Нормальное распределение. Законы распределения случайны хвеличин Параметры для расчета распределения вейбулла

Распределения вероятностей случайных величин ; характеризуется функцией распределения

где - параметр формы кривой распределения, - параметр масштаба, - параметр сдвига. Семейство распределений (*) названо по имени В. Вейбулла , впервые использовавшего его для аппроксимации экспериментальных данных о прочности стали на разрыв при усталостпых испытаниях и предложившего методы оценки параметров распределения (*). В. р. принадлежит к асимптотич. распределению третьего типа крайних членов вариационного ряда. Оно широко используется для описания закономерностей отказов шарикоподшипников, вакуумных приборов, элементов электроники. Частными случаями В. р. являются экспоненциальное (р=1) и рэлеевское (р=2) распределения. Кривые функции распределения (*) не принадлежат семейству распределений Пирсона. Имеются вспомогательные таблицы для вычислений функции распределения Вейбулла (см. ). При квантиль уровня qравна

где - гамма-функция; вариации, асимметрия и эксцесс не зависят от , что облегчает их табулирование и создание вспомогательных таблиц для получения оценок параметров. При В. р. унимодально, равна , а функция опасности отказов не убывает. При функция монотонно убывает. Можно построить так. наз. вероятностную бумагу Вейбулла (см. ). На ней трансформируется в прямую, при образ имеет вогнутость, а при - выпуклость. Оценки параметров В. р. по методу квантилей приводят к уравнениям существенно более простым, чем по методу максимального правдоподобия. Совместная асимптотич. эффективность оценок параметров и (при ) по методу квантилей максимальна (и равна 0,64) при. использовании квантилей уровня 0,24 и 0,93. Функция распределения (*) хорошо аппроксимируется функцией распределения логнормального распределения

( - функция распределения нормированного нормального распределения,):

Лит :Weibull W., A statistical theory of the strength of materials, Stockh., 1939; Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д., Математические методы в теории надежности, М., 1965; Jоhnsоn L., The statistical treatment of fatigue experiments, Amst., 1964; Крамер Г Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М, 1975. Ю. К. Беляев, Е. В. Чепурин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ВЕЙБУЛЛА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ" в других словарях:

распределение - 3.38 распределение (allocation): Процедура, применяемая при проектировании системы (объекта) и направленная на распределение требований к значениям характеристик объекта по компонентам и подсистемам в соответствии с установленным критерием.… …

распределение Вейбулла - 1.48. распределение Вейбулла; распределение экстремальных значений типа III Распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х с функцией распределения: где х ³ а; y = (x a)/b; а параметры ¥ < a < +¥, k > 0, b > 0. Примечание … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Плотность вероятности Функция распределения Обозначение {{{notation}}} Параметры коэффициент масштаба … Википедия

Это распределение эмпирическое, получено в результате исследования широкого класса распределений сроков службы. Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени., соответствующих трем периодам жизни этих устройств.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

где  - параметр формы (определяется подбором в результате обработки экспериментальных данных,  > 0);  - параметр масштаба,

Интенсивность отказов определяется по выражению

(3.1)

Вероятность безотказной работы

(3.2)

а средняя наработки до отказа

(3.3)

Отметим, что при параметре = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, а при = 2 - в распределение Рэлея.

При 1 интенсивность отказов монотонно убывает (период приработки), а при монотонно возрастает (период износа), см. рис. 3.1. Следовательно, путем подбора параметра  можно получить, на каждом из трех участков, такую теоретическую кривую  (t), которая достаточно близко совпадает с экспериментальной кривой, и тогда расчет требуемых показателей надежности можно производить на основе известной закономерности.

Распределение Вейбулла достаточно близко подходит для ряда механических объектов (к примеру, шарикоподшипников), оно может быть использовано при ускоренных испытаниях объектов в форсированном режиме

3.Экспоненциальное распределение. Используется чаще других распределений, так как типично для сложных объектов, состоящих из многих элементов с распределениями наработки. При постоянстве интенсивности отказов дает простые расчетные формулы. Как было отмечено экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы  = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра  = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

Среднее время безотказной работы при экспоненциальном законе распределения интервала безотказной работы выражается формулой:

(3.5)

Заменив в выражении величину  величиной 1 / Т 1 ,

получим . (3.6)

Таким образом, зная среднее время безотказной работы Т 1 (или постоянную интенсивность отказов ), можно в случае экспоненциального распределения найти вероятность безотказной работы для интервала времени от момента включения объекта до любого заданного момента t.

4. Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид



где  - параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения ). Его не нужно смешивать со среднеквадратическим отклонением:

.

