Тренировочные задания по теореме пифагора. Задачи на применение теоремы пифагора. Упрощенное доказательство Евклида

МБНОУ «Лицей № 3 (искусств)»

Урок подготовила учитель математики

Сватковская Елена Александровна

ОТКРЫТЫЙ УРОК по ГЕОМЕТРИИ

«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»

Тип урока : урок – обобщение.
Цели урока : А) образовательные: обеспечение прочного и сознательного овладения системой геометрических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования; формирование алгоритмического мышления; формирование интереса к предмету; Б) развивающие: развивать у учащихся точную, экономную, информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства; творческую мыслительную деятельность учащихся на уроках посредством решения задач с не сформулированным вопросом, анализа данных, задач исследовательского характера; способствовать развитию интеллектуальных качеств личности школьников (самостоятельность, гибкость мышления, способность к «видению» проблемы, оценочным действиям, обобщению), быстрому переключению; способность формирования навыков индивидуальной и самостоятельной работы; формировать способность четко и ясно излагать мысли; применение теоремы Пифагора, следствия и и обратной ей теоремы для формирования навыков: нахождения неизвестного катета или гипотенузы из прямоугольного треугольника или элементов других фигур, для определения вида треугольника. В) воспитательные: воспитывать умение действовать по заданному алгоритму и конструировать новые; давать общее знакомство с методами познания действительности; понимание красоты и изящества математических рассуждений; прививать учащимся интерес к предмету посредством включения их в решение практических задач, применения информационных технологий; формировать умение четко и грамотно выполнять математические записи.
Развивать КОМПЕТЕНЦИИ:
Ответственность и адаптивность Коммуникативные умения Творчество и любознательность Критическое и системное мышление Умения работать с информацией и медиасредствами Умения ставить и решать проблемы Направленность на саморазвитие Социальная ответственность

ИКТ : использование на уроке презентации и компьютерного тестирования.

ПЛАН УРОКА :

Повторение пройденного материала. (слайды 1-4)

Проверка домашней работы: задача индийского математика Бхаскары про тополь. (слайд 5-6)

Устный опрос. (слайды 7-13)

Проверка пройденного материала в форме тестирования с последующей проверкой самими учащимися. (слайды 14-17)

Решение задач по теме «Теорема Пифагора»:

а) древняя задача про птиц арабского математика 11 века; (слайды 18-20) б) задача про стрелков; (слайд 21) в) задача с использованием свойств окружности. (слайды 22-25)

Домашнее задание: (слайды 26-29)

а) древняя задача про камыш; б) задача с использованием свойства касательной к окружности. в) разбор памятки; г) разгадайте кроссворд.

Историческая справка (слайды 30-34).

Подведение итогов урока, выставление оценок.

ХОД УРОКА:
1. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА. На доску проецируются слайды 1-4 с выкладками теории.
2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ. На доску проецируются слайды 5-6. Учащиеся проверяют правильность выполнения задачи про тополь индийского математика Бхаскары.
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
Решение. Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АB²=AC²+BC², АB²=9+16=25, АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов.

3. УСТНЫЙ ОПРОС. На доску проецируются слайды 7-13, на которых изображены задания с одновременным комментированием решения. а) Найдите косинус угла А и косинус угла В.
(сos сos б) Как запишется теорема Пифагора для прямоугольного треугольника АОС. (АС²=АО²+ОС²) в) Как называются прямоугольные треугольники, у которых стороны – целые числа? (Пифагоровы)

г) Как называются прямоугольные треугольники, стороны которых пропорци-

ональны числам 3, 4 и 5? (Египетский)

д) Сколько пифагоровых треугольников изображено на рисунке? (3)

е) Найдите катет ЕН прямоугольного треугольника ЕН F .

Н F

ЕН=НF=x
x²+x²=1600
2x²=1600
x²=800
x=20√2 (мм)

ж) Найдите периметр АВСD.

BC=CD=DE=AE=4
AD=8

ТреугольникABE:
AB²=AE²+BE²
AB²=16+16
AB²=32
AB=4√2

Р=4+4+8+4√2=
=16+4√2

4. ПРОВЕРКА ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА В ФОРМЕ ТЕСТИРОВАНИЯ.

Учащиеся получают карточки с заданиями теста (2 экземпляра с копировальной

бумагой). После ответа на поставленные вопросы ученики сдают первый экземпляр

учителю, а по второму проверяют правильность выполнения заданий по слайдам,

проецируемым учителем на доску (слайды 14-17).

1 вариант 1. Какой из данных треугольников – прямоугольный?

2. применить теорему Пифагора?

а) б) в) 3. Найдите катет прямоугольного треу- гольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 8 см. а) 289 см в) 15 см д) 64 см б) 120 см г) 23 см 4. Сторона квадрата а. Найдите сумму длин его диагоналей. а) а в) 2а

д) 2а

б) а г) а
2 вариант 1. Какой из данных треугольников - прямоугольный?

2. К каким из этих треугольников можно применить теорему Пифагора?

а) б) в) 3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. а) 5 см в) 12 см д) 169 см б) 13 см г) 17 см 4. Половина диагонали квадрата равна b. Найдите его сторону. а) в) b д) bб) b г) 2b

5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА».

