема 1. 6 утверждает, что .
Можно доказать, что через точку, не принадлежащую прямой, можно провести прямую, параллельную данной. На рисунке 28 через точку А, не принадлежащую b, проведена прямая а, параллельная прямой b.
Сопоставляя это утверждение и аксиому параллельных, приходят к важному выводу: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одиу.
Аксиома параллельности в книге Евклида «Начала называлась «пятый постулат. Геометры древности пытались доказать единственность параллельной. Эти безрезультатные попытки продолжались более 2000 лет, вплоть до XIX в.
Великий русский математик Н. И. Лобачевский и независимо от него венгерский математик Я. Бойяи показали, что, приняв допущение о возможности проведения через точку нескольких прямых, параллельных данной, можно построить другую, столь же «правильную «неевклидову геометрию. Так родилась геометрия Лобачевского.
Примером теоремы, которая использует понятие параллельности, а ее доказательство опирается на аксиому параллельных, служит теорема Фалеса. Фалес Милетский - древнегреческий математик, живший в 625-547 гг. до н. э.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (теорема Фалеса).
Пусть точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и лежит между (рис. 29). Пусть соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Теорема 1.7 утверждает, что если то
Пример 1. Могут ли семь прямых пересекаться в восьми точках?
Решение. Могут. Например, на рисунке 30 изображены семь таких прямых, три из которых параллельны.
Пример 2. Произвольный отрезок АС разделить на 6 равных частей.
Решение. Начертим отрезок АС. Проведем из точки А луч AM, не лежащий на прямой АС. На луче AM от точки А последовательно отложим 6 равных отрезков (рис. 31). Концам отрезков дадим обозначения Соединим точку отрезком с точкой С и через точки проведем прямые, параллельные прямой . Точки пересечения этих прямых с отрезком АС разделят его на 6 равных частей (по теореме 1. 7).
12. Признаки параллельности прямых.
Пусть АВ и CD - две прямые. Пусть АС - третья прямая, пересекающая прямые АВ и CD (рис. 32, с). Прямая АС по отношению к прямым АВ и CD называется секущей. Образованные этими прямыми углы часто рассматриваются попарно. Пары углов получили специальные названия. Так, если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними односторонними (рис. 32, с). Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС, то углы ВАС и DCA называются внутренними накрест лежащими (рис. 32, б).
Секущая АС образует с прямыми АВ и CD две пары внутренних односторонних две пары внутренних накрест лежащих углов рис. 32, в).
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
На рисунке 32, в обозначены цифрами четыре пары углов. Теорема 1.8 утверждает, что если или то прямые с и b параллельны. Теорема 1.8 также утверждает, что если или , то прямые а и b параллельны.
Теоремы 1.6 и 1.8 являются признаками параллельности прямых. Верна и теорема, обратная теореме 1.8.
Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Пример. Один из внутренних односторонних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, в 4 раза больше другого. Чему равны эти углы?
Решение. По теореме 1.9 сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180°. Обозначим эти углы буквами а и Р, тогда а известно, что а больше в 4 раза, значит, тогда Итак,
13. Перпендикулярные прямые.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (рис. 33).
Перпендикулярность прямых записывается при помощи символа Запись читается: «Прямая а перпендикулярна прямой b».
Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, имеющий концом их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.
На рисунке 34 перпендикуляр А В проведен из точки А к прямой а. Точка В - основание перпендикуляра.
Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одиу.
Из любой точки, не лежащей на дайной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.
Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки одной прямой до другой прямой.
Пусть ВА - перпендикуляр, опущенный из точки на прямую а, и С - любая точка прямой с, отличная от А. Отрезок ВС называется наклонной, проведенной из точки В к прямой а (рис. 35). Точка С называется основанием наклонной. Отрезок АС называется проекцией наклонной.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром.
На рисунке 36 прямая а перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через точку С - середину отрезка АВ, т. е. а - серединный перпендикуляр.
