Ли внешний угол треугольника больше. Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, - презентация

Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, например, внешний угол ВСD и докажем, что он больше внутреннего угла АВС. Для этого через вершину А и середину Е стороны ВС проведем прямую и отложим на ней отрезок EF, равный АЕ. Треугольники АВЕ и FCЕ равны по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = СE, AE = FE, AEB = FEC). Следовательно, ABC = BCF. Но вершина F лежит внутри угла BCD. Поэтому угол BCF составляет только часть угла BCD. Значит, BCD > ABC. ABC.">

В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезок AD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, 1 = 2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому 1 B. Следовательно, имеем C > 1 = 2 > B. 1 = 2 > B.">

Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В"> AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В"> AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В" title="Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В"> title="Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B. А С В">

На рисунке 1 BC. BC."> BC."> BC." title="На рисунке 1 BC."> title="На рисунке 1 BC.">

Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB. AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB."> AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB."> AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB." title="Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB."> title="Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A > B > C; б) A > B, B = C. б) BC > AB, AC = AB.">

14

В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D"> BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D"> BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D" title="В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D"> title="В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Какой из углов больше ACD или BCD? Ответ: BCD. А В С D">

Слайд 1

Внешний угол произвольного треугольникабольше каждого внутреннего, не смежного с ним. Доказательство. Пусть АВС – произвольный треугольник. Рассмотрим, например, внешний угол ВСD и докажем, что он больше внутреннего угла АВС. Для этого через вершину А и середину Е стороны ВС проведем прямую и отложим на ней отрезок EF, равный АЕ. Треугольники АВЕ и FCЕ равны по первому признаку равенства треугольников (ВЕ = СE, AE = FE,AEB = FEC). Следовательно, ABC = BCF. Но вершина F лежит внутри угла BCD. Поэтому угол BCF составляет только часть угла BCD. Значит, BCD > ABC.

Слайд 2

Теорема 2

В произвольном треугольнике против большей сторонылежит больший угол. Доказательство.Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезок AD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно,1 = 2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому 1 B. Следовательно, имеем C > 1 = 2 > B.

Слайд 3

Упражнение 1

Может ли внешний угол треугольника равняться его внутреннему углу? Ответ: Да, в прямоугольном треугольнике.

Слайд 4

Упражнение 2

Может ли внешний угол треугольника быть меньше его внутреннего угла? Ответ: Да, в тупоугольном треугольнике.

Слайд 5

Упражнение 3

Сколько в треугольнике может быть: а) прямых углов; б) тупых углов? Ответ: а), б) Один.

Слайд 6

Упражнение 4

Известно, что в треугольнике ABCBC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С? Ответ: а), б) A; в) B.

Слайд 7

Упражнение 5

В треугольнике ABC сторона AB наибольшая. Какие углы этого треугольника острые? Каким может быть угол C? Ответ: Углы A и B острые.Угол C может быть острым, прямым или тупым.

Слайд 8

Упражнение 6

На рисунке 1 BC.

Слайд 9

Упражнение 7

Верно ли, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона? Ответ: Да.

Слайд 10

Упражнение 8

Ответ: а) BC > AC > AB; Сравните стороны треугольника ABC, если: а) A>B>C; б) A >B, B =C. б) BC > AB, AC = AB.

Равнобедренный треугольник и его свойства. Средняя линия треугольника .

ТРЕУГОЛЬНИК – геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин) и трех попарно соединяющих их отрезков (стороны). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположны вершины.

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром.

Треугольники различаются по величине углов: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные. Если все три угла острые, то это остроугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это прямоугольный треугольник; один из углов тупой то это тупоугольный треугольник.

По трем сторонам треугольника можно определить его вид.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

ТЕОРЕМА. В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

Треугольники различаются по длине сторон: разносторонние, равнобедренные, равносторонние.

Треугольник равнобедренный, если две его стороны равны, эти равные стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник равносторонний, если все его стороны равны.

Основные свойства треугольников .

ТЕОРЕМА. В любом треугольнике: против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.

Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот.

Следствие. Все углы в равностороннем треугольнике равны.

ТЕОРЕМА. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то против большего из углов, заключенных между ними лежит и большая сторона и против большей из остальных сторон лежит больший угол.

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180º .

Следствие. Каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.

Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

ТЕОРЕМА. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА. В треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, но больше их разности.

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы).

ТЕОРЕМА. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение.

ТЕОРЕМА. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам.

ТЕОРЕМА. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности

Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника.

ТЕОРЕМА. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Похожая информация:

1. I. Организационный момент. 1. Суммы трех чисел, написанных вдоль сторон треугольника, имеют одинаковые значения

Бывают внутренние и внешние. Что такое внешний угол треугольника? Как его найти?

Определение.

Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, с внутренним углом треугольника при этой вершине.

Как построить внешний угол треугольника? Нужно продлить сторону треугольника.

На рисунке:

∠3 — внешний угол при вершине А,

∠2 — внешний угол при вершине С,

∠1 — внешний угол при вершине В.

Сколько внешних углов у треугольника?

При каждой вершине треугольника есть два внешних угла. Чтобы построить внешний угол при вершине треугольника, можно продлить любую из двух сторон, на которых лежит данная вершина. Таким образом получаем 6 внешних углов.

Внешние углы каждой пары при данной вершины равны между собой (как ):

∠1=∠4, ∠2=∠5, ∠3=∠6.

Поэтому, когда говорят о внешнем угле треугольника, не важно, какую из сторон треугольника продлили.

Чему равен внешний угол?

Теорема (о внешнем угле треугольника )

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Дано : ∆АВС, ∠1 — внешний угол при вершине С.

Доказат ь: ∠1=∠А+∠В.

Доказательство :

Так как равна 180º, ∠А+∠В+∠С=180º.

Следовательно, ∠С=180º-(∠А+∠В).

∠1 и ∠С (∠АСВ) — смежные, поэтому их сумма равна 180º, значит, ∠1=180º-∠С=180º-(180º-(∠А+∠В))=180º-180º+(∠А+∠В)=∠А+∠В.

Что и требовалось доказать .