Интенсивность отказов равна:

(3.7)

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика (t), начинающаяся с начала координат.

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

(3.8)

Средняя наработка до отказа

(3.9)

5.Усеченное нормальное распределение. Распределение, полученное из нормального (гауссовского), ограничением положительными значениями.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

где m x ,  x - соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение случайной величины х.

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать m x и  x .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.10)

а интенсивность отказов - по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые (t), Р(t) и (t) для случая  t  m t , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления .

4. Гамма-распределение . Распределение Пуассона и гамма распределение рассматриваются во взаимосвязи, поскольку они оба характеризуют одинаковые процессы. Только в первом случае в качестве переменной рассматриваются отказы, а во втором – время. Для гамма - распределения
в – среднее время между отказами;

а - число отказов; Г(а ) – гамма-функция, равная
, когдаа –1 – положительное число.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. Как показано в при различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.

Эксплуатация изделий по ресурсу целесообразна только в том случае, если надежность изделия зависит от его наработки. Такие изделия составляют всего 5% от всех установленных на самолете. Поэтому, поскольку анализ MSG-3 позволяет определить, КАКИЕ работы по ТО должны быть включены в первоначальный перечень важных объектов MSI, и КАК они должны выполняться, необходим инструмент, который поможет ответить на эти вопросы.

После того как будет накоплен достаточный опыт, первоначальные интервалы могут быть изменены как для конкретного оператора, так и для всех эксплуатантов через ревизию отчета MRB. Для того чтобы обосновать изменение интервала, необходимы инструменты.

Таким инструментом является анализ надежности. Наиболее эффективный и широко используемый метод - анализ надежности по распределению Вейбулла.

Распределение Вейбулла, названное в честь шведского инженера Валодди Вейбулла (Waloddi Weibull, 1887-1979 гг.), введшего это распределение в практику анализа результатов усталостных испытаний, широко используется для исследования надежности элементов технических систем. В России это распределение связывают с именем известного русского математика Бориса Владимировича Гнеденко (1912-1995 гг.), получившего его в качестве предельного при изучении максимального из результатов испытаний. технический обслуживание авиационный ремонт

Опыт эксплуатации технических систем и их элементов показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов л от времени t, соответствующих трем периодам жизненного цикла этих устройств (рис. 18.).

Рис. 18.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа распределение Вейбулла - Гнеденко. Согласно этому распределению зависимость для плотности вероятности момента отказа f (t) имеет вид:

где c - параметр формы распределения, с > 0;

b - параметр масштаба распределения, b > 0;

и - параметр положения распределения, и < t.

Интенсивность отказов л(t), подчиняющихся распределению Вейбулла - Гнеденко, определяется выражением:

При параметре формы распределения c < 1 интенсивность отказов л(t) монотонно убывает (период приработки), при с = 1 интенсивность отказов постоянна: л(t) = const (период нормальной работы), а при с > 1 - монотонно возрастает (период износа). Следовательно, путем подбора параметра с на каждом из трех периодов жизненного цикла можно получить такую теоретическую зависимость л(t), которая достаточно близко совпадет с экспериментальной. В этом случае расчет показателей надежности можно производить на основе теоретической зависимости л(t).

Функция распределения Вейбулла - Гнеденко F(t), показывающая какова вероятность наступления случайного события (отказа) при случайном времени

Функция надежности, обычно обозначаемая как R(t), определяется равенством R(t) = 1 - F(t). Иногда функция R(t) называется функцией выживания, т.к. описывает вероятность того, что отказ произойдет после определенного момента времени t.

На рис. 19. показан вид функций надежности при различных значениях параметра формы с. Если параметр формы распределения с меньше 1, то функция надежности R(t) резко уменьшается в начале времени жизни, затем, с ростом времени t, уменьшение происходит более медленно. Если параметр формы с больше 1, то сначала наблюдается небольшое уменьшение надежности, а затем, начиная с некоторого значения времени t, она снижается довольно быстро.

Рис. 19.

Точка, где все кривые пересекаются, называется характеристическим временем жизни и определяет момент времени, когда отказало 63,2 % выборки: R(t) = 1 - 0,632 = 0,368.

В авиации распределение Вейбулла используется для расчета объектов:

• - диски двигателя, с ограниченным ресурсом;
• - модули двигателя и компоненты (с пределом эксплуатации);
• - элементы планера, подверженные усталостному разрушению;
• - надежность компонентов.

Распределение описывает все три основных распределения отказов:

• - отказы приработки;
• - случайные отказы;
• - отказы, зависящие от наработки.