Пример. Равные отрезки AD и СВ, заключенные между параллельными прямыми АС и BD, пересекаются в точке О. Доказать, что .
Решение. Проведем из точек А к С перпендикуляры к прямой BD (рис. 37). АК=СМ как расстояние между параллельными прямыми, ZAKD и ДСЛЯВ прямоугольные, они
равны по гипотенузе и катету (см. Т. 1. 25), а значит, равнобедренный (Т. 1.19), а значит, Из равенства треугольников АКТ) и СТАВ следует, что , а тогда , т. е. А. АОС равнобедренный, а значит,
14. Касательная к окружности. Касание окружностей.
Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. При этом данная точка окружности называется точкой касания. На рисунке 38 прямая а проведена через точку А окружности перпендикулярно к радиусу ОА. Прямая с является касательной к окружности. Точка А является точкой касания. Можно сказать также, что окружность касается прямой а в точке А.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку, касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую касательную. Касание окружностей называется внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторону от их общей касательной. Касание окружностей называется внешним, если центры окружностей лежат по разные стороны от их общей
касательной. На рисунке 39, с касание окружностей внутреннее, а на рисунке 39, б - внешнее.
Пример 1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.
Решение. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому центр искомой окружности лежит на перпендикуляре к данной прямой, проходящем через данную точку, и находится от данной точки на расстоянии, равном радиусу. Задача имеет два решения - две окружности, симметричные друг другу относительно данной прямой (рис. 40).
Пример 2. Две окружности диаметром 4 и 8 см касаются внешним образом. Чему равно расстояние между центрами этих окружностей?
Решение. Радиусы окружностей ОА и О, А перпендикулярны общей касательной, проходящей через точку А (рис. 41). Поэтому см.
15. Треугольники.
Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. Треугольник обозначается его вершинами. Вместо слова «треугольник употребляется символ Д.
На рисунке 42 изображен треугольник ABC; А, В, С - вершины этого треугольника; А В, ВС и АС - его стороны.
Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный полупрямыми А В и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В к С.
Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.
Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. На рисунке 43, с отрезок AD - высота остроугольного A. ABC, а на рисунке 43, б основание высоты тупоугольного - точка D - лежит на продолжении стороны ВС.
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне. На рисунке 44 отрезок AD - биссектриса треугольника АВС.
Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой
противолежащей стороны треугольника. На рисунке 45 отрезок AD - медиана треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Пусть DE - средняя линия треугольника ABC (рис. 46).
Теорема утверждает, что .
Неравенством треугольника называется свойство расстояний между тремя точками, которое выражается следующей теоремой:
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
Пусть три данные точки. Взаимное расположение этих точек может быть различным: а) две точки из трех или все три совпадают, в этом случае утверждение теоремы очевидно; б) точки различны и лежат на одной прямой (рис. 47, а), одна из них, например В, лежит между двумя другими, в этом случае откуда следует, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух других; в) точки не лежат
на одной прямой (рис. 47, б), тогда теорема 1.14 утверждает, что .
В случае в) три точки А, В, С являются вершинами треугольника. Поэтому в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
Пример 1. Существует ли треугольник ABC со сторонами: а) ; б)
Решение. Для сторон треугольника ABC должны выполняться неравенства:
В случае а) неравенство (2) не выполняется, значит, такого расположения точек быть не может; в случае б) неравенства выполняются, т. е. треугольник существует.
Пример 2. Найти расстояние между пунктами А и , разделенными препятствием.
Решение. Для нахождения расстояния провешиваем базис CD и проводим прямые ВС и AD (рис. 48). Находим точку М - середину CD. Проводим и MPAD. Из следует, что PN - средняя линия, т. е.
Измерив PN, нетрудно найти АВ.
16. Равенство треугольников.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах.
Треугольники ABC и называются равными, если
Кратко это выражают словами: треугольники равны, если у них соответствующие стороны и соответствующие углы равны.
