Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:
Другими словами, мгновенная скорость – это радиус-вектора по времени.
Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.
Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.
Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.
Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»
ПРИМЕР 1
ПРИМЕР 2
| Задание | Закон движения точки по прямой задается уравнением . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения. |
| Решение | Мгновенная скорость точки – это радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:
Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение: |
| Ответ | Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки м/с. |
ПРИМЕР 3
| Задание | Тело движется по прямой так, что его координата (в метрах) изменяется по закону . Через сколько секунд после начала движения тело остановится? |
| Решение | Найдем мгновенную скорость тела: |
Если материальная точка находится в движении, то ее координаты подвергаются изменениям. Этот процесс может происходить быстро или медленно.
Определение 1
Величина, которая характеризует быстроту изменения положения координаты, называется скоростью .
Определение 2
Средняя скорость – это векторная величина, численно равная перемещению в единицу времени, и сонаправленная с вектором перемещения υ = ∆ r ∆ t ; υ ∆ r .
Рисунок 1 . Средняя скорость сонаправлена перемещению
Модуль средней скорости по пути равняется υ = S ∆ t .
Мгновенная скорость характеризует движение в определенный момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» считается не корректным, но применимым при математических расчетах.
Определение 3
Мгновенной скоростью называют предел, к которому стремится средняя скорость υ при стремлении промежутка времени ∆ t к 0:
υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ .
Направление вектора υ идет по касательной к криволинейной траектории, потому как бесконечно малое перемещение d r совпадает с бесконечно малым элементом траектории d s .
Рисунок 2 . Вектор мгновенной скорости υ
Имеющееся выражение υ = l i m ∆ t ∆ r ∆ t = d r d t = r ˙ в декартовых координатах идентично ниже предложенным уравнениям:
υ x = d x d t = x ˙ υ y = d y d t = y ˙ υ z = d z d t = z ˙ .
Запись модуля вектора υ примет вид:
υ = υ = υ x 2 + υ y 2 + υ z 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
Чтобы перейти от декартовых прямоугольных координат к криволинейным, применяют правила дифференцирования сложных функций. Если радиус-вектор r является функцией криволинейных координат r = r q 1 , q 2 , q 3 , тогда значение скорости запишется как:
υ = d r d t = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i ∂ q i ∂ r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i q ˙ i .
Рисунок 3 . Перемещение и мгновенная скорость в системах криволинейных координат
При сферических координатах предположим, что q 1 = r ; q 2 = φ ; q 3 = θ , то получим υ , представленную в такой форме:
υ = υ r e r + υ φ e φ + υ θ φ θ , где υ r = r ˙ ; υ φ = r φ ˙ sin θ ; υ θ = r θ ˙ ; r ˙ = d r d t ; φ ˙ = d φ d t ; θ ˙ = d θ d t ; υ = r 1 + φ 2 sin 2 θ + θ 2 .
Определение 4
Мгновенной скоростью называют значение производной от функции перемещения по времени в заданный момент, связанной с элементарным перемещением соотношением d r = υ (t) d t
Пример 1
Дан закон прямолинейного движения точки x (t) = 0 , 15 t 2 - 2 t + 8 . Определить ее мгновенную скорость через 10 секунд после начала движения.
Решение
Мгновенной скоростью принято называть первую производную радиус-вектора по времени. Тогда ее запись примет вид:
υ (t) = x ˙ (t) = 0 . 3 t - 2 ; υ (10) = 0 . 3 × 10 - 2 = 1 м / с.
Ответ : 1 м / с.
Пример 2
Движение материальной точки задается уравнением x = 4 t - 0 , 05 t 2 . Вычислить момент времени t о с т, когда точка прекратит движение, и ее среднюю путевую скорость υ .
Решение
Вычислим уравнение мгновенной скорости, подставим числовые выражения:
υ (t) = x ˙ (t) = 4 - 0 , 1 t .
4 - 0 , 1 t = 0 ; t о с т = 40 с; υ 0 = υ (0) = 4 ; υ = ∆ υ ∆ t = 0 - 4 40 - 0 = 0 , 1 м / с.
Ответ: заданная точка остановится по прошествии 40 секунд; значение средней скорости равняется 0 , 1 м / с.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.
Способы задания движения точки.
Задать движение точки – это значит указать правило, по которому в любой момент времени можно определить её положение в заданной системе отсчёта.
Математическое выражение этого правила называется законом движения , или уравнением движения точки.
Существует три способа задания движения точки:
векторный ;
координатный ;
естественный .
Чтобы задать движение векторным способом , нужно:
à выбрать неподвижный центр;
à положение точки определить с помощью радиус-вектора , начинающегося в неподвижном центре и заканчивающемся в движущейся точке М;
à определить этот радиус-вектор как функцию от времени t: 
.
Выражение
называется векторным законом движения точки, или векторным уравнением движения .
!! Радиус-вектор – это расстояние (модуль вектора) + направление от центра О на точку М, которое можно определять разными способами, например, углами с заданными направлениями.
Чтобы задать движение координатным способом , нужно:
à выбрать и зафиксировать систему координат (любую: декартову, полярную, сферическую, цилиндрическую и проч.);
à определить положение точки с помощью соответствующих координат;
à задать эти координаты, как функции от времени t.
В декартовой системе координат, таким образом, надо указать функции
В полярной системе координат следует определить как функции от времени полярный радиус и полярный угол:
В общем, при координатном способе задания следует задавать как функции от времени те координаты, с помощью которых определяется текущее положение точки.
Чтобы можно было задавать движение точки естественным способом , нужно знать её траекторию . Запишем определение траектории точки.
Траекторией точки называется множество её положений за какой-либо промежуток времени (обычно – от 0 до +¥).
В примере с катящимся по дороге колесом траекторией точки 1 является циклоида , а точки 2 – рулетта ; в системе отсчёта, связанной с центром колеса, траектории обеих точек – окружности .
Чтобы задать движение точки естественным способом, нужно:
à знать траекторию точки;
à на траектории выбрать начало отсчёта и положительное направление;
à определить текущее положение точки длиной дуги траектории от начала отсчёта до этого текущего положения;
à указать эту длину как функцию от времени.
Выражение, определяющее указанную выше функцию,
называют законом движения точки по траектории , или естественным уравнением движения точки.
В зависимости от вида функции (4) точка по траектории может двигаться различным образом.
3. Траектория точки и её определение.
Определение понятия «траектория точки» был дано ранее в вопросе 2. Рассмотрим вопрос об определении траектории точки при разных способах задания движения.
Естественный способ : траектория должна быть задана, так что находить её не надо.
Векторный способ : нужно перейти к координатному способу согласно равенствам
Координатный способ : нужно из уравнений движения (2), или (3) исключить время t.
Координатные уравнения движения задают траекторию параметрически , через параметр t (время). Для получения явного уравнения кривой надо параметр исключить из уравнений.
После исключения времени из уравнений (2) получаются два уравнения цилиндрических поверхностей, например, в виде
Пересечение этих поверхностей и будет траекторией точки.
При движении точки по плоскости задача упрощается: после исключения времени из двух уравнений
уравнение траектории получится в одной из следующих форм:
При будет , поэтому траекторией точки будет правая ветвь параболы:
Из уравнений движения следует, что
поэтому траекторией точки будет часть параболы, расположенная в правой полуплоскости:
Тогда получим
Так как то весь эллипс будет траекторией точки.
При 
центр эллипса будет в начале координат О; при получим окружность; параметр k на форму эллипса не влияет, от него зависит скорость движения точки по эллипсу. Если в уравнениях поменять местами cos и sin, то траектория не изменится (тот же эллипс), но изменится начальное положение точки и направление движения.
Скорость точки характеризует «быстроту» изменения её положения. Формально: скорость – перемещение точки за единицу времени .
Точное определение.
Тогда 
Отношение