Здесь необходима оговорка. Допустим, что по MGS-3 анализу отказ не был отнесен ни к категории 5 (небезопасный), ни к 8 (скрытый, небезопасный), а объект имеет случайное распределение отказов или отказы периода приработки. Тогда мы имеем все основания утверждать, что работы по ТО в данном случае не требуются, более того, объект можно вычеркнуть из списка важных объектов для ТО.

В случае если отказы зависят от наработки, анализ по Вейбуллу поможет определить наиболее подходящий интервал.

По этой причине необходимо очень внимательно подойти к определению зависимости отказов изделий от наработки.

Таки образом, программа ТО B737 может постоянно совершенствоваться на основе аналитических и эмпирических данных, предоставляемых средствами сбора и анализа данных о надежности.

Это распределение чаще всего используется при исследовании интенсивности отказов для периодов приработки и старения. На примере распределения сроков службы изоляции некоторых элементов электрической сети подробно рассмотрены физические процессы, приводящие к старению и отказу изоляции и описываемые распределением Вейбулла.

Надежность наиболее распространенных элементов электрических сетей, таких как силовые трансформаторы и кабельные линии, в значительной степени определяется надежностью работы изоляции, «прочность» которой изменяется в течение эксплуатации. Основной характеристикой изоляции электромеханических изделий является ее электрическая прочность, которая в зависимости от условий эксплуатации и вида изделия определяется механической прочностью, эластичностью, исключающей образование остаточных деформаций, трещин, расслоений под воздействием механических нагрузок, т.е. неоднородностей.

Однородность и монолитность структуры изоляции и ее высокая теплопроводность исключают возникновение повышенных местных нагревов, неизбежно приводящих к увеличению степени неоднородности электрической прочности. Разрушение изоляции при функционировании элемента происходит в основном в результате нагревания токами нагрузок и температурных воздействий внешней среды.

Рассмотрев два основных фактора (тепловое старение и механическая нагрузка), влияющих па срок службы изоляции, которые к тому же тесно связаны между собой, можно сделать вывод, что как усталостные явления в изоляции, так и тепловое ее старение в значительной степени зависят от качества изготовления и материала электротехнического изделия, от однородности материала изоляции, обеспечивающей отсутствие местных нагревов (так как трудно предположить, что откажет вся изоляция, т.е. пробой произойдет по всей площади изоляции).

Микротрещипы, расслоения и другие неоднородности материала случайно распределены в отношении своего положения и своей величины по всему объему (площади) изоляции. При воздействии переменных неблагоприятных условий как теплового, так и электродинамического характера неоднородности материала увеличиваются: например, микротрещина распространяется в глубь изоляции и при случайном повышении напряжения может вызвать пробой изоляции. Причиной отказа может быть даже небольшая неоднородность материала.

Естественно предположить, что число неблагоприятных воздействий (тепловых или электромеханических), вызывающих пробой изоляции, есть функция, убывающая в зависимости от размеров неоднородности. Это число минимально для наибольшей по размерам неоднородности (трещины, расслоения и др.).

Следовательно, число неблагоприятных воздействий, определяющее срок службы изоляции, должно подчиняться закону распределения минимальной случайной величины из совокупности независимых случайных величин, соответствующих различным по размерам неоднородностям:

где Г и - время безотказной работы всей изоляции; Г и, - время безотказной работы /"-го участка (/" = 1,2, п).

Таким образом, для определения закона распределения времени безотказной работы такого объекта, как изоляция элемента электрической сети, необходимо найти закон распределения минимального времени безотказной работы совокупности всех участков. Наибольший интерес представляет случай, когда законы распределения времени безотказной работы отдельных участков имеют различный характер, но вид законов распределения одинаков, т.е. резко выраженных отличий у участков нет.

С позиций надежности участки такой системы соответствуют последовательному соединению. Функция распределения времени безотказной работы такой системы из п участков, соединенных последовательно:

Рассмотрим общий случай, когда распределение Р(г) имеет так называемый «порог чувствительности», т.е. элемент гарантированно не откажет в интервале времени (0, /о) (в частном случае /о может быть равно 0). Очевидно, что функция Р(1ц + Д/) > 0 - всегда неубывающая функция аргумента.

Для системы можно получить асимптотический закон распределения времени безотказной работы:

Если распределение не имеет порога чувствительности / 0 , то закон распределения будет иметь вид

где с - некоторый постоянный коэффициент, с > 0; а - показатель Вейбулла.

Этот закон называется распределением Вейбулла. Он довольно часто используется при аппроксимации распределения времени безотказной работы системы с конечным числом последовательно (с точки зрения надежности) соединенных элементов (протяженные кабельные линии со значительным числом муфт и др.).

Плотность распределения времени безотказной работы

При а = 1 плотность распределения превращается в обычную показательную функцию (рис. 3.3).