Сформулируем основное свойство существования равных треугольников (аксиому существования треугольника, равного данному):
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Справедливы три признака равенства треугольников:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними).
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам).
Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства треугольников по трем сторонам).
Пример. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС (рис. 49). Известно, что Доказать, что
Решение. по условию, и так как эти углы получены вычитанием из равных углов BCD и DAB равных углов ВС А и DAC. Кроме этого, в указанных треугольниках сторона АС общая. Эти треугольники равны по стороне и прилежащим к ней углам
17. Равнобедренный треугольник.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.
В треугольнике значит, ABC равнобедренный с основанием АС.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (обратная теореме Т. 1.18).
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Можно также доказать, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Аналогично биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является медианой и высотой.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.
Пример. В треугольнике ADB угол D равен 90°. На продолжении стороны AD отложен отрезок (точка D лежит между точками А и С) (рис. 51). Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Из теоремы 1.22 следует, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.
Пример. В треугольнике
Биссектриса AD этого треугольника отсекает от него Найти углы этого треугольника.
Решение. так как AD - биссектриса угла А (см. п. как внешний угол по теореме о сумме углов
19. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то у прямоугольного треугольника только один прямой угол. Два других угла прямоугольного треугольника острые, причем они дополняют друг друга до 90°. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами. A ABC, изображенный на рисунке 54, прямоугольный, прямой, гипотенуза, СВ и ВА - катеты.
Для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и острому углу).
Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по катету и противолежащему углу).
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (признак равенства по гипотенузе и катету).
В прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий атому углу, равен пол шине гипотенузы.
В треугольнике ABC, изображенном на рисунке прямой, Значит, в этом треугольнике .
В прямоугольном треугольнике справедлива теорема Пифагора, названная в честь древнегреческого ученого Пифагора, жившего в VI в. до н. э.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
Пусть ABC - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С, катетами а и b и гипотенузой с (рис. 56). Теорема утверждает, что
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
Из теоремы Пифагора следует, что если к прямой из одной точки проведейы перпендикуляр и наклонная, то наклонная больше перпендикуляра; равные наклонные имеют равные проекции; из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
На рисунке 57 из точки О к прямой а проведен перпендикуляр ОА и наклонные ОВ, ОС и OD, при этом На основании вышесказанного: а)
Периметр прямоугольника KDMA равен 18 см
Пример 3. В окружности, радиус которой 25 см, проведены по одну сторону от ее центра две параллельные хорды длиной 40 и 30 см. Найти расстояние между этими хордами.
Решение. Проведем радиус ОК, перпендикулярный хордам АВ и CD, соединим центр окружности О с точками С, A, D и В (рис. 60). Треугольники COD и АОВ равнобедренные, так как (как радиусы); ОМ и ON - высоты этих треугольников. По теореме 1.20 каждая из высот является одновременно медианой соответствующего треугольника, т. е. и
Треугольники ОСМ и О AN прямоугольные, в них . ON и ОМ найдем по теореме Пифагора .
20. Окружности, вписанные в треугольник и описанные около треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
На рисунке 61 окружность описана около треугольника ABC. Центр этой окружности О является точкой пересечения серединных перпендикуляров ОМ, ON и OJT, проведенных соответственно к сторонам АВ, ВС и С А.
Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.
На рисунке 62 окружность вписана в треугольник ABC. Центр этой окружности О является точкой пересечения биссектрис АО, ВО и СО соответствующих углов треугольника.
Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиусы: 1) вписанной в него окружности; 2) описанной окружности.
Решение. 1) Пусть дан треугольник ABC, в котором - центр вписанной окружности (рис. 63, а). Периметр треугольника ABC равен сумме удвоенной гипотенузы и диаметра вписанной в треугольник окружности (используйте определение касательной к окружности и равенство прямоугольных треугольников АОМ и АОК, МОС и LOC по гипотенузе и катету).
Таким образом, откуда по теореме Пифагора , т. е. .
2) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности см (рис. 63, б).
