Чем нельзя задать плоскость в пространстве. Способы задания плоскости. Взаимное положение прямой и плоскости

Положение плоскости в пространстве определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой, взятой вне прямой, двумя пересекающимися прямыми и двумя параллельными прямыми. Соответственно плоскость на чертеже (рис. 3.1) может быть задана проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (а), прямой и точки, взятой вне прямой (б), двух пересекающихся прямых (в), двух параллельных прямых (г). Проекции любой плоской фигуры также могут служить заданием плоскости на чертеже; например, см. на рис. 3.10 изображение плоскости проекциями треугольника.

Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Плоскость относительно плоскостей проекций может занимать следующие положения: 1) не перпендикулярно к плоскостям проекций; 2) перпендикулярно к одной плоскости проекций; 3) перпендикулярно к двум плоскостям проекций.

Плоскость, не перпендикулярную ни к одной из плоскостей проекций, называют плоскостью общего положения (см. рис. 3.1).

Второе и третье положения плоскостей являются частными случаями. Плоскости в этих положениях называют проецирующими плоскостями.

Плоскость, перпендикулярная одной плоскости проекций. Наглядное изображение плоскости а, заданной треугольником ABC и перпендикулярной плоскости ∏!, приведено на рис. 3.2, ее чертеж – на рис. 3.3. Такую плоскость называют горизонтально проецирующей .

Наглядное изображение плоскости β, заданной параллелограммом ABCD , перпендикулярной фронтальной плоскости проекций, приведено на рис. 3.4, ее чертеж – на рис. 3.5. Такую плоскость называют фронтально проецирующей .

Чертеж плоскости в виде треугольника с проекциями А "В"С" А "В"С", A ""B tnC"", перпендикулярной профильной плоскости проекций, показан на рис. 3.6. Такую плоскость называют профильно-проецирующей.

Следы плоскостей. Линию пересечения плоскости с плоскостью проекций называют следом . Линия пересечения некоторой плоско-

сти а, заданной треугольником АВС, с плоскостью π, обозначена a", a с плоскостью π2 – а" (см. рис. 3.2).

Линию пересечения плоскости с плоскостью π, называют горизонтальным следом, с плоскостью π2 – фронтальным следом, с плоскостью π, – профильным следом.

Для плоскости а, перпендикулярной плоскости π, горизонтальный след а" (см. рис. 3.2,3.3) располагается под углом к оси х, соответствующем углу наклона этой плоскости к фронтальной плоскости проекций, а фронтальный след а" – перпендикулярно оси х.

Аналогично для некоторой плоскости β, перпендикулярной плоскости π2 (см. рис. 3.4,3.5), фронтальный след β" располагается под углом к оси х, соответствующему углу наклона этой плоскости к плоскости ∏), а горизонтальный след β" – перпендикулярно оси х.

На чертежах тот след, который перпендикулярен оси проекций, обычно, когда она не участвует в построениях, не изображают.

Свойство проекций геометрических элементов, лежащих в проецирующих плоскостях (см. § 1.1, ∏. 1, в). Проецирующая плоскость изображается прямой

линией на той плоскости проекций, к которой она перпендикулярна. Следовательно, и любая замкнутая геометрическая фигура, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется на эту плоскость проекций в отрезок прямой линии.

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна двум плоскостям проекций, то она параллельна третьей плоскости проекций. Такую плоскость называют горизонтальной (параллельная плоскости π,), фронтальной (параллельная плоскости π2) и профильной (параллельная плоскости π3).

Примеры их наглядных изображений и чертежей приведены на рис. 3.7, а, б (фронтальная плоскость у и принадлежащая ей точка А), на рис. 3.8, а, б (горизонтальная плоскость β и принадлежащая ей точка В), на рис. 3.9, а, б (профильная плоскость а и принадлежащая ей точка Q.

5.1 Задание плоскости

Плоскость задается тремя произвольными точками, не принадле­жащими одной прямой. Плоскость в пространстве можно задать:

· тремя точками, не лежащими на одной прямой (рисунок 5.1, а);

· прямой и не принадлежащей ей точкой (рисунок 5.1, б );

· двумя пересекающимися прямыми (рисунок 5.1, в );

· двумя параллельными прямыми (рисунок 5.1, г );

· любой плоской фигурой (рисунок 5.1, д ).

Рисунок 5.1

Каждый из перечисленных способов задания плоскости допускает переход к любому другому, т.к. положение прямой в плоскости опре­деляется двумя ее точками или одной точкой и направлением этой прямой.

Часто применяется способ задания плоскости с помощью прямых линий (взаимно пересекающихся или параллельных), по которым данная плоскость пересекается с плоскостями проекций П 1 П 2 , П 3 . Кроме этого- это задание плоскости следами, при этом сохраняется наглядность изображения (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

5.2 Следы плоскости.