Для интенсивности отказов при плотности распределения по закону Вейбулла получим

Интенсивность отказов для этого закона в зависимости от параметра распределения а может расти, оставаться постоянной (показательный закон) и уменьшаться (рис. 3.4).

При а = 2 функция распределения времени безотказной работы совпадает с законом Рэлея, а при а » 1 достаточно хорошо аппроксимируется нормальным законом распределения в окрестности среднего времени безотказной работы.

Рис. 3.3.

Рис. 3.4.

Как видно из рис. 3.3 и 3.4, экспоненциальный закон распределения является частным случаем закона Вейбулла при а = 1 (А. = const).

Закон Вейбулла очень удобен для вычислений, но требует эмпирического подбора параметров А. и а для имеющейся зависимости А.(/).

Математическое ожидание (среднее время) безотказной работы и дисперсия при распределении по закону Вейбулла:

где Г(х) - гамма-функция, определяемая по таблице Г(.г) (см. прил. 2); с - некоторый постоянный коэффициент, определяющий вероятность появления к элементарных повреждений на интервале времени (0, /)

Рассмотрим распределение Вейбулла, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ВЕЙБУЛЛ.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметров распределения.

Распределение Вейбулла (англ. Weibull distribution ) зависит от 2-х параметров: α (альфа)>0 (определяет форму распределения) и b (бета)>0 (определяет масштаб). этого распределения задается следующей формулой:

Если параметр альфа = 1, то распределение Вейбулла превращается в . Параметр бета на практике обычно принимается >=1.

Функция распределения задается следующей формулой:

Примечание : Для удобства написания формул в файле примера для параметров распределения альфа и бета созданы соответствующие .

В файле примера также построены графики плотности вероятности и функции распределения с отмеченными значениями среднего , и .

Генерация случайных чисел и оценка параметров

Используем обратную функцию распределения (или p - quantile , см. статью про ), которая для распределения Вейбулла может быть выражена в явном виде с использованием элементарных функций:

С помощью этой функции можно сгенерировать значения случайной величины, имеющей распределение Вейбулла . Для этого нужно использовать формулу MS EXCEL:

Бета*(-LN(СЛЧИС()))^(1/альфа)

Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Теперь имея массив случайных чисел, сгенерированных с заданными параметрами распределения альфа и бета (пусть их будет 200), оценим параметры распределения.

Оценку параметров альфа и бета можно сделать с помощью линейной регрессии. Для этого необходимо привести функцию распределения Вейбулла к виду обычной прямой, задаваемой уравнением Y=aX+b. Для этого сделаем следующие преобразования:

Сравнивая выражение

с уравнением прямой Y=ax+b получим, что:

• Y соответствует левая часть выражения,
• X – соответствует ln(x),
• параметр распределения бета соответствует коэффициенту a , отвечающего за наклон прямой к оси абсцисс.
• выражение –бета*ln(альфа) соответствует коэффициенту b (ордината точки пересечения с осью Oy).

По сути, мы практически построили (probability plot) для распределения Вейбулла : если ln(x), отложенные по оси Ох, лягут приблизительно вдоль прямой, то это будет означать, что значения выборки взяты из распределения Вейбулла. Осталось модифицировать ось Оу с помощью формулы =LN(-LN(1-Ui)), где Ui=(i-0,5)/200, а i=1; 2; ...; 200.

Заметим, что -LN(1-Ui) – это обратная функция распределения с параметрами альфа=1 и бета=1. Второй логарифм нам потребовался, т.к. по оси абсцисс отложены не сами x, а ln(x).

Примечание : Т.к. форма распределения Вейбулла существенно зависит от его параметров, то вместо альфа=1 и бета=1 для обратной функции лучше использовать точечные оценки этих параметров , полученные на основании выборки . О том как вычислить оценку параметров альфа и бета см. ниже.

В файле примера на листе Генерация построен соответствующий Вероятностный график .

С помощью функции НАКЛОН() вычислим наклон получившейся кривой (коэффициент прямой а, англ. slope ), который служит оценкой параметра бета .

Функция ОТРЕЗОК() вернет ординату точки пересечения с Оу (коэффициент прямой b ). Выражение =EXP(-b/бета) служит оценкой параметра альфа .

Также можно сравнить плотности вероятностей модельного распределения и распределения с параметрами, полученными в результате оценки.

Как видно из диаграммы выше, совпадение также достаточно хорошее.

СОВЕТ : Т.к. генерирование случайных чисел происходит с помощью функции СЛЧИС() , то нажимая клавишу F9 , можно каждый раз получать новую выборку и, соответственно, новую оценку параметров.

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .