Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Парадоксы специальной теории относительности

Введение

3. Относительность расстояний

4. Преобразования Лоренца

5. Парадоксы СТО

5.2 Парадокс часов

5.3 Парадокс транспорта

5.4 Парадокс колеса

5.5 Парадокс шеста и сарая

5.6 Тонкий человек на решетке

Заключение

Литература

Введение

Парадоксы, т. е. неожиданные следствия или выводы теории, противоречащие сложившимся ранее представлениям, играют особую роль в процессе развития науки. При разрешении того или иного теоретического парадокса приходится обращаться к наиболее принципиальным положениям теории и иногда пересматривать или уточнять связанные с ней представления. Таким образом, теоретические парадоксы в процессе их разрешения представляют некоторую внутреннюю причину развития теории, способствующую ее логическому совершенствованию, а иногда даже выяснению границ применимости и путей дальнейшего обобщения.

Конечно, основным для развития всякой теории являются факты, получаемые из экспериментов и наблюдений. Однако одни только факты не могут сами по себе подтвердить, уточнить или изменить теорию, если они не приводят к подтверждению и уточнению или пересмотру логической структуры теории. Поэтому для развития теории имеет большое значение раскрытие внутренних противоречий и их разрешение. Противоречия же в теории отчетливее всего обнаруживаются, когда они возникают в форме тех или иных парадоксов. Таким образом, анализ теоретических парадоксов не является самоцелью, а представляет лишь средство для выяснения истинного содержания теории, уточнения отдельных ее положений и отыскания путей ее дальнейшего развития. Многие противоречия возникают в теории относительности из-за стандартного способа ее изложения по тому классическому образцу, который был дан еще Эйнштейном. Со времени первой работы Эйнштейна теория относительности пополнилась большим количеством новых представлений. В результате многочисленных приложений выяснилось главное содержание теории. Выяснилось, что некоторые представления, считавшиеся основными в период зарождения теории, оказались в действительности лишь вспомогательными средствами, использованными для построения теории. Оказалось, также, что теория может быть построена на базе различных постулатов. Выяснилось, иначе говоря, что постулаты Эйнштейна не могут отождествляться с самим содержанием теории относительности.

Глубокий анализ содержания теории относительности важен именно сейчас, когда намечается новый этап крутой ломки теоретических представлений в связи с проникновением внутрь самих элементарных частиц и открытием принципиально новых физических процессов в космосе, протекающих в радиогалактиках и сверхзвездах или квазарах.

Мы увидим, что анализ вопроса о предельности скорости сигналов в теории относительности приведет нас к пересмотру содержания, так называемого принципа причинности и к общему выводу о принципиальной возможности существования частиц, имеющих отрицательные и даже мнимые собственные массы. Но если такие частицы действительно существуют в природе, то их открытие приведет к радикальной перестройке всей существующей физической картины мира. А это в свою очередь приведет к новым открытиям, умножающим власть человека над природой.

1. Постулаты специальной теории относительности (СТО)

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (х << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности (или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K"). В частном случае, когда система K" движется со скоростью х вдоль положительного направления оси x системы K (рис. 1.1), преобразования Галилея имеют вид:

x=x"+хt, y=y", z=z", t=t".

Предполагается, что в начальный момент оси координат обеих систем совпадают.

Рисунок 1.1 Две инерциальные системы отсчета K и K"

Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

ux=u"x+х, uy=u"y, uz=u"z.

Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми:

Следовательно, уравнение движения классической механики (второй закон Ньютона) не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.

К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые вступали в противоречие с законами классической механики. Большие затруднения возникли при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой среде - эфире, было опровергнуто многочисленными экспериментами. Американский физик А. Майкельсон сначала самостоятельно в 1881 году, а затем совместно с Э. Морли (тоже американец) в 1887 году пытался обнаружить движение Земли относительно эфира («эфирный ветер») с помощью интерференционного опыта. Упрощенная схема опыта Майкельсона-Морли представлена на рис. 1.2.

Рисунок 1.2 Упрощенная схема интерференционного опыта Майкельсона-Морли. - орбитальная скорость Земли

В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (х=30 км/с). Затем прибор поворачивался на 90°, и второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной скорости. Расчеты показывали, что если бы неподвижный эфир существовал, то при повороте прибора интерференционные полосы должны были сместиться на расстояние, пропорциональное (х/c)2. Опыт Майкельсона-Морли, неоднократно повторенный впоследствии с все более возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ результатов опыта Майкельсона-Морли и ряда других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об эфире как среде, в которой распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не существует избранной (абсолютной) системы отсчета. Движение Земли по орбите не влияет на оптические явления на Земле.

Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение - в 1895 году А. С. Поповым было изобретено радио. Но из теории Максвелла следует, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме. Это значит, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе отсчета K" (рис. 1.1) в положительном направлении оси x", то в системе K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c+х, а не c.

Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис. Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени. Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не зависящими от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены в разряд относительных.

Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени, новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла не затронуть в итоге всю физику.

В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Эти принципы следует рассматривать как обобщение всей совокупности опытных фактов. Следствия из теории, созданной на основе этих принципов, подтверждались бесконечными опытными проверками. СТО позволила разрешить все проблемы «доэйнштейновской» физики и объяснить «противоречивые» результаты известных к тому времени экспериментов в области электродинамики и оптики. В последующее время СТО была подкреплена экспериментальными данными, полученными при изучении движения быстрых частиц в ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.

Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями. Рассмотрим такой мысленный эксперимент: в момент времени t=0, когда координатные оси двух инерциальных систем K и K" совпадают, в общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время t системы сместятся относительно друг друга на расстояние хt, а сферический волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct (рис.1. 3), так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.

Рисунок 1.3 Кажущееся противоречие постулатов СТО

С точки зрения наблюдателя в системе K центр сферы находится в точке O, а с точки зрения наблюдателя в системе K" он будет находиться в точке O". Следовательно, центр сферического фронта одновременно находится в двух разных точках.

Причина возникающего недоразумения лежит не в противоречии между двумя принципами СТО, а в допущении, что положение фронтов сферических волн для обеих систем относится к одному и тому же моменту времени. Это допущение заключено в формулах преобразования Галилея, согласно которым время в обеих системах течет одинаково: t=t". Следовательно, постулаты Эйнштейна находятся в противоречии не друг с другом, а с формулами преобразования Галилея. Поэтому на смену галилеевых преобразований СТО предложила другие формулы преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую - так называемые преобразования Лоренца, которые при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все релятивистские эффекты, а при малых скоростях (х << c) переходят в формулы преобразования Галилея. Таким образом, новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название принципа соответствия .

2. Относительность промежутков времени

При выполнении любых физических измерений исключительную роль играют пространственно-временные соотношения между событиями. В СТО событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо точке пространства в некоторый момент времени в избранной системе отсчета. Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать событие, требуется не только выяснить его физическое содержание, но и определить его место и время. Для этого необходимо использовать процедуры измерения расстояний и промежутков времени. Эйнштейн показал, что эти процедуры нуждаются в строгом определении.

Для того чтобы в выбранной системе отсчета выполнять измерения промежутка времени между двумя событиями (например, началом и концом какого-либо процесса), происходящими в одной и той же точке пространства, достаточно иметь эталонные часы. Наибольшей точностью в настоящее время обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Измерение промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком времени, отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от показания тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизованные часы.

Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано на независимости скорости света в пустоте от направления распространения. Пусть из точки A в момент времени по часам A отправляется короткий световой импульс (рис. 2.1). Пусть время прихода импульса в B и отражения его назад на часах B есть t". Наконец, пусть отраженный сигнал возвращается в A в момент по часам A. Тогда по определению часы в A и B идут синхронно, если t"=()/2.

Рисунок 2.1 Синхронизация часов в СТО

Существование единого мирового времени, не зависящего от системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической физике, эквивалентно неявному допущению о возможности синхронизации часов с помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно большой скоростью.

Итак, в разных точках выбранной системы отсчета можно расположить синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках: эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое время.

Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K", которая движется с некоторой скоростью х в положительном направлении оси x системы K. В разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру. Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K". Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ на этот вопрос должен находиться в согласии с постулатами СТО.

Пусть оба события в системе K" происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними равен по часам системы K". Этот промежуток времени называется собственным временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы K?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий мысленный эксперимент. На одном конце твердого стержня некоторой длины расположена импульсная лампа B, а на другом конце - отражающее зеркало M. Стержень расположен, неподвижно в системе K" и ориентирован параллельно оси y" (рис. 2.2). Событие 1 - вспышка лампы, событие 2 - возвращение короткого светового импульса к лампе.

Рисунок 2.2.

Относительность промежутков времени. Моменты наступлений событий в системе K" фиксируются по одним и тем же часам C, а в системе K - по двум синхронизованным пространственно-разнесенным часам и. Система K" движется со скоростью х в положительном направлении оси x системы K

В системе K" оба рассматриваемых события происходят в одной и той же точке. Промежуток времени между ними (собственное время) равен. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2L, равный

где ф - промежуток времени между отправлением светового импульса и его возвращением, измеренный по синхронизованным часам и, расположенными в разных точках системы K. Но согласно второму постулату СТО, световой импульс двигался в системе K с той же скоростью c, что и в системе K". Следовательно, ф=2L/c.

Из этих соотношений можно найти связь между ф и:

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от системы отсчета, т. е. является относительным. Собственное время всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.

Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K": для любого наблюдателя в K или K" медленнее идут часы, связанные с системой, движущейся по отношению к наблюдателю. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены м-мезоны - элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное время жизни равно. Но в космических лучах м-мезоны движутся со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского эффекта замедления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь, равный c ?660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно

Так как близко к единице. Поэтому средний путь проходимый мезоном системе, оказывается значительно больше 660 м.

С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый «парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в космическое путешествие. Для него медленнее течет время на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его.

Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней точке траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле.

Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы - атомные работающие на пучке атомов цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в 1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычном реактивном лайнере, а другие оставались на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от находящихся на Земле часов на (184±23)·10-9 с. Наблюдаемое отставание составило (203±10)·10-9 с, т. е. в пределах ошибок измерений. Через несколько лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.

В настоящее время уже необходимо принимать во внимание релятивистский эффект замедления хода часов при транспортировке атомных часов на большие расстояния.

3. Относительность расстояний

Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K", движущейся со скоростью х относительно системы отсчета K (рис. 3.1). Стержень ориентирован параллельно оси x". Его длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K", равна. Ее называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K? Для ответа на этот вопрос необходимо дать определение процедуры измерения длины движущегося стержня.

Под длиной стержня в системе K, относительно которой стержень движется, понимают расстояние между координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам этой системы. Если известна скорость системы K" относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина движущегося со скоростью х стержня равна произведению, где - интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K (рис. 3.1). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то промежуток времени в системе K является собственным временем. Итак, длина движущегося стержня равна

Рисунок 3.1 Измерение длины движущегося стержня

Найдем теперь связь между и. С точки зрения наблюдателя в системе K", точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня налево со скоростью х, поэтому можно записать =хф,

где ф есть промежуток времени между моментами прохождения точки A мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K". Используя связь между промежутками времени ф и

Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцево сокращения длины.

Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень на рис. 3.1 расположить перпендикулярно оси x, вдоль которой движется система K", то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K". Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим в системах K и K" вдоль осей y и y" два жестких стержня. Стержни имеют одинаковые собственные длины, измеренные неподвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K", и один из концов каждого стержня совпадает с началом координат O или O". В некоторый момент стержни оказываются рядом, и представляется возможность сравнить их непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом стержне. Если бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.

Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (х << c) формулы СТО переходят в классические соотношения: и. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при в=х/c>0. В этом проявляется принцип соответствия.

4. Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x", y", z") и моментом времени t" этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K".

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K" движется относительно K со скоростью х вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x" системы K" происходит процесс длительностью (собственное время), где и - показания часов в системе K" в начале и конце процесса. Длительность ф этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K" () одновременно с точки зрения наблюдателя в K" () происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности определяется знаком выражения, поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K" вдоль оси x" неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 4.1(a)), система K" движется вдоль оси x системы K со скоростью х. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K" дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t". Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью х так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.1(b)).

Рисунок 4.1.

Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K" (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где - промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а - расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат системы отсчета в момент времени, а второе - в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний, и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t=0, а второе - приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 1.3), то

и, следовательно, интервал для этой пары событий s=0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s" окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K" вдоль оси x" движется частица со скоростью

Составляющие скорости частицы u"x и u"z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K".

При х << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики: ux=u"x+х, uy=0, uz=0.

Если в системе K" вдоль оси x" со скоростью u"x=c распространяется световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света .

5. Парадоксы СТО

5.1 Парадокс эйнштейновского поезда

Пусть на поезде, движущемся со скоростью, близкой к единице, едут три человека (А, О и В). А едет в голове поезда, О в середине, а В -- в хвосте (рис. 1).

Рисунок 1. Кто подал сигнал первым - путешественник А или путешественник В?

На земле около железнодорожного пути стоит четвертый человек, О". В тот самый момент, когда О проезжает мимо О", сигналы ламп вспышек от А и В достигают О и О". Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника.

Наблюдатели А и В покоятся относительно наблюдателя О. К тому же они находятся на равных расстояниях от О, что последний может не спеша проверить, пользуясь своей линейкой. Следовательно, сигналам от А и от В требуется одно и то же время, чтобы достигнуть О. Эти сигналы принимаются наблюдателем О одновременно. Поэтому наблюдатель О заключает, что наблюдатели Аи В послали свои сигналы в один и тот же момент: .

Наблюдатель О", стоящий рядом с железнодорожными путями, делает совершенно иные выводы. Его рассуждения таковы: «Две вспышки пришли ко мне, когда середина поезда проходила мимо меня. Значит, обе эти вспышки должны быть испущены до того, как середина поезда поравнялась со мной. А до этого момента наблюдатель А был ко мне ближе, чем наблюдатель В. Поэтому свет от В должен был пройти до меня более длинный путь и затратить на это большее время, чем свет от А. Но оба сигнала поступили ко мне одновременно. Следовательно, наблюдатель В должен был послать свой сигнал раньше, чем наблюдатель А» (<0). Итак, наблюдатель О", стоящий рядом с железнодорожными путями, делает заключение, что сначала послал свои сигнал В, а потом уже А, тогда как едущий на поезде наблюдатель О заключает, что оба наблюдателя, А и В, послали сигналы в одно и то же время.

Чему равен промежуток времени между посылкой сигналов наблюдателями А и В? В нештрихованной системе отсчета (поезд) эти сигналы были отправлены одновременно, так что. Расстояние между точками посылки сигналов равно, где L -- длина поезда. Поэтому в штрихованной системе отсчета (движущейся вправо по отношению к нештрихованной системе, то есть поезду, как это бывает обычно при использовании штрихованных и нештрихованных обозначений) промежуток времени между посылкой сигналов А и В можно найти по формулам преобразования Лоренца:

Знак «минус» показывает, что наблюдатель В, находящийся на положительной части оси x / , отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель А .

5.2 Парадокс часов

Пусть часы А находятся в точке I в неподвижной инерциальной системе отсчета, а одинаковые

Рисунок 2

с ними часы В, находившиеся в начальный момент также в точке I, движутся к точке II со скоростью v. Затем, пройдя путь I до точки II, часы В замедляются и, приобретая противоположную скорость -- . возвращаются в точку I (рис. 2).

Если время, требуемое на изменение скорости часов В на обратную, достаточно мало по сравнению с временем прямолинейного и равномерного движения от точки I до точки II, то время, отмеренное часами А, и время, отмеренное часами В, можно вычислить согласно

по формулам

где -- возможная малая поправка на время ускоренного движения часов В. Следовательно, часы B, вернувшись в точку I, реально отстанут от часов A на время

Поскольку расстояние может быть сделано сколь угодно большим, постольку поправка может не приниматься во внимание вообще. Особенность этого кинематического следствия преобразований Лоренца состоит в том, что здесь отставание хода движущихся часов является вполне реальным эффектом.

Реально должны отстать все процессы, связанные с системой, от процессов, идущих в системе. В том числе должны отстать и биологические процессы организмов, находящихся вместе с часами В. Должны замедлиться физиологические процессы в организме человека, путешествующего в системе, в результате чего организм, находившийся в системе, в момент ее возврата в точку I окажется менее постаревшим, чем организм, остававшийся в системе.

Парадоксальным представляется здесь то, что одни из часов реально отстают от других. Ведь это кажется противоречащим самому принципу относительности, так как согласно последнему любую из систем и можно считать неподвижной. Но тогда представляется, что лишь в зависимости от нашего выбора реально отстающими могут стать любые из часов А и В. Но последнее явно абсурдно, так как реально отстают часы В от часов А.

Ошибочность последнего рассуждения состоит в том, что системы и физически не равноправны, так как система все время инерциальная, система же некоторый промежуток времени, когда производится изменение ее скорости на обратную, неинерциальная. Следовательно, вторая из формул (1) для системы неправильна, так как во время ускорения ход удаленных

часов может сильно изменяться за счет инерциального гравитационного поля.

Однако и это совершенно правильное объяснение представляется весьма поразительным. Ведь в течение большого промежутка времени обе системы движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Поэтому с точки зрения системы часы А, находящиеся в, отстают (а не уходят вперед) в полном соответствии с формулой (1). И лишь за малый промежуток времени, когда в системе действуют инерциальные силы, часы А быстро уходят вперед на промежуток времени, вдвое больший, чем, ычисляемый по формуле (2). При этом чем большее ускорение испытывает система, тем быстрее бежит время на часах А.

Наглядно суть полученных выводов может быть разъяснена на плоскости Минковского (рис. 3).

Рисунок 3

Отрезок Оb на рис. 3, а изображает покоящиеся часы А, ломаная линия Оаb -- движущиеся часы B. В точке а действуют силы, ускоряющие систему часов В и изменяющие ее скорость на обратную. Точки, расставленные на оси Ob, разделяют единичные промежутки времени в неподвижной системе, связанной с часами А.

Точки на ломаной Оаb отмечают равные единичные промежутки времени, измеряемые часами B, находящимися в системе. Из рисунка видно, что число единичных отрезков, укладывающихся на линии Оb, больше, чем число таких же, но относящихся к системе отрезков, укладывающихся на ломаной Оаb. Следовательно, часы В отстают от часов А.

Согласно рисунку «неподвижные» часы А также отстают от часов В вплоть до момента, изображаемого точкой а. Одновременным с этим моментом является момент, однако до тех пор, пека часы В еще движутся со скоростью. Но через малый промежуток времени, требуемый для замедления часов В и сообщения им скорости -- , на часах В практически останется тот же момент А, но одновременным с ним моментом в системе станет момент, т. е. почти мгновенно время системы как бы перескочит на конечный интервал.

Этот перескок времени не является, однако, реально наблюдаемым эффектом. Действительно, если из системы регулярно, через единичные интервалы посылать в систему световые сигналы, то они совершенно регулярно будут приниматься системой сперва более редко, а затем, после изменения скорости на обратную, более часто. Никакого разрыва в показаниях часов А в системе наблюдаться не будет, как это видно из рис. 3 б,

Таким образом, «парадокс часов» также является лишь непривычным для обычных представлений о пространстве и времени следствием псевдоевклидовой геометрии четырехмерного пространственно-временного многообразия .

5.3 Парадокс транспорта

Транспортер представляет собой бесконечную ленту из гибкого материала, которая движется па направляющим с помощью двух шкивов, укрепленных на станине АВ (рис. 4). Приведем этот транспортер в действие с таким расчетом, чтобы скорость движения ленты приблизилась к световой. Тогда длина ее горизонтальных частей уменьшится в К раз, хотя расстояние между центрами шкивов останется без перемен. Если вначале лента свободно провисала, она натянется. А

Рисунок 4

при недостаточном запасе длины материал ленты подвергнется растяжению. При этом в нем возникнут соответствующие напряжения, которые в принципе могли бы быть обнаружены динамометром и даже привести к обрыву. Наоборот, станина АВ под влиянием натяжения ленты подвергается деформации сжатия, которая также может быть обнаружена динамометром.

Так будут описываться явления в системе «Станина». Если, однако, систему отсчета связать не со станиной, а с лентой, то покоящейся придется считать ленту, а станину -- движущейся с большой скоростью. Тогда сократиться должна уже не лента, а станина, результатом чего будет уже не тугое натяжение, а свободное провисание ленты.

Но этот вывод явно противоречит принципу относительности: рассуждения, касающиеся одного и того же явления, в двух разных системах отсчета приводят к взаимно исключающим результатам. Произведя соответствующий опыт, можно будет опровергнуть один из них и подтвердить другой. А это позволит определить, который из двух объектов (лента или станина) находится в «истинном», а какой только в «кажущемся» движении.

Таким образом, мы сталкиваемся с парадоксом: в данном конкретном случае применение теории относительности приводит к отрицанию одной из ее собственных основ -- принципа относительности Эйнштейна.

Правда, от этого парадокса можно было бы отмахнуться: ведь скользящие по шкивам участки ленты движутся криволинейно, а частная теория относительности требует, чтобы все системы отсчета были инерциальными.

Но это -- не ответ на парадокс, а только попытка уклониться от его действительного анализа (вроде следующего «объяснения»: «Получить вечный двигатель, соединив электромотор с динамо-машиной ремнем и проводами, разумеется, не удастся, потому что ремень обязательно перетрется»).

Можно, конечно, предположить, что криволинейные участки ленты не укорачиваются, а удлиняются как раз настолько, что компенсируется основной эффект. Но достаточно увеличить расстояние между осями шкивов, например, в 10 раз, чтобы компенсация нарушилась: основной эффект укорочения прямолинейных участков возрастает вдесятеро, тогда как предполагаемый маскирующий эффект криволинейных частей останется тем же самым.

Действительное разъяснение парадокса состоит в невозможности связать инерциальную систему отсчета со всей лентой. А если система связана только с одним из ее участков, она не инерциальная: ведь каждый участок ленты (можно представлять его себе окрашенным в особый цвет) периодически меняет направление своего движения на противоположное.

Можно, конечно, воспользоваться инерциальной системой отсчета, которая все время движется относительно станины в том же направлении и с той же скоростью, что и нижняя часть ленты. В этой системе станина движется со скоростью влево, нижняя часть ленты, естественно, неподвижна, а верхняя движется в ту же сторону, что и станина, но с релятивистски удвоенной скоростью

При этом станина укорачивается в К раз, нижняя часть ленты сохраняет натуральную длину, но зато верхняя сокращается значительно сильнее, чем в К раз (приблизительно в раз). В результате общая длина ленты уменьшается настолько, что она, несмотря на укорочение станины, натягивается, а не провисает (количественная сторона дела рассматривается в дополнении Д).

Как и следовало ожидать, рассмотрение в любой действительно инерциальной системе отсчета приводит к одинаковому результату (натяжению ленты). Тем самым парадокс полностью снимается: в данном опыте станина и лента физически неравноправны, так как в отличие от станины лента не может считаться покоящейся ни в одной инерциальной системе (потому что ее части движутся друг относительно друга). По этой именно причине укорачивается лента по сравнению со станиной, а не наоборот.

Рассмотрим еще один довод, который мог бы быть выдвинут в подкрепление парадокса противниками теории относительности. Ровно половина ленты не работающего еще транспортера окрашена в черный цвет. Выберем такой момент времени, когда окрашенная часть ленты находится внизу, а неокрашенная -- вверху (рис. 5).

Рисунок 5

В системе «Станина» обе части ленты, сокращаясь в одинаковое число раз, всегда будут оставаться равными по длине, как это и показано на рис. 5.

В противоположность этому в инерциальной системе «Нижний участок ленты» уменьшение общей длины ленты происходит только за счет ее верхней части, тогда как нижняя часть ленты по сравнению со станиной даже удлиняется в К раз. Поэтому некоторая часть окрашенной «половины» неизбежно перейдет вверх, так что расположение ленты на шкивах будет соответствовать не рис. 5, а рис. 6.

Рисунок 6

Казалось бы, достаточно взглянуть на работающий транспортер, чтобы установить, который из двух противоречащих друг другу выводов соответствует действительности, и тем самым выделить преимущественную систему!

Но это совсем не так. Чтобы установить, который из двух рисунков 5 или 6) подтверждается на опыте, нужно определить, одновременно ли проходят обе границы окрашенной «половины» ленты через крайнее правое и крайнее левое положения. А ведь в каждой системе отсчета понятие одновременности -- свое! Поэтому нет ничего невозможного в том, что в одной системе отсчета будет «наблюдаться» картина, показанная на рис, 5, а в другой -- показанная на рис. 6 .

5.4 Парадокс колеса

Вообразим большое колесо, которое может вращаться относительно системы «Звезды» (рис. 7).

Рисунок 7

Вначале колесо неподвижно, а затем приводится в столь быстрое вращение, что линейная скорость его краев приближается к световой. При этом участки обода АВ, ВС и т. д. сокращаются в К раз, тогда как радиальные «спицы» ОА, ОВ, ОС и т. д. сохраняют свою длину (ведь релятивистское укорочение испытывают только продольные размеры, т. е. размеры в направлении движения).

Выходит, что при неизменном диаметре длина окружности уменьшится в К раз. Если K=10, то окружность станет приблизительно втрое короче своего диаметра -- прямая перестанет служить кратчайшим расстоянием между точками!

Как справится теория относительности с такой геометрической несообразностью?

Чтобы лучше разобраться в деталях физических процессов, сопутствующих быстрому вращению, представим себе сначала, что мы резко охлаждаем покоящееся колесо. Допустим, что его обод изготовлен из материала с большим коэффициентом температурного расширения и сжатия, тогда как длина спиц почти не меняется с температурой. Тогда в результате охлаждения в колесе возникнут механические напряжения: дуговые стержни, стремясь сократиться, будут надавливать на спицы.

В зависимости от механической прочности и упругих свойств после охлаждения колеса либо его обод останется в растянутом состоянии, либо же укоротятся спицы (а вернее сказать, всегда будет в какой-то мере иметь место и тот и другой эффект). Во всяком случае, никакого укорочения окружности при неизменном диаметре не будет. Такое напряженное состояние колеса механически неустойчиво: малейшее отклонение в сторону -- и оно примет форму сферического сегмента (рис. 8).

Рисунок 8

Тогда действительно длина окружности обода будет меньше, чем, где r -- длина изогнутой спицы. Однако изгибанию колеса можно воспрепятствовать, придав ему достаточную жесткость на изгиб или поместив его между двумя прочными пластинами.

Нечто аналогичное происходит и тогда, когда неподвижное вначале колесо приводится в быстрое вращение: его обод стремится сократиться, а спицы -- сохранить неизменную длину. Какая из этих тенденций возьмет верх -- всецело зависит от механических свойств обода и спиц; но никакого укорочения обода без пропорционального ему укорочения спиц не будет (разве что колесо примет форму сферического сегмента). Очевидно, что с принципиальной точки зрения ничто не изменится также и в том случае, если колесо со спицами будет заменено сплошным диском.

Итак, никакого неразрешимого противоречия с геометрией не возникает. Нужно только иметь в виду, что в теории относительности, даже при рассмотрении чисто кинематических вопросов, не всегда допустимо пользоваться абстракцией абсолютно недеформируемого тела (впрочем, представление об абсолютно жестком стержне неприемлемо уже и потому, что с помощью его можно было бы мгновенно передавать сигнал: благодаря неизменности длины оба его конца смещались бы одновременно).

Однако предположим теперь, что колесо изготовлено (например, отлито) внутри быстро вращающейся мастерской. Это значит, что именно в состоянии быстрого вращения относительно системы «Звезды» оно свободно от внутренних напряжений. Если его остановить, обод будет стремиться к удлинению, а спицы -- к сохранению своей длины. При этом возникают напряжения противоположного характера по сравнению с предыдущим случаем: в частности, колесо не будет проявлять никакой тенденции к превращению в сферический сегмент; наоборот, оно будет образовывать по краям складки.

Рассмотрим теперь те же явления в системе «Вращающаяся мастерская». Тогда нам придется считать, что отлитое в этой мастерской колесо, о котором только что шла речь, сперва покоилось, а потом пришло в быстрое вращение. Но при этом в нем возникли внутренние напряжения, ведущие к образованию краевых складок, а не сферического сегмента. Налицо резкое расхождение с результатом такого же эксперимента в системе «Звезды», позволяющее отличить ее от системы «Вращающаяся мастерская».

На этот раз возможность отличить одну систему отсчета от другой не мнимая, а действительная. Однако она ничуть не противоречит частной теории относительности, ведь только одна из этих систем является инерциальной. При этом неинерциальность системы отсчета, вращающейся относительно неподвижных звезд, могла бы быть еще проще обнаружена и по другим, нерелятивистским эффектам (например, центробежному).

В так называемой общей теории относительности Эйнштейном была сделана попытка сформулировать принцип относительности таким образом, чтобы он охватывал не только инерциальные, но также и неинерциальные системы. Однако, как убедительно показал акад. В. А. Фок, это могло быть достигнуто только за счет выхолащивания из самого принципа относительности всего его физического содержания. В действительности же (как показывает уже существование центробежных сил) никакого физически содержательного «общего принципа относительности» не существует, а так называемая «общая теория относительности» в действительности является не расширением частной, а теорией всемирного тяготения.

Это не значит, конечно, что нельзя пользоваться вращающимися и вообще неинерциальными системами отсчета. Необходимо лишь помнить, что с инерциальными они не равноправны, и физические явления в них подчиняются иным законам.

Более детальное исследование показывает, что своеобразие неинерциальных систем распространяется не только на физические, но даже и на геометрические соотношения. Когда экспериментатор, пользующийся вращающейся системой отсчет, измеряет длину окружности, он располагает метр в направлении движения. Поэтому с точки зрения неподвижного наблюдателя он получает преувеличенное значение длины окружности, ибо пользуется сокращенным метром. Когда же вращающийся наблюдатель измеряет диаметр, он располагает свой метр перпендикулярно к направлению движения и потому получает результат, с которым безоговорочно согласится также и неподвижный наблюдатель. Но при правильной длине диаметра и преувеличенной длине окружности отношение их уже не может равняться .

5.5 Парадокс шеста и сарая

Возьмем шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе отсчета он оказался длиной всего 10 м. Тогда в некоторый момент этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м.. Но рассмотрим то же самое в системе отсчета бегуна с шестом. Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Как же можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?!

Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчета бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 9 и 10),

Рисунок 9. пространственно - временная Рисунок 10 пространственно - временная диаграмма в системе отсчета сарая диаграмма в системе отсчета бегуна

численные значения длин и моментов времени, на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лорецево сокращение, по условию задачи равен 2, то

Поэтому из тождества

следует, что

Отсюда относительная скорость двух систем отсчета равна

Чтобы найти численные значения, приведенные на рисунках 9 и 10, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчета бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м .

Подобные документы

Различная запись преобразования Лоренца. Следствия преобразований. Парадоксы кинематики специальной теории относительности: одногодок (модифицированный парадокс близнецов), антиподов, "n близнецов", расстояний и пешеходов. Итоги теории относительности.

реферат , добавлен 03.04.2012


Инерциальные системы отсчета. Классический принцип относительности и преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Релятивистский закон изменения длин промежутков времени. Основной закон релятивистской динамики.

реферат , добавлен 27.03.2012


Экспериментальные основы специальной теории относительности, ее основные постулаты. Принцип относительности Эйнштейна. Относительность одновременности как следствие постоянства скорости света. Относительность пространственных и временных интервалов.

презентация , добавлен 23.10.2013


Основные положения специальной теории относительности. Проведение расчета эффекта искривления пространства на этапе математического описания гравитационного взаимодействия. Сравнительное описание математической и физической моделей гравитационного поля.

статья , добавлен 17.03.2011


Общая теория относительности с философской точки зрения. Анализ создания специальной и общей теорий относительности Альбертом Эйнштейном. Эксперимент с лифтом и эксперимент "Поезд Эйнштейна". Основные принципы Общей Теории Относительности (ОТО) Эйнштейна.

реферат , добавлен 27.07.2010


Изучение ключевых научных открытий Альберта Эйнштейна. Закон внешнего фотоэффекта (1921 г.). Формула связи потери массы тела при излучении энергии. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна (1905 г.). Принцип постоянства скорости света.

презентация , добавлен 25.01.2012


Сущность принципа относительности Эйнштейна, его роль в описании и изучении инерциальных систем отсчета. Понятие и трактовка теории относительности, постулаты и выводы из нее, практическое использование. Теория относительности для гравитационного поля.

реферат , добавлен 24.02.2009


Возникновение теории относительности. Классическая, релятивистская, квантовая механика. Относительность одновременности событий, промежутков времени. Закон Ньютона в релятивистской форме. Связь между массой и энергией. Формула Эйнштейна, энергия покоя.

курсовая работа , добавлен 04.01.2016


Изменение формы движущегося объекта и другие явления в рамках преобразования Лоренца. Гносеологические ошибки Специальной теории относительности А. Эйнштейна. Проблема определения границ применимости альтернативной интерпретации преобразования Лоренца.

доклад , добавлен 29.08.2009


Доказательство ошибочности специальной теории относительности (СТО). Выяснение физического смысла преобразования Лоренца, подход к анализу "мысленных экспериментов" Эйнштейна и исправление ошибок в этих экспериментах. "Волновой вариант теории Ритца".

Основным назначением мысленного эксперимента под названием «Парадокс близнецов» было опровержение логичности и обоснованности специальной теории относительности (СТО). Стоит сразу оговориться, что ни о каком парадоксе на самом деле речи не идёт, а само слово фигурирует в этой теме потому, что суть мысленного эксперимента была изначально неправильно воспринята.

Основная идея СТО

Парадокс (парадокс близнецов) гласит, что «неподвижный» наблюдатель воспринимает процессы движущихся объектов как замедляющиеся. В соответствии с той же теорией инерциальные системы отсчёта (системы, в которых движение свободных тел происходит прямолинейно и равномерно либо они находятся в состоянии покоя) равноправны относительно друг друга.

Парадокс близнецов: кратко

С учётом второго постулата возникает предположение о противоречивости Чтобы разрешить эту проблему наглядно, было предложено рассмотреть ситуацию с двумя братьями-близнецами. Одного (условно - путешественника) отправляют в космический полёт, а другого (домоседа) оставляют на планете Земля.

Формулировка парадокса близнецов при таких условиях обычно звучит так: по оценке домоседа, время на тех часах, которые находятся у путешественника, движется медленнее, а значит, когда он вернётся, его (путешественника) часы будут отставать. Путешественник, напротив, видит, что относительно него движется Земля (на которой находится домосед со своими часами), и, с его точки зрения, именно у его брата время будет идти более медленно.

В действительности оба брата находятся в равных условиях, а значит, когда они окажутся вместе, то на их часах время будет одинаковым. Одновременно по теории относительности отставать должны именно часы брата-путешественника. Такое нарушение очевидной симметричности было рассмотрено как несогласованность положений теории.

Парадокс близнецов из теории относительности Эйнштейна

В 1905 году Альберт Эйнштейн вывел теорему, которая гласит, что при нахождении в точке А пары синхронизированных друг с другом часов можно перемещать одни из них по криволинейной замкнутой траектории с неизменной скоростью до тех пор, пока они вновь не достигнут точки А (и на это будет затрачено, например, t секунд), но в момент прибытия они покажут меньшее время, чем те часы, что оставались неподвижны.

Шесть лет спустя статус парадокса этой теории придал Поль Ланжевен. «Завернутая» в наглядную историю, она скоро приобрела популярность даже среди людей, далёких от науки. По мнению самого Ланжевена, нестыковки в теории объяснялись тем, что, возвращаясь на Землю, путешественник двигался ускоренно.

Ещё через два года Максом фон Лауэ была выдвинута версия о том, что значимы вовсе не моменты ускорения объекта, а тот факт, что он попадает в другую инерциальную систему отсчёта, когда оказывается на Земле.

Наконец в 1918 году Эйнштейн смог сам объяснить парадокс двух близнецов через влияние поля гравитации на течение времени.

Объяснение парадокса

Парадокс близнецов объяснение имеет довольно простое: изначальное предположение о равноправии между двумя системами отсчёта неверно. Путешественник пребывал в инерциальной системе отсчёта не всё время (это же касается и истории с часами).

Как следствие, многие посчитали, что специальную теорию относительности нельзя использовать для правильной формулировки парадокса близнецов, иначе получаются несовместимые друг с другом предсказания.

Всё разрешилось, когда была создана Она дала точное решение для имеющейся задачи и смогла подтвердить, что из пары синхронизированных часов отставать будут именно те, которые находятся в движении. Так изначально парадоксальная задача получила статус рядовой.

Спорные моменты

Существуют предположения о том, что момент ускорения достаточно значим для изменения скорости хода часов. Но в ходе многочисленных экспериментальных проверок было доказано, что под действием ускорения движение времени не ускоряется и не замедляется.

В итоге отрезок траектории, на котором один из братьев ускорялся, демонстрирует только некоторую асимметричность, возникающую между путешественником и домоседом.

Но данное утверждение не может объяснить, почему время замедляется именно у движущегося объекта, а не у того, что остаётся в покое.

Проверка практикой

Парадокс близнецов формулы и теоремы описывают точно, но это для человека некомпетентного довольно сложно. Для тех, кто больше склонен доверять практике, а не теоретическим выкладкам, были проведены многочисленные эксперименты, целью которых было доказать или опровергнуть теорию относительности.

В одном из случаев использовались Они отличаются сверхточностью, и для минимальной рассинхронизации им потребуется не один миллион лет. Помещённые в пассажирский самолёт, они несколько раз облетели Землю и после показали вполне заметное отставание от тех часов, которые никуда не летали. И это притом что скорость передвижения у первого образца часов была далеко не световая.

Другой пример: более продолжительна жизнь мюонов (тяжёлых электронов). Эти элементарные частицы в несколько сотен раз тяжелее обычных, обладают отрицательным зарядом и формируются в верхнем слое земной атмосферы благодаря действию космических лучей. Скорость их движения к Земле лишь на малость уступает световой. При их истинной продолжительности жизни (в 2 микросекунды) они распадались бы раньше, чем коснутся поверхности планеты. Но в процессе полёта они живут в 15 раз дольше (30 микросекунд) и всё-таки достигают цели.

Физическая причина парадокса и обмен сигналами

Парадокс близнецов физика объясняет и более доступным языком. Пока происходит полёт, оба брата-близнеца находятся вне зоны досягаемости друг для друга и не могут на практике удостовериться в том, что их часы движутся синхронно. Точно определить, насколько замедляется движение часов у путешественника, можно, если проанализировать сигналы, которые они будут посылать друг другу. Это условные сигналы «точного времени», выраженные как световые импульсы или видеотрансляция циферблата часов.

Нужно понимать, что передаваться сигнал будет не в настоящем времени, а уже в прошедшем, поскольку распространение сигнала происходит с определённой скоростью и требуется определённое время, чтобы пройти от источника до приёмника.

Правильно оценивать результат сигнального диалога можно только с учётом эффекта Доплера: при удалении источника от приёмника частота сигнала уменьшится, а при приближении - увеличится.

Формулировка объяснения в парадоксальных ситуациях

Для объяснения парадоксов подобных историй с близнецами можно применить два основных способа:

1. Внимательное рассмотрение имеющихся логических построений на предмет противоречий и выявление логических ошибок в цепи рассуждений.
2. Осуществление детальных вычислений с целью оценки факта торможения времени с точки зрения каждого из братьев.

В первую группу попадают вычислительные выражения, основанные на СТО и вписанные в Здесь подразумевается, что моменты, связанные с ускорением движения, настолько малы по отношению к общей длине полёта, что ими можно пренебречь. В отдельных случаях могут вводить третью инерциальную систему отсчёта, которая продвигается по встречному направлению в отношении путешественника и используется для передачи данных с его часов на Землю.

Во вторую группу входят вычисления, построенные с учётом того, что моменты ускоренного движения всё же присутствуют. Сама эта группа также подразделяется на две подгруппы: в одной применяется гравитационная теория (ОТО), а в другой - нет. Если ОТО задействована, то подразумевается, что в уравнении фигурирует поле гравитации, которое соответствует ускорению системы, и берётся во внимание изменение скорости течения времени.

Заключение

Все обсуждения, связанные с мнимым парадоксом, обусловлены лишь кажущейся логической ошибкой. Как бы ни были сформулированы условия задачи, добиться того, чтобы братья оказались в полностью симметричных условиях, невозможно. Важно учесть, что время замедляется именно на движущихся часах, которым пришлось пройти через смену систем отсчёта, потому что одновременность событий относительна.

Рассчитать, насколько замедлилось время с точки зрения каждого из братьев, можно двумя способами: используя простейшие действия в рамках специальной теории относительности либо ориентируясь на неинерциальные системы отсчёта. Результаты обеих цепей вычислений могут быть взаимно согласованы и в равной степени служат для подтверждения того, что на движущихся часах время идёт медленнее.

На этом основании можно предполагать, что при перенесении мысленного эксперимента в реальность тот, кто займёт место домоседа, действительно состарится быстрее, чем путешественник.

Выпуск рассказывает о том, что релятиви стские эффекты вовсе не ограничиваются замедлением времени и сокращением длин - на самом деле происходит сложное сопоставление между временами и местами для движущегося наблюдателя и временами и местами для неподвижного, которое называется преобразованием Лоренца.

Колонка редактора

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Первоначально я планировал вывести преобразования Лоренца традиционным способом - математическим подбором линейных преобразований пространственных координат и времени. Но один из участников форума по имени Аркадий, стал допытываться у меня, каким же всё-таки образом получается, что летя вдогонку свету, мы получаем то же самое значение его скорости, что и оставаясь на месте?

Действительно, подумал я, мы всё выводим из постоянства скорости света, но наглядно его самоё так и не представили. Поэтому я решил нарисовать мультик, который всё это показывает. В итоге получилось, что Аркадий помог мне получить наглядный вывод преобразований Лоренца, чего я раньше не осознавал.

В связи с этим рекомендую всем участвовать в обсуждениях на форуме. Тем, кто не знает теор ию относительности это поможет озвучить свои заморочки и получить на них справедливую критику, а тем, кто знает - поможет яснее понять то, что он понимал и раньше.

Повторяю, не пренебрегайте выгодами от общения! :-)

Введение

Итак, вернёмся немного назад и вспомним, какие три явления должны наблюдаться, если скорость света не зависит от скорости её (скорости) наблюдателя:

Движение вдоль светового луча

Теперь соединим вместе работу всех трёх явлений и посмотрим, что они дают сообща.

Представим, что некто летит вдогонку свету с такой скоростью, что его время и его длины сокращаются в два раза (работают первые два явления). Для этого наблюдатель должен лететь со скоростью около 260 тысяч километров в секунду (получено по формуле из которой найдено v , при котором всё выражение становится равно 0,5). Пусть он вылетает из начальной точки вместе со световым импульсом, а за всем этим наблюдаем мы - неподвижный наблюдатель.

Мы увидим, что в тот момент, когда по нашим часам пройдет 1 секунда и свет пролетит 300 тысяч километров, по часам движущегося наблюдателя пройдет всего 1/2 секунды. Начало его линейки будет находиться на расстоянии 260 тысяч километров от нас, а свет - на расстоянии 300. Поскольку линейка сокращена, то наша разница в расстояниях 300 - 260 = 40 тыс. км означает, что свет будет находиться напротив деления 40*2 = 80 линейки движущегося наблюдателя.

Если мы подождём, пока по часам движущегося наблюдателя пройдёт ровно одна секунда, то в этот момент по нашим часам пройдёт две. Свет улетит от нас на расстояние 600 тыс. км, а начало линейки движущегося наблюдателя - на 260*2 = 520. Разница в расстояниях между началом линейкии положением света 600 - 520 = 80 отобразится по укороченной линейке движущегося наблюдателя в величину 80*2 = 160 тысяч километров - именно напротив этого деления в этот момент будет находиться свет.

Значит ли это, что движущийся наблюдатель получит скорость света, равную 160 тыс. км/с? Конечно же нет!

Поскольку постоянство скорости света - это постул ат, то мы сейчас заставим движущегося наблюдателя исхитриться и получить 300 тыс. км/с! :-)

Для этого воспользуемся третьим явлением - относительностью одновременности.

Очевидно, что те два события (событие 1 - показания часов движущегося наблюдателя, равные 1 сек и событие 2 - положение светового импульса напротив отметки в 160 тыс. км), которые для нас являются одновременными - не являются одновременными для движущегося наблюдателя. А для того, чтобы правильно измерить скорость, он должен найти положение света напротив линейки, одновременное с моментом показа 1 с на его часах.

Поиск подходящего момента

Итак, наша задача найти событие, которое с точки зрения движущегося наблюдателя является одновременным событию 1 (показания 1 сек на его часах).

Что же это за событие?

Ясно, что альтернативы у нас нет - это событие, когда свет находится напротив отметки в 300 тыс. км по линейке движущегося наблюдателя. Ведь только в этом случае, то есть, только если именно это событие будет одновременным событию 1 , движущийся наблюдатель получит скорость света, равную 300 тыс. км/с.

Рассмотрим отметку 300 тыс. км на линейке движущегося наблюдателя. Первоначально она находилась (по нашей линейке) на расстоянии 150 тыс. км от начала, потом начала двигаться со скорость 260 тыс. км/с вправо.

Свет делал аналогичное, только начинал он с отметки 0 (по нашей линейке) и в секунду проходил 300 тыс. км.

Вот таблица:

Видно, что расстояния совпадут где-то в районе 4 секунд по нашим часам.

Множество часов движущегося наблюдателя

Какое же время будет обнаружено нами на часах движущегося наблюдателя? Ясно, что поскольку его часы в два раза медленнее наших, то примерно 2 секунды.

Что же это получается!? На часах движущегося наблюдателя 2 секунды, а он считает этот момент одновременным моменту, когда на его часах была только одна секунда!?

Да, именно так. Ясно, что тут дело в относительности одновременности, но как это уложить в голове?

Очень просто - мы наблюдаем линейку движущегося наблюдателя в разные (для него или неё, линейки) моменты времени. Когда наши часы показывают 4 секунды, то мы наблюдаем линейку движущегося наблюдателя такой, какой она была в разные моменты своей жизни. Окрестность её нулевого деления мы наблюдаем в момент 2 секунд, а окрестность деления 300 тыс. км - в момент 1 секунды.

Ясно, что такое представление полностью объясняет происходящее.

Ясно также, что раз разными являются наблюдаемые моменты жизни двух делений линейки, то на самом деле это верно для всех промежуточных делений.

Как же распределены времена по линейке? Равномерно, вот так:

Внимание! Если Вы не видите рисунка, то попробуйте открыть ссылку http://www.relativity.ru/media/media07.shtml#multiplicity

Это представление, которое мы только что получили - и называется преобразованием Лоренца. Пока мы получили его только на пальцах, в виде полуколичественного образа в воображении. Точное выражение для преобразования мы получим позже.

Но уже сейчас понятно, что сущестует некоторое соответствие между координатами, полученными движущимся наблюдателем и координатами, полученными неподвижным. Причём вместе с пространственными координатами, преобразуются и показания часов.

Взгляните ещё раз на мультфильм и подумайте о том, что нижняя его половина изображена неправильно, так как там только одни часы. Вместо одних часов там должна была бы быть нарисована целая измерительная система, которая представляла бы собой совокупность из линейки и цепочки часов. Между этим агрегатом и нашей неподвижной линейкой и неподвижными часами существовало бы соответствие: такие-то показания движущихся часов и такое-то деление движущейся линейки соответствует таким-то показаниям неподвижных часов и линейки. Это соответствие - и есть преобразование Лоренца.

Выводы

Мы обнаружили, что опыт по наблюдению за тем, как движущийся наблюдатель летит вдогонку свету является очень богатым источником различных закономерностей.

Пытаясь понять, каким образом оба наблюдателя получают одну и ту же скорость, нам пришлось привлечь все три обнаруженных нами ранее явления: замедление времени, сокращение длин и относительность одновременности.

В итоге мы увидели, что неизменная скорость света вполне возможна, при условии, если мы будем наблюдать мир движущегося наблюдателя не только сплюснутым и замедленным, но и разбитым на множество прилегающих моментов времени. Протяжённый предмет мы должны наблюдать в разные моменты его "жизни".

Сложное соответствие между расстояниями и временами у движущегося наблюдателя и расстояниями и временами у нас (у неподвижного наблюдателя) - называется преобразованием Лоренца.

.

Происхождение названия “теория относительности”

Название “теория относительности” возникло из наименования основного принципа (постулата), положенного Пуанкаре и Эйнштейном в основу из всех теоретических построений новой теории пространства и времени.

Название же “принцип относительности” или “постулат относительности”, возникло как отрицание представления об абсолютной неподвижной системе отсчета, связанной с неподвижным эфиром, вводившимся для объяснения оптических и электродинамических явлений.

Дело в том, что к началу двадцатого века у физиков, строивших теорию оптических и электромагнитных явлений по аналогии с теорией упругости, сложилось ложное представление о необходимости существования абсолютной неподвижной системы отсчета, связанной с электромагнитным эфиром. Зародилось, таким образом, представление об абсолютном движении относительно системы, связанной с эфиром, представление, противоречащее более ранним воззрениям классической механики (принцип относительности Галилея). Опыты Майкельсона и других физиков опровергли эту теорию “неподвижного эфира” и дали основание для формулировки противоположного утверждения, которое и получило название “принципа относительности”. Так это название вводится и обосновывается в первых работах Пуанкаре и Эйнштейна.

Эйнштейн пишет: “.. неудавшиеся попытки обнаружить движение Земли относительно “светоносной среды” ведут к предположению, что не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не соответствуют понятию абсолютного покоя, и даже более того,- к предположению, что для всех координатных систем, для которых справедливы уравнения механики, имеют место те же самые электродинамические и оптические законы, как это уже доказано для величин первого порядка. Мы намерены это положение (содержание которого в дальнейшем будет называться “принципом относительности”) превратить в предпосылку... “ А вот что пишет Пуанкаре: “Эта невозможность показать опытным путем абсолютное движение Земли представляет закон природы; мы приходим к тому, чтобы принять этот закон, который мы назовем постулатом относительности , и примем его без оговорок.”

Но крупнейший советский теоретик Л. И. Мандельштам в своих лекциях по теории относительности разъяснял: “Название “принцип относительности” - одно из самых неудачных. Утверждается независимость явлений от неускоренного движения замкнутой системы. Это вводит в заблуждение многие умы” На неудачность названия указывал и один из творцов теории относительности, раскрывший ее содержание в четырехмерной геометрической форме, - Герман Минковский. В 1908 г. он утверждал: “... термин “постулат относительности” для требования инвариантности по отношению к группе , кажется мне слишком бедным. Так как смысл постулата сводится к тому, что в явлениях нам дается только четырехмерный в пространстве и времени мир, но что проекции этого мира на пространство и на время могут быть взяты с некоторым произволом, мне хотелось бы этому утверждению дать название: постулат абсолютного мира ”

Таким образом, мы видим, что названия “принцип относительности” и “теория относительности” не отражают истинного содержания теории.

Теория относительности, как современная теория пространства-времени.

Основным отличием представлений о пространстве и времени теории относительности от представлений ньютоновской физики является ограниченная взаимосвязь пространства и времени . Эта взаимосвязь раскрывается в формулах преобразования координат и времени при переходе от одной системе отсчета к другой (преобразования Лоренца)

Вообще каждое физическое явление протекает в пространстве и времени и не может быть изображено в нашем сознании иначе, как в пространстве и во времени. Пространство и время суть формы существования материи. Никакой материи не существует вне пространства и времени. Конкретным изображением пространства и времени является система отсчета , т.е. координатно-временное многообразие чисел

составляющие воображаемую сетку и временную последовательность всех возможных пространственных и временных точек. Одно и то же пространство и время могут изображаться различными координатно-временными сетками (системами отсчета).

Вместо чисел

пространство-время может изображаться числами причем эти числа не произвольны, а связаны с предыдущими совершенно определенного вида формулами преобразования, которые и выражают свойства пространства-времени.

Итак, каждое возможное изображение пространства и времени можно связать с определенной системой отсчета, систему отсчета - с реальным телом, координаты - с конкретными точками тела, моменты времени

с показаниями конкретных часов, расставленных в различных системах отсчета. Тело отсчета необходимо для проведения конкретных измерений пространственно-временных отношений.

Не следует однако отожествлять систему отсчета с телом отсчета, как это предполагают физики. Физики при изображении явлений пользуются любыми системами отсчета, в том числе и такими с которыми невозможно связать какое-либо реальное тело. Основанием для такого выбора служит представление о полном равноправии всех мыслимых систем отсчета. Следовательно, выбор системы отсчета является лишь выбором способа изображения пространства и времени для отображения исследуемого явления.

Если выбраны две системы отсчета

и , каждая из которых подобным образом изображает одно и то же пространство-время, то, как это установлено в теории относительности, координаты в системах и связаны так, что интервал , определяемый для двух разобщенных событий как (a)

остается одинаковым при переходе от Е к Е’, т.е.

(b)

Иначе говоря, является инвариантом преобразований Лоренца, связывающих координаты и время в

и : , (c)

Из (c), так же как из (a) и (b), следует пространственно разобщенных событий, т.е. для двух событий,

в системедвижущейся со скоростью , будем иметь (d)

В этих свойствах пространственно-временных координат и отражается существо новых представлений о пространстве и времени, связанных в единое геометрического типа многообразие, многообразие с особой, определяемой (а) и (b) четырехмерной псевдоевклидовой геометрией, геометрией, в которой время тесно связано с пространством и не может рассматриваться независимо от последнего, как это видно из (d).

Из этих же представлений вытекают важнейшие следствия для законов природы, выражаемые в требовании ковариантности (т.е. неизменяемости формы) любых физических процессов по отношению к преобразованиям четырехмерных пространственно-временных координат. В требовании также отражается представление о пространстве-времени как о едином четырехмерном многообразии. Так представляют себе физики, конкретно применяющие теорию относительности, ее реальное содержание. При этом понятие относительности приобретает лишь смысл возможной множественности пространственно-временных изображений явлений при абсолютности содержания, т.е. законов природы.

Постулаты Эйнштейна.

Преобразования Лоренца, отражающие свойства пространства-времени, были выведены Эйнштейном, исходя из 2 постулатов: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.

1. Законы, по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, к которой из двух координатных систем, находящихся относительно друг друга в равномерном поступательном движении, эти изменения состояния относятся.

2. Каждый луч света движется в “покоящейся” системе координат с определенной скоростью

, независимо от того, испускается ли этот луч света покоящимся или движущимся телом.

Значение этих постулатов для дальнейшего развития теории пространства-времени состояло в том, что их принятие прежде всего означало отказ от старых представлений о пространстве и времени, как о многообразиях, не связанных органически друг с другом.

Принцип относительности сам по себе не представлял чего-либо абсолютно нового, т.к. он содержался и в Ньютоновской физике, построенной на базе классической механики. Принцип постоянства скорости света также не был чем-то абсолютно неприемлемым с точки зрения ньютоновских представлений о пространстве и времени.

Однако эти два принципа, взятые вместе привели к противоречию с конкретными представлениями о пространстве и времени, связанные с механикой Ньютона. Это противоречие можно проиллюстрировать следующим парадоксом.

Пусть в системе отсчета

в начальный момент в точке, совпадающей с началом координат произошла вспышка света. В последующий момент времени фронт световой волны, в силу закона постоянства скорости света, распространился до сферы радиуса с центром в начале координат системы . Однако в соответствии с постулатами Эйнштейна, это же явление мы можем рассмотреть и точки зрения системы отсчета , движущейся равномерно и прямолинейно вдоль оси , так, что ее начало координат и направления всех осей совпадали в момент времени с началом координат и направлениями осей первоначальной системы . В этой движущейся системе, соответственно постулатам Эйнштейна, за время свет также распространится до сферы радиуса

радиуса , однако, в отличие о предыдущей сферы должен лежать в начале координат системы , а не . Несовпадение этих сфер, т.е. одного и того же физического явления, представляется чем-то совершенно парадоксальным и неприемлемым с точки зрения существующих представлений. Кажется, что для разрешения парадокса надо отказаться от принципа относительности, либо от принципа постоянства скорости света. Теория относительности предлагает, однако, совершенно иное разрешение парадокса, состоящее в том, что события, одновременные в одной системе отсчета , неодновременны в другой, движущейся системе , и наоборот. Тогда одновременные события, состоящие в достижении световым фронтом сферы, определяемой уравнением

, не являются одновременными с точки зрения системы , где одновременны другие события, состоящие в достижении тем же световым фронтом точек сферы, определяемой уравнением

Таким образом, одновременность пространственно разобщенных событий перестает быть чем-то абсолютным, как это принято считать в повседневном макроскопическом опыте, а становится зависящей от выбора системы отсчета и расстояния между точками, в которых происходит события. Эта относительность одновременности пространственно разобщенных событий свидетельствует о том, что пространство и время тесно связаны друг с другом, т.к. при переходе о одной системе отсчета к другой, физически эквивалентной, промежутки времени между событиями становятся зависящими от расстояний (нулевой промежуток становится конечным и наоборот).

Итак, постулаты Эйнштейна помогли нам прийти к новому фундаментальному положению в физической теории пространства и времени, положению о тесной взаимосвязи пространства и времени и об их нераздельности, в этом и состоит главное значение постулатов Эйнштейна.

Основное содержание теории относительности играет постулат о постоянстве скорости света. Основным аргументов в пользу этого является та роль, которую отводил Эйнштейн световым сигналам, с помощью которых устанавливается одновременность пространственно разобщенных событий. Световой сигнал, распространяющийся всегда только со скоростью света, приравнивается, таким образом, к некоторому инструменту, устанавливающему связь между временными отношениями в различных системах отсчета, без которого якобы понятия одновременности разобщенных событий и времени теряют смысл. Необходимость такого истолкования содержания теории относительности легко доказывается, если обратиться к одному из возможных выводов преобразований Лоренца, опирающемуся на постулат относительности и вместо постулата о постоянстве скорости света использующему лишь допущение о зависимости массы тела от скорости.

Вывод преобразований Лоренца без постулата о постоянстве скорости света.

Для вывода преобразований Лоренца будем опираться лишь на “естественные” допущения о свойствах пространства и времени, содержавшиеся еще в классической физике, опиравшейся на общие представления, связанные с классической механикой:

1. Изотропность пространства , т.е. все пространственные направления равноправны.

2. Однородность пространства и времени , т.е. независимость свойств пространства и времени от выбора начальных точек отсчета (начала координат и начала отсчета времени).

3. Принцип относительности , т.е. полная равноправность всех инерциальных систем отсчета.

Различные системы отсчета по-разному изображают одно и то же пространство и время как всеобщие формы существования материи. Каждое из этих изображений обладает одинаковыми свойствами. Следовательно, формулы преобразования, выражающие связь между координатами и временем в одной - “неподвижной” системе

с координатами и временем в другой - “движущейся” системе , не могут быть произвольными. Установим те ограничения, которые накладывают “естественные” требования на вид функций преобразования:

1. Вследствие однородности пространства и времени преобразования должны быть линейными.

Действительно, если бы производные функций

по не были бы константами, а зависели от то и разности , выражающие проекции расстояний между точками 1 и 2 в “движущейся” системе, зависели бы не только от соответствующих проекций , в “неподвижной” системе, но и от значений самих координат что противоречило бы требованию независимости свойств пространства от выбора начальных точек отсчета. Если положить, что проекции расстояний вида x ‘ = = зависят только от проекций расстояний в неподвижной системе, т.е. от x = , но не зависит от , то при т.е. или .

Аналогично можно доказать, что производные

по всем другим координатам также равны константам, а следовательно, и вообще все производные по суть константы.

2. Выберем "движущуюся" систему

таким образом, чтобы в начальный момент точка, изображающая ее начало координат, т.е. совпадала с точкой, изображающей начало координат "неподвижной" системы, т.е. , а скорость движения системы была бы направлена только по Если мы также учтем требование изотропности пространства, то линейные преобразования для системы отсчета , выбранной указанным образом, запишутся в виде Здесь отсутствуют члены, содержащие и в выражениях и , в силу изотропности пространства и наличия единственного выделенного направления вдоль оси , соответственно постановке задачи. На этом же основании в выражениях для и отсутствуют члены, пропорциональные, соответственно, и , а коэффициенты при и одинаковы. Члены, содержащие и , отсутствуют в выражениях для и в силу того, что ось все время совпадает с осью . Последнее было бы невозможно, если бы и зависели от и .

3. Изотропность предполагает также симметричность пространства. В силу же симметрии ничто не должно измениться в формулах преобразования, если изменить знаки

и , т.е. одновременно изменить направление оси и направление движения системы . Следовательно, (d) Сравнивая эти уравнения с предыдущими () получаем: . Вместо удобно ввести другую функцию , так, чтобы выражалось через ипосредством соотношения Согласно этому соотношению, - симметричная функция. Используя это соотношение, преобразования (d) можно записать в виде (e), причем все входящие в эти формулы коэффициенты суть симметрии функции .

4. В силу принципа относительности обе системы, "движущаяся" и "неподвижная", абсолютно эквивалентны, и поэтому обратные преобразования от системы

кдолжны быть тождественно прямым от к. Обратные преобразования должны отличаться лишь знаком скорости , т.к. системадвижется относительно системывправо со скоростью , а система движется относительно системы (если последнюю считать неподвижной), влево со скоростью . Следовательно, обратные преобразования должны иметь вид . (f) Сравнивая эти преобразования с (e), получаем . Но в силу симметрии получаем, что , т.е. . Очевидно, имеет смысл лишь знак (+), т.к. знак (-) давал бы при перевернутую по и систему. Следовательно . Замечая, что коэффициенты - тоже симметричные функции , первое и последнее уравнение из (e) и (f) можно записать в виде: А) , а) , В) , в) . Умножая А) на , В) на и складывая, получим . Сравнивая это выражение с а), получаем . Откуда имеем

Следовательно, извлекая квадратный корень и замечая, что знак (-) так же, как и для

, не имеет смысла, получаем . Итак преобразования приобретают вид: (g) или,подробнее: ,(h) где - неизвестная пока функция .

5. Для определения вида

обратимся вновь к принципу относительности . Очевидно, что преобразования (g) должны быть универсальными и применимыми при любых переходах от одних систем к другим. Таким образом, если мы дважды перейдем от системык и от к , то полученные формулы, связывающие координаты и время в системе с координатами и временем в, должны также иметь вид преобразований (g). Это вытекающее из принципа относительности требование, в совокупности с предыдущими требованиями обратимости, симметрии и т.д. означает, что преобразования должны составлять группу .

Воспользуемся этим требованием групповости преобразований. Пусть

- скорость системы относительнои - скорость системы относительно системы

Тогда согласно (g)

и через и , получаем

Согласно сформулированному выше требованию эти же преобразования должны записываться в виде (g), т.е.

(k) Коэффициенты, стоящие при в первой из этих формул и при во второй, одинаковы. Следовательно, в силу тождественности предыдущих формул и этих, должны быть одинаковы и коэффициенты, стоящие при в первой из предыдущих формул и приво второй из формул (h) т.е. . Последнее равенство может быть удовлетворено только при

6. Итак, в преобразованиях (h) h является константой, имеющей размерность квадрата скорости. Величина и даже знак этой константы не могут быть определены без привлечения каких-либо новых допущений, опирающихся на опытные факты.

Если положить

, то преобразования (h) превращаются в известные преобразования Галилея Эти преобразования, справедливые в механике малых скоростей (), не могут быть приняты как точные преобразования, справедливые при любых скоростях тел, когда становится заметным изменение массы тел со скоростью. Действительно, учет изменения массы со скоростью приводит к необходимости принять положение об относительности одновременности разобщенных событий. Последнее же несовместимо с преобразованиями Галилея. Таким образом, константа h должна быть выбрана конечной.

Из опыта известно, что при больших скоростях, сравнимых со скоростью света, уравнения механики имеют вид

(i), где - собственная масса, совпадающая с массой частицы при малых скоростях (), с - константа, имеющая размерность скорости и числено равная см/сек, т.е. совпадающая со скоростью света в пустоте. Этот опытный факт трактуется как зависимость массы от скорости, если массу определить как отношение импульса тела к его скорости.

Константа

имеет такую же размерность, какую имеет h , входящая в формулы преобразования координат и времени (h). Естественно поэтому положить (j), поскольку в экспериментально полученную зависимость массы от скорости не входит никакая иная константа, имеющая квадрата скорости. Принимая это равенство, преобразования (h) записываются в виде (l).

Пуанкаре назвал эти преобразования координат и времени преобразованиями Лоренца .

В силу обратимости обратные преобразования Лоренца, очевидно, должны быть записаны в виде

Примененные нами соображения размерности для выбора константы h не вполне, однако, однозначны, т.к. вместо соотношения (j) с таким же правом можно было бы выбрать

(k)

Оказывается, однако, что совпадающие с опытом уравнения механики (i) могут быть получены лишь как следствия преобразований Лоренца и не могут быть совмещены с преобразованиями, получающимися из допущения (k). Действительно, известно, что уравнения механики, опирающимися на преобразования Лоренца, являются уравнения Минковского, согласно которым масса увеличивается со скоростью по формуле

. Если же в качестве преобразований координат выбрать , то соответствующие уравнения Минковского дадут убывающую со скоростью массу m, что противоречит опыту.

Итак, не обращаясь к постулату о постоянстве скорости света в пустоте, не ссылаясь на электродинамику и не используя свойств световых сигналов для определения одновременности, мы вывели преобразования Лоренца, используя лишь представление об однородности и изотропности пространства и времени, принцип относительности и формулу зависимости массы от скорости.

Обычно, следуя пути, намеченному еще в первой работе Эйнштейна, вместо формулы зависимости массы от скорости используют постулат о постоянстве скорости света в пустоте. Согласно этому постулату при переходе от системы

к системедолжно оставаться инвариантным уравнение , описывающее фронт световой волны, распространяющейся из начала координатной системы . Легко убедиться в том, что уравнение после подстановки формул преобразования (k) не изменяет своего вида, т.е. это уравнение переходит в предыдущее, лишь в том случае, если .

Мы применили иной вывод, не использующий постулат о постоянстве скорости света, с тем, чтобы показать, что преобразования Лоренца могут быть получены независимо от способа сигнализации, избранного для синхронизации часов, измеряющих время. Физики могли бы вообще ничего не знать о скорости света и о законах электродинамики, однако могли бы получить преобразования Лоренца, анализирую факт зависимости массы от скорости и исходя из механического принципа относительности.

Таким образом, преобразования Лоренца выражают общие свойства пространства и времени для любых физических процессов. Эти преобразования, как это выяснилось в процессе доказательства, составляют непрерывную группу, называемую группой Лоренца . В этом факте, в наиболее общем виде отображаются свойства пространства и времени, раскрытые теорией относительности.

Изображение преобразований Лоренца на плоскости Минковского.

Первыми наиболее поражающими следствиями преобразований Лоренца являются: сокращение движущихся масштабов в направлении движения и замедление хода движущихся часов. С точки зрения повседневных представлений о пространстве и времени эти следствия кажутся парадоксальными.

Исчерпывающее, но всегда кажущееся несколько формальным, разъяснение этих кинематических явлений дается на плоскости x, ct, если в соответствии с правилами четырехмерной геометрии Минковского изобразить на ней сетку координат "неподвижной" и сетку координат "движущейся" системы.

Преобразования Лоренца оставляют инвариантным (неизменным) интервал

между любыми двумя событиями, определяемый согласно (a), как в этом легко убедиться подстановкой в (l) в (b).

Совмещая первое событие с моментом t=0 и началом отсчета системы

и вводя симметричные обозначения координат и времени интервал между вторым и первым событием можно написать в виде (o) Четырехмерная геометрия, определяемая инвариантностью интервала этого уравнения, качественно отличается от обычной евклидовой геометрии, определяемой инвариантностью расстояния, т.е. (m) или от простого четырехмерного обобщения геометрии, где инвариантом считается (n) В евклидовых геометриях, определяемых (m) или (n), квадрат "расстояния" всегда положителен, и, следовательно, "расстояние" является действительной величиной. Но в четырехмерной геометрии, определяемой интервалом (о), являющимся аналогом "расстояния", квадрат интервала может быть положителен, отрицателен или равным нулю. Соответственно, в этой псевдоевклидовой геометрии интервал может быть действительной или мнимой величиной. В частном случае он может быть равен нулю для несовпадающих событий.

Иногда кажется, что качественное различие между четырехмерной евклидовой геометрией и четырехмерной псевдоевклидовой геометрией стирается, если, воспользовавшись предложением Минковского, считать время пропорциональным некоторой мнимой четвертой координате, т.е. положить

В этом случае квадрат интервала запишется как

т.е. с точностью до знака совпадает с (n). Однако в силу мнимости это выражение, так же как и (o), может иметь различные знаки и, таким образом, качественно отличается от (n).

В силу инвариантности интервала качественное различие связи между событиями не зависит от выбора системы отсчета, и действительный, или времениподобный , интервал (

) остается действительным во всех системах отсчета, мнимый же, или пространственноподобный , интервал () также остается мнимым во всех системах отсчета.

Все эти особенности псевдоевклидовой геометрии могут наглядно проиллюстрированы на плоскости Минковского

.

Отрезками 0a и 0b на этой плоскости изображены соответственно единичные масштабы временной оси

и пространственной оси . Кривая, выходящая вправо из точки a, является гиперболой, описываемой уравнением а кривая, выходящая вверх из точки b, является гиперболой, описываемой уравнением

Таким образом, точка начала координат и все точки, лежащие на гиперболе, выходящей из точки a, разделены единичным времениподобным интервалом. Точки же, лежащие на гиперболе, выходящей из точки b, отделены от начала координат пространственноподобным интервалом.

Пунктирная линия, выходящая параллельно оси

из точки a, изображает точки с координатами , а линия, выходящая из точки b параллельно оси , изображает точки с координатами .

На этой же плоскости нанесены линии

и , изображающие соответственно точки с координатами и , а также линии, проходящие через и

и соответственно изображающие точки с координатами

. Эти линии изображают координатную сетку системы .

Из рисунка видно, что переход от системы S к системе

соответствует переходу от прямоугольных координат к косоугольным на плоскости Минковского. Последнее следует также непосредственно из преобразований Лоренца, которые можно записать также в виде где или в виде (p) где и очевидно,

Но преобразования (p) тождественны преобразованиям перехода от декартовых координат к косоугольным. При этих преобразованиях времениподобные векторы, т.е. векторы, направленные из начала отсчета в точки, лежащие выше линии OO", в любой системе координат также останутся времениподобными, т.к. концы векторов лежат на гиперболах. Следовательно, и пространственноподобные векторы во всех системах координат останутся пространственноподобными.

На плоскости Минковского видно, что "пространственная" проекция единичного вектора

на ось равна 1, а на ось равна , т.е. меньше 1. Следовательно, масштаб, покоящийся в системе, при измерении из системы S оказался укороченным. Но это утверждение обратимо, ибо "пространственная" проекция вектора Ob на ось равна Ob, т.е. в системе меньше, чем, являющийся единичным вектором.

Аналогично дело обстоит и с "временными" проекциями на оси

и Отрезок , изображающий в системе процесс, длящийся единицу времени, в системе S будет проектироваться как , т.е. как процесс, длящийся меньшее время, чем Oa=1. Следовательно, ход часов, покоящихся в системе, при измерении из системы S окажется замедленным. Легко проверить, что это явление также обратимо, т.е. ход часов, покоящихся в системеS , оказывается замедленным в системе.

Сокращение движущихся масштабов.

Если длина неподвижного масштаба может быть измерена путем прикладывания к нему эталонных масштабов, без использования каких-либо часов, то длину движущегося масштаба невозможно измерить из неподвижной системы отсчета без использования часов или сигналов, отмечающих одновременность прохождения концов измеряемого масштаба относительно точек эталона. Таким образом, под длиной движущегося масштаба надо понимать расстояние между его концами, измеренное при помощи неподвижного эталона в один и тот же момент времени для каждого конца. Одновременность измерения положений концов является существенно необходимым условием опыта. Легко видеть, что нарушение этого условия может привести к тому, что измеренная длина может оказаться любой, в том числе отрицательной или равной нулю.

Пусть длина движущегося масштаба, предварительно измеренная путем непосредственного приложения к эталону, помещавшемуся в любой системе координат. Тогда если моменты и прохождения концов масштабы мимо точек и неподвижного эталона одинаковы (т.е. t1=t2), то является, по определению, длиной движущегося масштаба. Согласно преобразованиям Лоренца имеем , откуда в силу t1=t2 получаем .(r)

Парадоксальность этого вывода состоит в том, что в силу принципа относительности точно такая же формула должна получиться для длины масштаба, находящегося в системе S и измеряемого из системы

«Парадоксы»

общей теории относительности

Как и в специальной теории относительности, в ОТО "парадоксы" позволяют не только отвести рассуждения, основанные на так называе­мом "здравом смысле" (обыденном, житейском опыте), но и дать правиль­ное, научное объяснение "парадоксу", который, как правило, является проявлением более глубокого понимания природы. И это новое понима­ние дается новой теорией, в частности, ОТО.

«Парадокс близнецов»

При изучении СТО отмечается, что "парадокс близнецов" не может быть объяснен в рамках этой теории. Напомним суть этого "парадокса". Один из братьев - близнецов улетает на космическом корабле и, совер­шив путешествие, возвращается на Землю. В зависимости от величин ускорений, которые космонавт будет испытывать при старте, развороте и посадке, его часы могут существенно отстать от земных часов. Возможен и такой вариант, что он не найдет на Земле ни своего брата, ни то поко­ление, которое оставил на Земле при начале полета, так как на Земле пройдет не один десяток (сотен) лет. Этот парадокс не может быть разре­шен в рамках СТО, так как рассматриваемые СО не равноправны (как это требуется в СТО): космический корабль не может рассматриваться ИСО, так как движется на отдельных участках траектории неравномерно.

Только в рамках ОТО мы можем понять и объяснить "парадокс близ­нецов" естественным образом, опираясь на положения ОТО. Эта проблема связана с замедлением темпа хода часов в движущихся

СО (или в эквивалентном гравитационном поле).

Пусть два наблюдателя -"близнеца" находятся первоначально на Зем­ле, которую мы будем считать инерциальной СО. Пусть наблюдатель "А" остается на Земле, а второй наблюдатель-"близнец" "В" стартует на кос­мическом корабле, улетает в неведомые просторы Космоса, разворачива­ет свой корабль и возвращается на Землю. Если движение в Космосе и происходит равномерно, то при взлете, развороте и посадке близнец "В" испытывает перегрузки, так как движется с ускорением. Эти неравно­мерные движения космонавта "В" можно уподобить его состоянию в некотором эквивалентном гравитационном поле. Но в этих условиях (в ИСО без гравитационного поля или в эквивалентном гравитационном поле) происходит физическое (а не кине­матическое, как в СТО) замедление темпа хода часов. В ОТО была получена формула, которая получила конкретное выражение через гравитационный потенциал:

из которой ясно видно, что темп хода часов замедляется в гравитацион­ном поле с потенциалом (то же справедливо и для эквивалентной ускоренно движущейся СО, каковой в нашей задаче является космичес­кий корабль с "близнецом" "В").

Таким образом, часы на Земле покажут больший промежуток време­ни, чем часы на космическом корабле при его возвращении на Землю. Можно рассмотреть и другой вариант задачи, считая неподвижным "близ­неца" "В", тогда "близнец" "А" вместе с Землей будет удаляться и при­ближаться к "близнецу" "В". Аналитический расчет и в этом случае приводит к полученному выше результату, хотя это как будто бы и не должно было бы получиться. Но дело в том, что для удержания "косми­ческого корабля" в неподвижности нужно ввести удерживающие поля, наличие которых и вызовет ожидаемый результат, представленный фор­мулой (1).

Повторим еще раз, что "парадокс близнецов" не имеет никакого объяс­нения в специальной теории относительности, в которой используются только равноправные инерциальные СО. По СТО "близнец" "В" должен вечно равномерно и прямолинейно удаляться от наблюдателя "А". В популярной литературе часто обходят "острый" момент в объяснении па­радокса, заменяя физически длящийся разворот космического корабля "назад к Земле" его мгновенным разворотом, что невозможно. Но этим "обманным маневром" в рассуждениях устраняют ускоренное движение корабля на развороте и тогда обе СО ("Земля" и "Корабль") оказываются равноправными и инерциальными, в которых можно применять положе­ния СТО. Но такой прием нельзя считать научным.

В заключение следует отметить, что "парадокс близнецов" является по сути дела разновидностью того эффекта, который называется изменением частоты излучения в гравитационном поле (период колебательного процесса обратно пропорционален частоте, если изменяется период, изменяется и частота)

Отклонение световых лучей, проходящих вблизи Солнца

Таким образом, результаты нашей экспедиции ос­тавляют мало сомнений в том, что лучи света отклоня­ются вблизи Солнца и что отклонение, если приписать его действию гравитационного поля Солнца, по вели­чине соответствуют требованиям общей теории отно­сительности Эйнштейна.

Ф. Дайсон, А.Эддингтон, К.Девидсон 1920

Выше приведена цитата из отчета ученых, наблюдавших 9 мая 1919 г. полное солнечное затмение с целью обнаружить предсказанный ОТО эффект отклонения световых лучей при прохождении их вблизи тяготею­щих тел. Но коснемся немного истории этого вопроса. Как известно, благодаря непререкаемому авторитету великого Ньютона, в XVIII в. вос­торжествовало его учение о природе света: в отличие от своего современ­ника и не менее известного голландского физика Гюйгенса, рассматри­вавшего свет как волновой процесс, Ньютон исходил из корпускулярной модели, согласно которой частицы света, подобно материальным (веще­ственным) частицам, взаимодействуют со средой, в которой движутся и притягиваются телами по законам гравитации, построенной самим Нью­тоном. Поэтому световые корпускулы должны вблизи тяготеющих тел отклоняться от своего прямолинейного движения.

Задача Ньютона была теоретически решена в 1801 г. немецким ученым Зельднером. Количественный расчет предска­зывал угол отклонения лучей света при прохождении вблизи Солнца на величи­ну 0,87".

В ОТО также предсказывается подобный эффект, однако природа его предполагается иной. Уже с СТО частицы света - фотоны - это без массо­вые частицы, поэтому ньютоновское объяснение в этом случае совершен­но непригодно. Эйнштейн подошел к этой задаче с общих представлений о том, что гравитирующее тело изменяет геометрию окружающего про­странства, делая его неэвклидовым. В искривленном пространстве-време­ни свободное движение (каковым является движение света) происходит по геодезическим линиям, которые будут не прямыми в эвклидовом смысле, а будут кратчайшими линиями в искривленном пространстве-времени. Теоретические расчеты давали результат в два раза больший, чем получа­лось по ньютоновской гипотезе. Так что экспериментальное наблюдение отклонения световых лучей вблизи поверхности Солнца могло решить вопрос и о физической достоверности всей ОТО.

Проверить эффект ОТО по отклонению световых лучей полем тяготе­ния можно лишь в том случае, когда свет от звезды проходит вблизи поверхности Солнца, где это поле достаточно велико, чтобы существенно повлиять на геометрию пространства-времени. Но в обычных условиях наблюдать звезду вблизи диска Солнца невозможно из-за более яркого света от Солнца. Вот почему ученые использовали явление полного сол­нечного затмения, когда диск Солнца закрывается диском Луны. Эйнш­тейн предлагал в минуты полного солнечного затмения сфотографировать околосолнечное пространство. Затем этот же участок небосклона сфо­тографировать еще раз, когда Солнце будет далеко от него. Сравнение обеих фотографий позволит обнаружить смещение положения звезд. Теория Эйнштейна дает для величины этого угла следу­ющее выражение:

где М - масса Солнца. R - радиус Солнца, G-гравитационная постоянная, С- скорость света.

Уже первые наблюдения данного эффекта (1919 г.) дали вполне удов­летворительный результат: при погрешности в 20% угол оказался рав­ным 1,75". Требовалось все же увеличить точность результата. Но ведь полное солнечное затмение нельзя повторить тогда, когда мы хотим. Не­смотря на то, что затмения бывают несколько раз в году, но не всегда там, где есть условия для наблюдения, да и погода (облака) не всегда благопри­ятствовала ученым. К тому же на точность наблюдений влияла дифракция света, что искажало изображение звезды. И все же удалось повысить точ­ность и уменьшить погрешность до 10%. Ситуация существенно измениась, когда были созданы радиоинтерферометры, благодаря использова­нию которых погрешность наблюдений уменьшилась до 0,01" (т. е. 0,5% от 1,75").

В 70-х гг. было измерено отклонение радиолучей от квазаров (звезд­ных образований, природа которых изучена недостаточно) ЗС273 и ЗС279.

Измерения дали значения 1",82±0",26 и 1",77 ±0",20, что хорошо соот­ветствует предсказаниям ОТО.

Итак, наблюдение отклонения световых (электромагнитных) волн от прямолинейности (в смысле эвклидовой геометрии) при прохождении вблизи массивных небесных тел однозначно свидетельствует в пользу физической достоверности ОТО.

Вращение перигелия Меркурия

А. Эйнштейн, разрабатывая ОТО, предсказал три эффекта, объяснение которых и количественные оценки их не совпадали с тем, что можно было получить на основе ньютоновской теории тяготения. Два из этих эффектов (красное смещение спектральных линий, испущенных массив­ными звездами, и отклонение световых лучей при прохождении вблизи поверхности Солнца и других небесных светил) рассмотрены выше. Рас­смотрим и третий предсказанный Эйнштейном гравитационный эффект - вращение перигелия планет солнечной системы. На основе наблюдений Тихо Браге и законов Кеплера Ньютон установил, что планеты вращают­ся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Теория Эйнштейна позво­лила обнаружить более тонкий эффект - вращение эллипсов орбит в их плоскости.

Не вдаваясь в строгие математические расчеты, покажем, как можно оценить ожидаемые величины поворотов орбит. Для этого применим так называемый метод размерностей. В этом методе на основании теорети­ческих соображений или данных эксперимента устанавливаются величи­ны, определяющие рассматриваемый процесс. Из этих величин составля­ется алгебраическое выражение, имеющее размерность искомой величи­ны, к которому последняя приравнивается. В нашей задаче в качестве определяющих величин выберем:

1) Так называемый гравитационный радиус Солнца, который для Сол­нца (и других небесных тел) вычисляется по формуле

2) Среднее расстояние планеты до Солнца

(для Меркурия оно равно 0,58)

3)Средняя угловая скорость обращения планеты вокру Солнца

По методу размерностей составим следующую величину (следует заметить, что метод размерностей требует интуиции исследователя, хорошего понимания физики, что, как правило, дается многократной тренировкой и решением подобных задач):

где определяет угловую скорость перемещения перигелия орбиты планеты.

Для Меркурия (для Земли ). Чтобы представить величину угла поворота перигелия планеты, напомним, что угловая секунда – это угол, под которым монета копейка «видна» с расстояния в 2 км!

Перемещение перигелия планеты Меркурий впервые наблюдал еще задолго до создания ОТО французский астроном Леверье (XIX в.), но только теория Эйнштейна дала непротиворечивое объяснение этому эф­фекту. Интересно, что это небесное явление ученым удалось "воспроизве­сти", наблюдая движение искусственных спутников Земли. Так как угол поворота перигелия пропорционален большой полуоси орбиты спутника, ее эксцентриситету и обратно пропорционален периоду обращения спут­ника, то, подбирая соответствующие значения этих величин, можно сде­лать = 1500" за 100 лет, а это более чем в 30 раз превышает угол поворота орбиты для Меркурия. Однако задача существенно усложняет­ся, так как на движение искусственного спутника оказывает влияние со­противление воздуха, не шаровидность и неоднородность Земли, притяже­ние к Луне и т. д. И все же наблюдение над тысячами искусственных спутников, запущенных в околоземное пространство за последние более чем 30 лет, однозначно подтверждают предсказания ОТО.

Расчет «радиуса» Вселенной

Среди различных моделей Вселенной, рассматриваемых в ОТО, есть так называемая модель стационарной Вселенной, впервые рассмотренной еще самим А. Эйнштейном. Мир оказывается конечным (но безгранич­ным!), его можно представить в виде шара (у поверхности шара нет границы!). Тогда возникает возможность определить "радиус" такой Вселенной. Для этого предположим, что полная энергия шарообразной Вселенной обусловлена исключительно гравитационным взаимодействием частиц, атомов, звезд, галактик, звездных образований. Согласно СТО полная энергия непод­вижного тела равна, где М - масса Вселенной, которую можно связать с ее "радиусом" так , -средняя плотность веще­ства, распределенного равномерно в объеме Мира. Гравитационная энер­гия шарообразного тела радиуса может быть рассчитана элементарно и равна:

Пренебрегая числовыми коэффициентами порядка единицы, приравняем оба выражения для энергии, получаем для "радиуса" Вселенной следующее выражение:

Принимая (что соответствует наблюдениям)

получаем для "радиуса" Мира следующее значение:

Эта величина определяет видимый "горизонт" Мира. За пределами этой сферы нет вещества и электромагнитного поля. Но тотчас же возни­кают новые проблемы: а как быть с пространством и временем, существуют ли они вне сферы? Все эти вопросы не решены, наука не знает однознач­ного ответа на подобные вопросы.

"Конечность" Вселенной в рассматриваемой модели снимает так на­зываемый "фотометрический парадокс": ночное небо не может быть яр­ким (как должно было бы быть, если Вселенная бесконечна и число звезд также бесконечно), так как число звезд (по рассматриваемой модели) конечно в силу конечности объема Мира, а из-за поглощения энергии электромагнитных волн в межзвездном пространстве освещенность неба становится малой.

Модель стационарной Вселенной - это самая первая модель Мира, как указывалось выше, предложенная самим создателем ОТО. Однако уже вначале 20-х гг. советский физик и математик дал другое решение уравнений Эйнштейна в ОТО и получил два варианта развития для так называемой нестационарной Вселенной. Через несколько лет аме­риканский ученый Хаббл подтвердил решения Фридмана, обнаружив рас­ширение Вселенной. По Фридману, в зависимости от величины средней плотности материи во Вселенной, наблюдаемое в настоящее время рас­ширение или будет продолжаться вечно, или после замедления и оста­новки галактических образований начнется процесс сжатия Мира. В рам­ках данной книги мы не можем далее обсуждать эту тему и отсылаем любознательных читателей к дополнительной литературе. Мы же коснулись этого вопроса потому, что и модель расши­ряющейся Вселенной позволяет устранить рассмотренный выше фото­метрический парадокс, опираясь при этом на другие основания. Благода­ря расширению Вселенной и удалению звезд от Земли должен наблюдать­ся эффект Доплера (в данном случае уменьшение частоты приходящего света) - так называемое красное смещение частоты света (не путать с подобным эффектом, связанным не с движением , а с его гравитационным полем). В результате эффекта Доплера энергия светово­го потока существенно ослабляется и вклад звезд, находящихся за преде­лами некоторого расстояния от Земли, практически равен нулю. В насто­ящее время общепризнано, что Вселенная не может быть стационарной, но мы воспользовались такой моделью в силу ее "простоты", а получен­ный "радиус" Мира не противоречит современным наблюдениям.

«Черные дыры»

Скажем сразу, что "черные дыры" во Вселенной экспериментально еще не обнаружены, хотя «претендентов» на это название имеется до нескольких десятков. Это связано с тем, что звезда, превратившаяся в "чер­ную дыру", не может быть обнаружена по своему излучению (отсюда и название "черная дыра"), так как, обладая гигантским полем тяготения, не дает ни элементарным частицам, ни электромагнитным волнам поки­нуть свою поверхность. Написано множество теоретических исследова­ний, посвященных "черным дырам", их физика может быть объяснена только на основе ОТО. Такие объекты могут возникнуть на заключитель­ной стадии эволюции звезды, когда (при определенной массе, не меньше 2-3 солнечных масс} световое давление излучения не может противодей­ствовать гравитационному сжатию и звезда испытывает "коллапс ", т. е. превра­щается в экзотический объект - "черную дыру". Подсчитаем минималь­ный радиус звезды, начиная с которого возможен ее "коллапс". Чтобы вещественное тело могло покинуть поверхность звезды, оно должно преодолеть ее притяжение. Это возможно, если собственная энергия тела (энергия покоя) превосходит потенциальную энергию гравитации, что тре­буется по закону сохранения полной энергии. Можно составить неравенство:

На основании принципа эквивалентности, слева и справа стоит одна и та же масса тела. Поэтому с точностью до постоянного множителя полу­чаем радиус звезды, которая может превратиться в "черную дыру":

Впервые эту величину рассчитал немецкий физик Шварцшильд еще в 1916 г, в честь него эту величину называют радиусом Шварцшильда, или гравитационным радиусом. Солнце могло бы превратиться в "черную дыру" при той же массе, имея радиус всего 3 км; для небесного тела, равного по массе Земле, этот радиус равен всего лишь 0,44 см.

Так как в формулу для , входит скорость света, то этот небесный объект имеет чисто релятивистскую природу. В частности, так как в ОТО утверждается физическое замедление хода часов в сильном гравитацион­ном поле, то этот эффект особенно должен быть заметен вблизи "черной дыры". Так, для наблюдателя, находящегося вне гравитационного поля "черной дыры", камень, свободно падающий на "черную дыру", достигнет шварцшильдовской сферы за бесконечно большой промежуток времени. В то время как часы "наблюдателя", падающего вместе с камнем, пока­жут конечное (собственное) время. Расчеты, основанные на положениях ОТО, приводят к тому, что гравитационное поле "черной дыры" не только способно ис­кривить траекторию светового луча, но и захватить световой поток и заставить его двигаться вокруг "черной дыры" (это возможно, если луч света пройдет на расстоянии около 1,5, но такое движение неустойчи­во).

Если сколлапсировавшаяся звезда обладала угловым моментом, т. е. вра­щалась, то и "черная дыра" должна сохранить этот вращательный мо­мент. Но тогда вокруг этой звезды и гравитационное поле должно иметь вихревой характер, что проявится в своеобразии свойств пространства-времени. Этот эффект может позволить обнаружить "черную дыру".

В последние годы обсуждается возможность "испарения" "черных дыр". Это связано с взаимодействием гравитационного поля такой звезды с фи­зическим вакуумом . В этом процессе уже должны сказаться квантовые эффекты, т. е. ОТО оказывается связанной с физикой микромира. Как видим, экзотический объект, предсказанный ОТО,-«черная дыра»- оказывается связующим звеном, казалось бы, далеких друг от друга объектов – микромира и Вселенной.

Литература для дополнительного чтения

1., Полнарев гравитация М.,Мир, 1972г.

2 Новиков черных дыр М.,Знание, 1986г.

3. Новиков взорвалась Вселенная М.,Б-ка «Квант», 1988г.

4. Розман в общую теорию относительности А. Эйнштейна Псков, изд. ПОИПКРО, 1998г.