Характеристики теплового излучения:
Свечение тел,т.е излучение телами электромагнитных волн может осуществляться за счет различных механизмов.
Тепловое излучение – это испускание электромагнитных волн за счет теплового движения молекул и атомов. При тепловом движении атомы сталкиваясь друг с другом, передают энергию при этом переходят в возбужденное состояние а при переходе в основное состояние излучают электромагнитную волну.
Тепловое излучение наблюдается при всех температурах отличных от 0 гр. Кельвина, при низких температурах излучаются длинные инфракрасные волны, а при высоких волны видимого диапазона и УФ волны. Все остальные виды излучения называются люминесценцией.
Поместим тело в оболочку с идеальной отражающей поверхностью и откачаем воздух из оболочки. (рис. 1). Излучения выходящие из тела отражаются от стен оболочки и снова поглощаются телом, т.е между телом и излучением происходит постоянный обмен энергией. В равновесном состоянии кол-во энергии излученным телом с единицей объема в ед. времени равно энергии поглощенной телом. Если равновесие нарушено то возникают процессы восстанавливающие его. Например: если тело начинает излучать энергии больше чем поглощать то внутренняя энергия и температура тела уменьшаются, а значит оно излучает меньше и уменьшение температуры тела происходит до тех пор пока кол-во излученной энергии не станет равно кол-ву полученной. Только тепловое излучение является равновесным.
Энергетическая светимость -
,
где
показывает то от чего зависит (
-
температура).
Энергетическая светимость это энергия
излучаемая с ед. площади в ед. времени.
.
Излучение может быть различно по
спектральному анализу, поэтому
- спектральная плотность энергетической
светимости:
это энергия излучаемая в интервале
частот
это энергия излучаемая в интервале длин
волн
с единицы площади в единицу времени.
Тогда
;
- используется в теоретических выводах,
а
- экспериментальная зависимость.
соответствует
,
поэтому
тогда
,
т.к
,
то
.
Знак “-” показывает что если частота
увеличивается то длина волны уменьшается.
Поэтому “-” отбрасываем при подстановке
.
- спектральная поглощательная способность
– это энергия поглощаемая телом. Она
показывает какая доля энергии падающего
излучения данной частоты (или длины
волны) поглощается поверхностью.
.
Абсолютно черное тело –
это тело
которое поглощает все падающее на него
излучение при любой частоте и температуре.
.
Серое тело это тело у которого спектральная
поглощательная способность меньше 1,
но является одинаковой для всех частот
.
Для всех остальных тел
,
зависит от частоты и температуры.
и
зависит
от: 1) материала тела 2) частоты или длины
волны 3) от состояния поверхности от
температуры.
Закон Кирхгофа.
Между спектральной плотностью
энергетической светимости (
)
и спектральной поглощательной способностью
(
)
для любого тела существует связь.
Поместим в оболочку несколько разных
тел при разных температурах, откачали
воздух и оболочку поддерживаем при
постоянной температуре Т. Обмен энергии
между телами и телами и оболочкой будут
происходить за счет излучения. Через
некоторое время система перейдет в
равновесное состояние, т.е температура
всех тел равняется температуре оболочки,
но тела разные поэтому если одно тело
излучает в ед. времени больше энергии
то и поглощать оно должно больше чем
другое для того чтобы температура тел
была одинакова, значит
- относится к разным телам.
Закон Кирхгофа: отношение спектральной
плотности энергетической светимости
и спектральной поглощательной способности
для всех тел является одной и той же
функцией частоты и температуры - это
функция Кирхгофа. Физический смысл
функции: для абсолютно черного тела
поэтому
из закона Кирхгофа следует что
для
абсолютно черного тела, т.е функция
Кирхгофа это спектральная плотность
энергетической светимости абсолютно
черного тела. Энергетическая светимость
черного тела обозначается:
,
поэтому
поскольку ф-ция Кирхгофа является
универсальной ф-цией для всех тел то
основной задачей является тепловое
излучение, экспериментальное определение
вида ф-ции Кирхгофа и определение
теоретических моделей, описывающих
поведение этих ф-ции.
В природе абсолютно черных тел нет,
близкие к ним сажа, бархат и т.д. Можно
получить модель черного тела
экспериментально, для этого берем
оболочку с малым отверстием, свет
попадает в нее и многократно отражается
и поглощается при каждом отражении от
стен, поэтому свет либо не выходит, либо
очень малое кол-во, Т.е такое устройство
ведет себя в отношении поглощения как
абсолютно черное тело а по закону
Кирхгофа оно и излучает как черное тело,
т.е экспериментально нагревая или
поддерживая оболочку при некоторой
температуре, мы можем наблюдать излучение,
выходящее из оболочки. С помощью
дифракционной решетки разлагаем
излучение в спектр и, определяя
интенсивность, и излучение в каждой
области спектра была определена
экспериментально зависимость
(гр. 1). Особенности: 1) Спектр непрерывен,
т.е наблюдаются все возможные длины
волн. 2) Кривая проходит через максимум,
т.е энергия распределяется неравномерно.