Все учащиеся решают задачи на доске и в тетрадях, а двое садятся за компьютеры и

решают задачи самостоятельно.

а) Задача арабского математика 11 века про птиц (на доске слайды 18-20):

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Итак, в треугольнике АDВ: АВ =ВD +АD

АВ=302 +Х

АВ=900+ Х

в треугольнике АЕС: АС= СЕ+АЕ

АС=202+(50 – Х)

АС=400+2500 – 100Х+Х

АС=2900 – 100Х+Х.

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.

Поэтому АВ =АС ,

900+Х =2900 – 100Х+Х,

100Х=2000,

б) Задача про стрелков (на доске слайд 21 с текстом задачи) :

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 метров от нее расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками 120 метров. Дальность полета пули 2,8 километров. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Итак, треугольник ABE – прямоугольный.

АВ=АЕ+ВЕ

АЕ=АВ-ВЕ=2800-500=7840000-250000=7590000

АЕ=100
(м)

АЕ+FD= 200 (м)

АD=120+200 (м).

Ответ: длина дороги под обстрелом 120+200 метров.

Затем на доску проецируются слайды 22-24 с комментариями учителя. Ученики

получают аналогичную распечатку данной памятки.

в) Задача с использованием свойств окружности (на доске слайд 25 с текстом

В окружности с центром О проведена хорда АВ. Точка К – середина хорды.
Найдите: - радиус окружности, если АВ=24 см, ОК=5 см; - АВ, если радиус равен 17см, ОК=8 см.

Итак, треугольник КОВ– прямоугольный: АВ=2АК=2КВ; ОВ=ОК+КВ ОВ=ОК+КВ ОВ= 12+5=144+25=169 КВ=ОВ-КО=17-8=289-64=225 ОВ=13 (см). КВ=15 (см) АВ=2КВ=30 (см).

6. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. Учащиеся получают распечатку с текстами задач.
а) Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»:

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "
б) Задача с использованием свойств касательной к окружности:

К окружности с центром О проведена касательная МК, где М – точка касания.
Найдите:

а) МК, если ОК=12 м, а радиус окружности равен 8 мм;

б) радиус окружности, если МК=6 см, ОК=8 см.

в) Разбор памятки.

г) Разгадайте кроссворд:

По горизонтали:

Одна из сторон прямоугольного треугольника; Действие, используемое в теореме Пифагора; Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу; Древнегреческий математик, чьим именем названа теорема, изученная на уроке; Фигура, о которой идет речь в теореме Пифагора; Вид треугольника, для которого верно утверждение "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов"; Степень, в которую возводят и гипотенузу, и катеты в теореме Пифагора.

7. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

На доске показываются слайды 29-33 с информацией о рождении Пифагора, открытии теоремы Пифагора. Учащиеся, заранее готовившие материал, зачитывают фрагменты.

а) Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.

б) За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.

в) Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».

г)Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:

«Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).

д) Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

8. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА.

Слайд 2

«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора». Иоганн Кеплер

Слайд 3

Закончите предложение:

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равен ____ 90°

Слайд 4

Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются _________ катетами

Слайд 5

Сторона треугольника, лежащая против прямого угла, называется ____________ Закончите предложение: гипотенузой

Слайд 6

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен ____________ Закончите предложение: сумме квадратов катетов

Слайд 7

Сформулированное выше предложение носит название ____________ Теорема Пифагора c² = a² + b²

Слайд 8

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник – ____________ Закончите предложение: прямоугольный

Слайд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведите линии так, чтобы соответствие между фигурой и формулой вычисления её площади было верным S=½ (a +b)h S=½ ab

Слайд 10

Долина устных задач Остров Незнаек Полянка Здоровья Город Мастеров Крепость Формул Историческая тропинка

Слайд 11

Долина устных задач

Слайд 12

Н S Р 12 см 9 см 15 см? Найдите: SP

Слайд 13

К? 12 см 13 cм N М Найдите: КN 5 cм

Слайд 14

В? 8 см 17 см А D С Найдите: АD 15 cм

Слайд 15

Остров Незнаек

Слайд 16

Задача индийского математика XII века Бхаскары "На берегу реки рос тополь одинокий.Вдруг ветра порыв его ствол надломал.Бедный тополь упал. И угол прямойС теченьем реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте рекаВ четыре лишь фута была широкаВерхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?"

Слайд 17

Из одной точки на земле отправились в путь автомобиль и самолет. Автомобиль преодолел расстояние 8 км, когда самолет оказался на высоте 6 км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта? Задача

Слайд 18

8 км 6 км? км

Слайд 19

Решаем по учебнику задачу № 494(стр. 133)

Слайд 20

Полянка Здоровья

Слайд 21

(580 - 500 г. до н.э.) Пифагор

Слайд 22

Дабы познать науки, Пифагор много путешествовал, в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне он организовал кружок молодежи из представителей аристократии, куда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так возникла знаменитая «Пифагорейская школа».

Слайд 23

Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Однако, в школе существовал Декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору.

(вариант 1)

В прямоугольник ABCD смежные стороны относятся как 12:5, а его диагональ равна 26 см. Чему равна меньшая сторона прямоугольника?

В параллелограмме ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма О проведена прямая, перпендикулярная стороне BC . Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону AD.