3) С повышением температуры максимум
смещается в сторону более коротких длин
волн.
Поясним примерами модель черного тела, т.е если снаружи осветить оболочку то отверстие кажется черным на фоне светящихся стен. Даже если стены сделать черными то отверстие всеравно темнее. Пусть поверхность белого фарфора подогреем и на фоне слабо светящихся стенок будет явно выделяться отверстие.
Закон Стефана-Больцмана
Проведя ряд экспериментов с различными
телами определим что энергетическая
светимость любого тела пропорциональна
.
Больцман получил что энергетическая
светимость черного тела пропорциональна
и записал.
-
ф-ла Стефана-Больцмана.
постоянная
Больцмана.
.
Закон Вина.
В1893 Вин получил -
-
закон Вина.
;
;
;
,
то
.
Подставляем:
;
;
.
,
тогда
,
-
ф-ция от
,
т.е
-
решение этого уравнения относительно
будет
некоторое число при
;
из
эксперимента определили что
-
постоянная Вина.
Закон смещения Вина.
формулировка:
это длина волны соответствующая максимуму
спектральной плотности энергетической
светимости абсолютно черного тела
обратно пропорциональна температуре.
Формула Релея -Джинса.
Определения: Поток энергии – это энергия
переносимая через площадку в единицу
времени.
.
Плотность потока энергии – это энергия
переносимая через единичную площадку
в единицу времени
.
Объемная плотность энергии это энергия
единицы объема
.
Если волна распространяется в одном
направлении то через площадку
за
время
переносится
энергия, заключенная в объеме цилиндра
равная
(рис.
2) тогда
.
Рассмотрим тепловое излучение в полости
с абсолютно черными стенками, тогда 1)
всё излучение попадающее на стенки
поглощается. 2) Через каждую точку внутри
полости в любом направлении переносится
плотность потока энергии
(рис. 3). Релей и Джинс рассмотрели тепловое
излучение в полости как суперпозиции
стоячих волн. Можно показать что
бесконечно малая
излучает внутрь полости в полусферу
поток излучения
.
.
Энергетическая светимость черного тела
- это энергия излученная с единицы
площади в единицу времени, значит поток
излучения энергии равен:
,
;
Приравняли
;
-
это объемная плотность энергии
приходящаяся на интервал частот
.
Релей и Джинс использовали термодинамический
закон о равномерном распределений
энергии по степеням свободы. Стоячая
волна обладает степенями свободы и на
каждую колеблющуюся степень свободы
приходится энергия
.
Число стоячих волн равно числу стоячих
волн в полости. Можно показать что число
стоячих волн приходящихся на единицу
объема и на интервал частот
равно
здесь
учтено что в одном направлении может
распространяться 2 волны со
взаимно-перпендикулярной ориентацией
.
Если энергию одной волны умножить на
число стоячих волн единицы объема
полости приходящегося на интервал
частот
получится
объемная плотность энергии приходящаяся
на интервал частоты
.
.
Таким образом
отсюда найдем
для
этого
и
.
Подставим
.
Подставим
в
,
тогда
- формула Релея-Джинса. Формула хорошо
описывает экспериментальные данные в
области длинных волн.
(гр. 2)
;
а
эксперимент показывает что
.
По формуле Релея-Джинса тело только
излучает и тепловое взаимодействие
между телом и излучением не наступает.
Формула Планка.
Планк так же как Релей-Джинс рассмотрел
тепловое излучение в полости как
суперпозицию стоячих волн. Так же
,
,
,
но Планк постулировал что излучение
происходит не непрерывно, а определяется
порциями – квантами. Энергия каждого
кванта принимает значения
,т.е
или энергия гармонического осциллятора
принимает дискретные значения. Под
гармоническим осциллятором понимают
не только частицу совершающую гармоническое
колебание, но и стоячую волну.
Для определения
среднего значения энергии учитывают
что энергия распределена в зависимости
от частоты по закону Больцмана, т.е
вероятность того что волна с частотой
принимает
значение энергии
равна
,
,
тогда
.
;
,
.
-
Формула Планка.
;
;
.
Формула полностью описывает
экспериментальную зависимость
и
из нее следуют все законы теплового
излучения.
Следствия из формулы Планка.
;
1)
Низкие
частоты и высокие температуры
;
;
-
Релей-Джинс.
2)
Высокие
частоты и низкие температуры
;
а это почти что
-
Закон Вина. 3)
-
закон Стефана-Больцмана.
4)
;
;
;
-
это трансцендентное уравнение решая
его численными методами получаем корень
уравнения
;
- Закон смещения Вина.
Таким образом формула полностью описывает
зависимость
и
из не следуют се законы теплового
излучения.
Применение законов теплового излучения.
Применяется для определения температур раскаленных и самосветящихся тел. Для этого используют пирометры. Пирометрия это метод использующий зависимость энергетической зависимости тел от темпа свечения раскаленных тел и используются для источников света. Для вольфрама доля энергии приходящаяся на видимую часть спектра значительно больше чем для черного тела при той же температуре.
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ОПТИКА
Тепловое излучение
Излучение телами электромагнитных волн может осуществляться за счет различных видов энергии. Самым распространенным является тепловое излучение , т. е. испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела. Все остальные виды излучения, объединяются под общим названием «люминесценция». Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако при невысоких температурах излучаются практически лишь электромагнитные волны инфракрасного диапазона.
Окружим излучающее тело оболочкой, внутренняя поверхность которого отражает все падающее на нее излучение. Воздух из оболочки удален. Отраженное оболочкой излучение частично или полностью поглощается телом. Следовательно, будет происходить непрерывный обмен энергией между телом и заполняющим оболочку излучением.
Равновесное состояние системы «тело – излучение» соответствует условию, когда распределение энергии между телом и излучением остается неизменным для каждой длины волны. Такое излучение принято называть равновесным излучением . Экспериментальные исследования показывают, что единственным видом излучения, которое может находиться в равновесии с излучающими телами, является тепловое излучение. Все остальные виды излучения оказываются неравновесными. Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающими телами обусловлена тем, что его интенсивность возрастает при повышении температуры.
Предположим, что равновесие между телом и излучением нарушено и тело излучает энергию большую, чем поглощает. Тогда внутренняя энергия тела будет убывать, что приведет к уменьшению температуры. Это, в свою очередь, приведет к уменьшению излучаемой телом энергии. Если равновесие нарушится в другую сторону, т. е. излучаемой энергии окажется меньше, чем поглощаемой, температура тела будет возрастать до тех пор, пока снова не установится равновесие.
Из всех видов излучения равновесным может быть только тепловое излучение . К равновесным состояниям и процессам применимы законы термодинамики. Поэтому тепловое излучение подчиняется общим закономерностям, вытекающим из принципов термодинамики. К рассмотрению этих закономерностей мы и перейдем.
Формула Планка
В 1900 г. немецкому физику Максу Планку удалось найти вид функции , в точности соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно, допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), пропорциональных частоте излучения:
где n – частота излучения; h
– коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Планка, h
= 6.625 × 10-34 Дж × с; = h
/2p =
= 1.05 × 10–34 Дж × с = 6.59 × 10-14 эВ × с; w = 2pn – круговая частота. При этом, если излучение испускается квантами , то его энергия e n
должна быть кратной этой величине:
Плотность распределения радиационных осцилляторов была подсчитана Планком классически. Согласно распределению Больцмана, число частиц N n , энергия каждой из которых равна e n , определяется формулой
, n = 1, 2, 3… (4.2)
где А – нормировочный множитель; k – постоянная Больцмана. Используя определение среднего значения дискретных величин, получаем выражение для средней энергии частиц, которое равно отношению полной энергии частиц к полному числу частиц:
где число частиц, обладающих энергией . С учетом (4.1) и (4.2) выражение для среднего значения энергии частиц имеет вид
.
Последующие преобразования приводят к соотношению
.
Таким образом, функция Кирхгофа, с учетом (3.4), имеет вид
. (4.3)
Формула (4.3) называется формулой Планка. Эта формула согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот от 0 до . В области малых частот, согласно правилам приближенных вычислений, при (): 
» и выражение (4.3) преобразуется в формулу Рэлея – Джинса.
Опыт Боте. Фотоны
Чтобы объяснить распределение энергии в спектре равновесного теплового излучения, достаточно, как показал Планк, допустить, что свет испускается квантами. Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями. Эйнштейн выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц, названных первоначально световыми квантами. Впоследствии эти частицы получили название фотонов (1926 г.). Гипотезу Эйнштейна непосредственно подтвердил опыт Боте (рис. 6.1).
Тонкая металлическая фольга (Ф) помещалась между двумя газоразрядными счетчиками (Сч). Фольга освещалась пучком рентгеновских лучей с небольшой интенсивностью, под действием которых она сама становилась источником рентгеновских лучей.
Вследствие малой интенсивности первичного пучка количество квантов, испускаемых фольгой, было невелико. При попадании в счетчик рентгеновских лучей запускался особый механизм (М), делавший отметку на движущейся ленте (Л). Если бы излучаемая энергия распространялась равномерно во все стороны, как это следует из волновых представлений, оба счетчика должны были бы срабатывать одновременно и отметки на ленте приходились бы одна против другой.
В действительности же наблюдалось совершенно беспорядочное расположение отметок. Это можно объяснить лишь тем, что в отдельных актах испускания возникают световые частицы, летящие то в одном, то в другом направлении. Так было доказано существование особых световых частиц – фотонов.
Энергия фотона определяется его частотой
. (6.1)
Электромагнитная волна, как известно, обладает импульсом. Соответственно, и фотон должен обладать импульсом (p ). Из соотношения (6.1) и общих принципов относительности вытекает, что
. (6.2)
Такое соотношение между импульсом и энергией возможно только для частиц с нулевой массой покоя, движущихся со скоростью света. Таким образом: 1) масса покоя фотона равна нулю; 2) фотон движется со скоростью света. Сказанное означает, что фотон представляет собой частицу особого рода, отличную от таких частиц, как электрон, протон и т. п., которые могут существовать, двигаясь со скоростями, меньшими с , и даже покоясь. Выразив в (6.2) частоту w через длину волны l, получим:
,
где – модуль волнового вектора k . Фотон летит в направлении распространения электромагнитной волны. Поэтому направления импульса р и волнового вектора k совпадают:
Пусть на полностью поглощающую свет поверхность падает поток фотонов, летящих по нормали к поверхности. Если концентрация фотонов равна N , то на единицу поверхности падает в единицу времени Nc фотонов. При поглощении каждый фотон сообщает стенке импульс р = Е /с . Импульс, сообщаемый в единицу времени единице поверхности, т. е. давление Р света на стенку
.
Произведение NЕ равно энергии фотонов, заключенных в единице объема, т. е. плотности электромагнитной энергии w. Таким образом, давление, оказываемое светом на поглощающую поверхность, равно объемной плотности электромагнитной энергии P = w .
При отражении от зеркальной поверхности фотон сообщает ей импульс 2р . Поэтому для абсолютно отражающей поверхности P = 2w .
Эффект Комптона
Импульс фотона слишком мал и не поддается прямому измерению. Однако при столкновении фотона со свободным электроном величину передаваемого импульса уже можно измерить. Процесс рассеяния фотона на свободном электроне называется эффектом Комптона . Выведем соотношение, связывающее длину волны рассеянного фотона с углом рассеяния и длиной волны фотона до соударения. Пусть фотон с импульсом р и энергией Е = pc сталкивается с неподвижным электроном, энергия которого . После соударения импульс фотона равен и направлен под углом Q, как показано на рис. 8.1.
Импульс электрона отдачи будет равен , и полная релятивистская энергия . Здесь мы используем релятивистскую механику, поскольку скорость электрона может достигать значений, близких к скорости света.
Согласно закону сохранения энергии 
или 
, преобразуется к виду
. (8.1)
Запишем закон сохранения импульса:
Возведем (8.2) в квадрат: 
и вычтем это выражение из (8.1):
. (8.3)
Учитывая, что релятивистская энергия 
, можно показать, что правая часть выражения (8.2) равна . Тогда после преобразования импульс фотона равен
.
Переходя к длинам волн p = = h /l, Dl = l - l¢, получаем:
,
или окончательно:
Величина называется комптоновской длиной волны. Для электрона комптоновская длина волны lc = 0.00243 нм.
В своем опыте Комптон использовал рентгеновское излучение с известной длиной волны и обнаружил, что у рассеянных фотонов длина волны увеличивается. На рис. 8.1 приведены результаты экспериментального исследования рассеяния монохроматического рентгеновского излучения на графите. Первая кривая (Q = 0°) характеризует первичное излучение. Остальные кривые относятся к разным углам рассеяния Q, значения которых указаны на рисунке. По оси ординат отложена интенсивность излучения, по оси абсцисс длина волны. На всех графиках присутствует несмещенный компонент излучения (левый пик). Его наличие объясняется рассеянием первичного излучения на связанных электронах атома.
Эффект Комптона и внешний фотоэффект подтвердили гипотезу о квантовой природе света, т. е. свет действительно ведет себя так, как если бы он состоял из частиц, энергия которых h n и импульс h /l. Вместе с тем, явления интерференции и дифракции света могут быть объяснены с позиции волновой природы. Оба эти подхода в настоящий момент представляются взаимодополняющими друг друга.
Принцип неопределенности
В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат и импульса. Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех переменных при измерениях получаются определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса . Неопределенности значений х и удовлетворяют соотношению
. (11.1)
Из (11.1) следует, что, чем меньше неопределенность одной из переменных (х или ), тем больше неопределенность другой. Возможно такое состояние, когда одна из переменных имеет точное значение, а другая переменная при этом оказывается совершенно неопределенной.
Соотношение, аналогичное (11.1), имеет место для у и , z и , а также для ряда других пар величин (такие пары величин называются канонически сопряженными). Обозначив канонически сопряженные величины буквами А и В , можно написать
. (11.2)
Соотношение (11.2) называется принципом неопределенности для величин А и В . Это соотношение сформулировал В. Гейзенберг в 1927 г. Утверждение о том, что произведение неопределенностей значений двух канонически сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка, называется принципом неопределенности.
Энергия и время также являются канонически сопряженными величинами
Это соотношение означает, что определение энергии с точностью DЕ должно занять интервал времени, равный по меньшей мере .
Соотношение неопределенности можно проиллюстрировать следующим примером. Попытаемся определить значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной Dх , расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы.
До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса имеет точное значение равное нулю (щель по условию перпендикулярна к направлению импульса), так что , зато координата х частицы является совершенно неопределенной (рис. 11.1).
В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х
появляется неопределенность Dх,
но это достигается ценой утраты определенности значения . Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2j, где j – угол, соответствующий первому дифракционному максимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность
.
Краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающемуся от щели шириной Dх , соответствует угол j, для которого
Следовательно, 
, и получаем
.
Движение по траектории характеризуется вполне определенными значениями координат и скорости в каждый момент времени. Подставив в (11.1) вместо произведение , получим соотношение
.
Очевидно, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью применимо понятие траектории. Уже для макрочастицы размером 1 мкм неопределенности значений х и оказываются за пределами точности измерения этих величин, так что ее движение будет практически неотличимо от движения по траектории.
Принцип неопределенности является одним из фундаментальных положений квантовой механики.
Уравнение Шредингера
В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества австрийский физик Э. Шредингер получил в 1926 г. уравнение, названное впоследствии его именем. В квантовой механике уравнение Шредингера играет такую же фундаментальную роль, как законы Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла в классической теории электромагнетизма. Оно позволяет найти вид волновой функции частиц, движущихся в различных силовых полях. Вид волновой функции или Y-функции получается из решения уравнения, которое выглядит следующим образом
Здесь m – масса частицы; i – мнимая единица; D – оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых производных по координатам
Буквой U в уравнении (12.1) обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу.
Уравнение Шредингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других уравнений. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. постоянно во времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера состоит из двух множителей, один из которых зависит только от координат, другой – только от времени
Здесь Е – полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной; – координатная часть волновой функции. Чтобы убедиться в справедливости (12.2), подставим его в (12.1):
В результате получим
Уравнение (12.3) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний .В дальнейшем мы будем иметь дело только с этим уравнением и для краткости будем называть его просто уравнением Шредингера. Уравнение (12.3) часто записывают в виде
В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Под оператором подразумевается правило, посредством которого одной функции, обозначим ее сопоставляется другая функция, обозначим ее f . Символически это записывается следующим образом
здесь – символическое обозначение оператора (можно было взять любую другую букву со «шляпкой» над ней, например и т. д.). В формуле (12.1) роль играет D, роль – функция , а роль f – правая часть формулы. Например, символ D означает двукратное дифференцирование по трем координатам, х , у , z , с последующим суммированием полученных выражений. Оператор может, в частности, представлять собой умножение исходной функции на некоторую функцию U . Тогда , следовательно, . Если рассматривать функцию U в уравнении (12.3) как оператор, действие которого на Y-функцию сводится к умножению на U , то уравнение (12.3) можно записать так:
В этом уравнении символом обозначен оператор, равный сумме операторов и U :
.
Оператор называют гамильтонианом (или оператором Гамильтона). Гамильтониан является оператором энергии Е . В квантовой механике другим физическим величинам также сопоставляются операторы. Соответственно, рассматриваются операторы координат, импульса, момента импульса и т. д. Для каждой физической величины составляется уравнение, аналогичное (12.4). Оно имеет вид
где – оператор, сопоставляемый g . Так, например, оператор импульса определяется соотношениями
; 
; 
,
или в векторном виде , где Ñ – градиент.
В разд. 10 мы уже обсуждали физический смысл Y-функции: квадрат модуля Y-функции (волновой функции) определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV :
, (12.5)
Поскольку квадрат модуля волновой функции равен произведению волновой функции на комплексно сопряженную величину , то
.
Тогда вероятность обнаружения частицы в объеме V
.
Для одномерного случая
.
Интеграл от выражения (12.5), взятый по всему пространству от до , равняется единице:
Действительно, этот интеграл дает вероятность того, что частица находится в одной из точек пространства, т. е. вероятность достоверного события, которая равна 1.
В квантовой механике принимается, что волновая функция допускает умножение на отличное от нуля произвольное комплексное число С , причем и С Y описывают одно и то же состояние частицы. Это позволяет выбрать волновую функцию так, чтобы она удовлетворяла условию
Условие (12.6) называется условием нормировки. Функции, удовлетворяющие этому условию, называются нормированными. В дальнейшем мы всегда будем полагать, что рассматриваемые нами Y-функции являются нормированными. В случае стационарного силового поля справедливо соотношение
т. е. плотность вероятности волновой функции равна плотности вероятности координатной части волновой функции и от времени не зависит.
Свойства Y-функции: она должна быть однозначной, непрерывной и конечной (за исключением, быть может, особых точек) и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность перечисленных требований носит название стандартных условий.
В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия частицы Е . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида имеют решения, удовлетворяющие стандартным условиям, не при любых, а лишь при некоторых определенных значениях параметра (т. е. энергии Е ). Эти значения называются собственными значениями . Решения, соответствующие собственным значениям, называются собственными функциями . Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет собой весьма трудную математическую задачу. Рассмотрим некоторые наиболее простые частные случаи.
Частица в потенциальной яме
Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные волновые функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис. 13.1, а ). Предположим, что частица
может двигаться только вдоль оси х . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х = l . Потенциальная энергия U = 0 внутри ямы (при 0 £ х £ l ) и вне ямы (при х < 0 и х > l ).
Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера. Поскольку Y-функция зависит только от координаты х , то уравнение имеет вид
За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. Следовательно, и функция y за пределами ямы равна нулю. Из условия непрерывности следует, что y должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е.
. (13.2)
Этому условию должны удовлетворять решения уравнения (13.1).
В области II (0 £ х £ l ), где U = 0 уравнение (13.1) имеет вид
Используя обозначение 
, придем к известному из теории колебаний волновому уравнению
.
Решение такого уравнения имеет вид
Условию (14.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных k
и a. Из равенства получаем 
Þ a = 0.
(n = 1, 2, 3, ...), (13.4)
n = 0 исключено, поскольку при этом º 0, т. е. вероятность обнаружения частицы в яме равна нулю.
Из (13.4) получаем 
(n
= 1, 2, 3, ...), следовательно,
(n
= 1, 2, 3, ...).
Таким образом получаем, что энергия частицы в потенциальной яме может принимать только дискретные значения. На рис.13.1, б изображена схема энергетических уровней частицы в потенциальной яме. На этом примере реализуется общее правило квантовой механики: если частица локализована в ограниченной области пространства, то спектр значений энергии частицы дискретен, при отсутствии локализации спектр энергии непрерывен .
Подставим значения k из условия (13.4) в (13.3) и получим
Для нахождения константы а воспользуемся условием нормировки, которое в данном случае имеет вид
.
На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка. Таким образом, получаем . Окончательно собственные волновые функции имеют вид
(n = 1, 2, 3, ...).
Графики собственных значений функций при различных n изображены на рис. 13.2. На этом же рисунке показана плотность вероятности yy * обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы.
Графики показывают, что в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы, несовместимо с представлением о траектории. Отметим, что, согласно классическим представлениям, все положения частицы в яме равновероятны.
Движение свободной частицы
Рассмотрим движение свободной частицы. Полная энергия Е движущейся частицы равна кинетической энергии (потенциальная энергия U = 0). Уравнение Шредингера для стационарного состояния (12.3) имеет в этом случае решение
задает поведение свободной частицы. Таким образом, свободная частица в квантовой механике описывается плоской монохроматической волной де‑Бройля с волновым числом
.
Вероятность обнаружить частицу в любой точке пространства найдем как
,
т. е. вероятность обнаружить частицу вдоль оси х везде постоянна .
Таким образом, если импульс частицы имеет определенное значение, то она, в соответствии с принципом неопределенности, с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Иначе говоря, если импульс частицы точно известен, мы ничего не знаем о ее местонахождении.
В процессе измерения координаты частица локализуется измерительным прибором, поэтому область определения волновой функции (17.1) для свободной частицы ограничивается отрезком х. Плоскую волну уже нельзя считать монохроматической, имеющей одно определенное значение длины волны (импульса).
Гармонический осциллятор
В заключение рассмотрим задачу о колебаниях квантового гармонического осциллятора . Таким осциллятором являются частицы, совершающие малые колебания около положения равновесия.
На рис. 18.1, а изображен классический гармонический осциллятор в виде шарика массой m , подвешенного на пружине с коэффициентом жесткости k . Сила, действующая на шарик и ответственная за его колебания, связана с координатой х формулой . Потенциальная энергия шарика есть
.
Если шарик вывести из положения равновесия, то он совершает колебания с частотой . Зависимость потенциальной энергии от координаты х показана на рис. 18.1, б .
Уравнение Шредингера для гармонического осциллятора имеет вид
Решение этого уравнения приводит к квантованию энергии осциллятора. Собственные значения энергии осциллятора определяются выражением
Как и в случае потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, минимальная энергия осциллятора отлична от нуля. Наименьшее возможное значение энергии при n
= 0 называют энергией нулевых колебаний
. Для классического гармонического осциллятора в точке с координатой x
= 0 энергия равна нулю. Существование энергии нулевых колебаний подтверждается экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при низких температурах. Спектр энергий частицы оказывается эквидистантным
, т. е. расстояние между уровнями энергии равно энергии колебаний классического осциллятора есть точка поворота частицы при колебаниях, т. е. 
.
График «классической» плотности вероятности изображен на рис. 18.3 пунктирной кривой. Видно, что, как и в случае потенциальной ямы, поведение квантового осциллятора существенным образом отличается от поведения классического.
Вероятность для классического осциллятора всегда максимальна вблизи точек поворота, а для квантового осциллятора вероятность максимальна в пучностях собственных Y-функций. К тому же квантовая вероятность оказывается отличной от нуля и за точками поворота, ограничивающими движение классического осциллятора.
На примере квантового осциллятора опять прослеживается упоминавшийся ранее принцип соответствия. На рис. 18.3 изображены графики для классической и квантовой плотностей вероятности при большом квантовом числе n . Хорошо видно, что усреднение квантовой кривой приводит к классическому результату.
Содержание
ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. КВАНТОВАЯ ОПТИКА
1. Тепловое излучение..................................................................................... 3
2. Закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело............................................. 4
3. Закон Стефана – Больцмана и закон Вина. Формула Рэлея – Джинса. 6
4. Формула Планка..................................................................................... 8
5. Явление внешнего фотоэффекта............................................................ 10
6. Опыт Боте. Фотоны............................................................................... 12
7. Излучение Вавилова – Черенкова........................................................ 14
8. Эффект Комптона.................................................................................. 17
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
9. Гипотеза де-Бройля. Опыт Дэвиссона и Джермера............................. 19
10. Вероятностный характер волн де-Бройля. Волновая функция......... 21
11. Принцип неопределенности................................................................ 24
12. Уравнение Шредингера....................................................................... 26
Свет - электромагнитное излучение, обладающее волновыми и квантовыми свойствами.
Квант – частица (корпускула).
Волновые свойства.
Свет - поперечная электромагнитная волна ().
,
E 0 ,H 0
- амплитудные значения,
-
круг. Цикл. частота,
-
частота. Рис.1.
V – скор. Распр. волны в данной среде. V=C/n, где C- скорость света (в вакууме C=3*10 8 м/с), n- показатель преломления среды (зависит от свойств среды).
,
-
диэлектрическая проницаемость,
-
магнитная проницаемость.
-
фаза волны.
Ощущению
свет обязаны электромагнитной составляю
волны (
).
-
длина волны, равна пути, пройденному
волной за период (
;
).
Диапазон
видимой части света:
=0,4
0,75
мкм.
;
4000 - короткий (фиолетовый); 7500 – длинный (красный).
Квантовые свойства света.
С точки зрения квантовой теории свет испускается, распространяется и поглощается отдельными порциями – квантами.
Характеристики фотона.
1.
Масса.
;
m 0 -
масса покоя.
Если
m 0 
0
(фотона) , то т.к. V=C,
m=
–
чушь, следовательно m 0 =0
– движущийся фотон. Следовательно, свет
остановить нельзя.
Поэтому масса фотона должна рассчитываться из релятивистской формулы для энергии . E=mC 2 , m=E/C 2 .
2. Энергия фотона. E=mC 2 .
В
1900 Макс Планк – немецкий физик выводит
для энергии фотона следующую формулу:
.
h=6,62*10 -34 Дж*с - постоянная Планка.
3. Импульс.
p=mV=mC=mC 2 /C=E/C=h/
;
p-характеристика
частицы,
-характеристика
волны.
Волновая оптика. Интерференция- перераспред. Света в пространстве.
Наложение световых волн, в результате которого в одних местах пространства происходит усиление интенсивности света, а в других – ослабление. То есть происходит перераспределение интенсивности света в пространстве.
Условием
наблюдения интерференции является
когерентность световых волн (волны,
которые удовлетворяют условию:
-монохроматические
волны;
– фаза волны постоянна в данной точке
пространства с течением времени).
РАСЧЕТ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ КАРТИН.
Источники-
когерентные волны.
;
* - точ.
источник.
Темная
и светлая полоса.
1.
Если l~d,
то
картина неразличима, поэтому, чтобы
что-то увидеть, надо 2.
l<
.
В точке М происходит наложение двух когерентных волн.
,
d1,d2 -метры,
пройденные волнами;
-разность
фаз.
Темнее/светлее-
интенсивность.
(пропорциональна).
Если
волны не когерентные:
(среднее
значение за период).
(суперпозиция,
наложение).
Если
– когерентные:
;
;
-имеет
место интерференция света (перераспределение
света).
;
если
(оптическая
разность хода волн);n-показатель
преломления; (d2-d1)-геометрическая
разность хода волн;
-длина
волны (путь, который волна проходит за
период).
-основная
формула интерференции.
В
зависимости от пути
,
они приходят с различным
.
От последнего зависитIрез.
1.
I
рез.
max
.
Это
условие максимума
интерференции света, потому как при
этом волны приходят в одинаковой фазе
и поэтому усиливают друг друга.
n-коэффициент
кратности;
-означает,
что интерференционная картина симметрична
относительно центра экрана.
Если фазы совпадают, то амплитуды не зависят от фаз.
-
Так же
условие максимума
.
2
.
I
рез.
min
.
;
k=0,1,2…;
.
-
Это условие
минимума
,
т.к. при этом волны приходят в противофазе
и гасят друг друга.
Способы получения когерентных волн.
Принцип получения.
Для получения когерентных волн необходимо взять один источник и идущую от него световую волну разделить на две части, которые затем заставить встретиться. Эти волны будут когерентны, т.к. будут принадлежать к одному и тому же моменту излучения, поэтому. .
Явления, используемые для разделения световой волны надвое.
1. Явление отражения света (бизеркала Френеля). Рис.4.
2 . Явление преломления света (бипризма Френеля). Рис.5.
3 . Явление дифракции света .
Это
есть отклонение света от прямолинейного
распространения при прохождении света
через малые отверстия или вблизи
непрозрачных препятствий, если их
размеры (обоих)
d соизмеримы
с длиной волны
(d~
).
То: Рис.6.
– установка
Юнга.
Во всех перечисленных случаях реальный источник света был точечным. В реальной жизни свет может быть протяженным – участок неба.
4.
,
n-показатель
преломления пленки.
Возможны два случая:
H=const,
тогда
.
В этом случае интерференционная картина
называется полоса равного наклона.
H
const.
Падает параллельный пучок лучей.
.
-полосы
равной толщины.
Установка «кольца Ньютона».
Надо рассматривать интерференционную картину в отраженном и преломленном свете.
Определение 1
Квантовая оптика представляет собой раздел оптики, главной задачей которого является изучение явлений, в которых могут проявляться квантовые свойства света.
Такими явлениями могут быть:
- фотоэффект;
- тепловое излучение;
- эффект Рамана;
- эффект Комптона;
- вынужденное излучение и др.
Основы квантовой оптики
В отличие от классической оптики, квантовая оптика представляет более общую теорию. Главная проблема, которую она затрагивает, - описать взаимодействие света с веществом, учитывая при этом квантовую природу объектов. Также квантовая оптика занимается описанием процесса распространения света в особых (специфических условиях).
Более точное решение таких задач требует описания как вещества (включая и среду распространения), так и света исключительно с позиции существования квантов. В то же время, зачастую ученые при описании упрощают задачу, когда один из компонентов системы (например, вещество) описывают в формате классического объекта.
Часто при расчетах, например, квантуется только состояние активной среды, а резонатор при этом считается классическим. Однако, в случае, если его длина окажется на порядок выше длины волны, считаться классическим он уже не может. Поведение возбужденного атома, который поместили в такой резонатор, будет более сложным.
Задачи квантовой оптики направлены на исследование корпускулярных свойств света (то есть его фотонов и частиц-корпускул). Согласно предложенной в 1901 г. гипотезе М. Планка о свойствах света, поглощается и излучается он только отдельными порциями (фотонами, квантами). Квант представляет материальную частицу с некоторой массой $m_ф$, энергией $E$ и импульсом $p_ф$. Тогда записывается формула:
Где $h$ представляет постоянную Планка.
$v=\frac{c}{\lambda}$
Где $\lambda$- это частота света
$с$ будет скоростью света в вакууме.
К главным оптическим явлениям, объясняемым за счет квантовой теории, относятся давление света и фотоэффект.
Фотоэффект и давление света в квантовой оптике
Определение 2
Фотоэффект это такое явление взаимодействий фотонов света и вещества, при котором энергия излучения будет передана электронам вещества. Существуют такие разновидности фотоэффекта, как внутренний, внешний и вентильный.
Внешний фотоэффект характеризуется выходом электронов из металла в момент его облучения светом (при определенной частоте). Квантовая теория фотоэффекта утверждает, что каждый акт поглощения электроном фотона осуществляется независимо от других.
Повышение интенсивности излучения сопровождается увеличением количества падающих и поглощенных фотонов. Когда энергия поглощается веществом частоты $ν$, каждый из электронов оказывается способным к поглощению только одного фотона, забирая при этом у него энергию.
Эйнштейн, применив закон сохранения энергии, предложил свое уравнение для внешнего фотоэффекта (выражение закона сохранения энергии):
$hv=A_{вых}+\frac{mv^2}{2}$
$A_{вых}$ - это работа выхода электрона из металла.
Кинетическая энергия вылетевшего электрона получается по формуле:
$E_k=\frac{mv^2}{2}$
Из уравнения Эйнштейна получается, что если $Е_к=0$, то возможно получить ту самую минимальную частоту (красную границу фотоэффекта), при которой он будет возможен:
$v_0 = \frac {A_{вых}} h$
Давление света объясняется тем фактом, что, как частицы, фотоны обладают определенным импульсом, который передают телу в процессе поглощения и отражения:
Такое явление, как давление света, объясняет также и волновая теория, по которой (если ссылаться на гипотезу де Бройля), любой частице присущи еще и волновыми свойствами. Связь импульса $Р$ и длины волны $\lambda$ показывает уравнение:
$P=\frac{h}{\lambda}$
Эффект Комптона
Замечание 1
Эффект Комптона характеризуется некогерентным рассеянием фотонов на свободных электронах. Само понятие некогерентность означает не интерферированность фотонов до рассеяния и после него. При эффекте изменяется частота фотонов, при этом после рассеяния электроны получают часть энергии.
Эффект Комптона представляет экспериментальное доказательство проявления корпускулярных свойств света в качестве потока частиц (фотонов). Явления эффекта Комптона и фотоэффекта выступают важным доказательством квантовых представлений о свете. В то же время, такие явления, как дифракция, интерференция, поляризация света служат подтверждением волновой природы света.
Эффект Комптона представляет одно из доказательств корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. Закон сохранения энергии записывается следующим образом:
$m_ec^2+\frac{hc}{\lambda}=\frac{hc}{\lambda}+\frac{m_ec^2}{scrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$
Обратный эффект Комптона представляет увеличение частоты света при рассеянии на релятивистских электронах с более высокой, чем фотонная, энергией. При таком взаимодействии энергия передается фотону от электрона. Энергию рассеянных фотонов определяет выражение: выражением:
$e_1=\frac{4}{3}e_0\frac{K}{m_ec^2}$
Где $e_1$ и $e_0$ - энергия рассеянного фотона и падающего соответственно, а $k$ -кинетическая энергия электрона.