Линия пересечения рассматриваемой плоскости с плоскостью проекций (П 1 , П 2 , П 3 ) называется следом плоскости. Иными словами, след плоскости - это прямая, лежащая в плоскости проекций. Следу присваивается наименование той плоскости проекций, которой он принадлежит. Например, горизонтальный след получен при пересече­нии заданной плоскости с плоскостью П 1 и обозначается , фрон­тальный - с плоскостью П 2 (), профильный - с плоскостью П 3 (). Два следа одной и той же плоскости пересекаются на оси про­екции в точке, называемой точкой схода следов. Каждый из следов плоскости совпадает со своей одноименной проекцией, остальные проекции оказываются лежащими на осях. Например, горизонтальный след плоскости Σ(рисунок 5.2) совпадает со своей горизонтальной проек­цией , фронтальная его проекция находится на оси х , а профильная на оси у. По расположению следов плоскости можно судить о по­ложении данной плоскости в пространстве относительно плоскостей проекций П 1 ,П 2 , П 3 .

5.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

Любая, произвольно взятая в пространстве плоскость, может за­нимать общее или частное положение. Плоскостью общего положения называется плоскость, которая не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций (см. рисунок 5.2). Все остальные плоскости (кроме плоскостей проекций) относятся к плоскостям частного положения и подразделяются на проецирующие плоскости и плоскости уровня. |Проецирующей называется плоскость, перпендикулярная к одной
из плоскостей проекций. Например, горизонтально-проецирующая плоскостьперпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции П 1 (рисунок 5.3).

Рисунок 5.3

Горизонтальные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с горизон­тальным следом 1 . Угол, который образуется между плоскостями и П 2 , проецируется на П 1 без искажения. Фронтальный след 2 пер­пендикулярен к оси x.

Фронтально-проецирующая плоскость () перпендикулярна к фронтальной плоскости П 2 показана на рисунке 5.4. Фронтальные проекции всех геометрических образов (точек, пря­мых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с фронтальным следом плоскости 2 . Угол , который образуется между заданной плоскостью и П 1 , проецируется на П 2 без искажения. Горизонталь­ный след плоскости 1 перпендикулярен к оси x.

Рисунок 5.4

Профильно-проецирующая плоскость Т (T 1 , T 2) перпендикулярна к профильной плоскости проекции П 3 (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

Профильные проекции всех геометрических образов (точек, прямых, фигур), лежащих в этой плоскости, совпадают с профильным следом плоскости Т 3 . Углы и , которые образуются между задан­ной плоскостью и плоскостями проекций П 1 и П 2 (= T^П 1 ; = Т^П 2 ), проецируются на плоскость П 3 без искажений. Горизон­тальный и фронтальный следы плоскости параллельны оси х.

Профильно-проецирующая плоскость может проходить через ось x: (рисунок 5.6).

Рисунок 5.6

Следы этой плоскости 1 = 2 совпадают друг с другом и с осью x, поэтому не определяют положение плоскости. Необходимо кроме следов задать в плоскости точку (рисунок 5.6). В частном случае эта плос­кость может быть биссекторной плоскостью. Угол ° = °, а точка А равноудалена от плоскостей проекций П 1 и П 2 . Плоскостью уровня называется плоскость, перпендикулярная од­новременно к двум плоскостям проекций и параллельная третьей. Та­ких плоскостей три разновидности (рисунок 5.7):

· горизонтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 2 , П 3 и параллельна П 1 (рисунок 5.7, а);

· фронтальная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 ,П 3 и па­раллельна П 2 (рисунок 5.7, б);

· профильная плоскость уровня перпендикулярна к П 1 , П 2 и параллельна П 3 (рисунок 5.7 в ).

Рисунок 5.7

Из определения плоскостей уровня следует, что одна из проекций точки, линии, фигуры, принадлежащих этим плоскостям, будет совпадать с одноименным следом плоскости уровня, а другая проекция будет натуральной величиной этих геометрических образов.

5.4 Признаки принадлежности точки и прямой плоскости

Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями:

· точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости;

· прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки;

· прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное мно­жество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, зани­мающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П 1 П 2 , П 3 . Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, прове­денная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости.

Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости.

Горизонталь и фронталь являются линиями уровня.

Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x , горизонтальная проекция гори­зонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рисунок 5.8).

Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости - нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между собой (рисунок 5.9).

Рисунок 5.8

Рисунок 5.9

К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в за­данной плоскости и параллельная П 3 .

К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

5.5 Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций

Плоскость общего положения, расположенная в пространстве произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения величины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций: к П 1 - линия ската, к П 2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П 2 .

Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейный угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленного данной плоскостью и плоскостью проекций (рисунок 5.10).

Всякая геометрическая фигура, погруженная в пространство, состоит из некоторого множества точек пространства. Плоскость как одна из геометрических фигур, представляет собой совокупность множества точек. Из этого определения плоскости можно установить способы задания ее положения в пространстве. Для этого достаточно вспомнить аксиому сочетания – через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну.

На рис. 21 представлены способы задания положения плоскости в пространстве:

а – тремя точками, не лежащими на одной прямой;

б – прямой и точкой, взятой вне прямой;

в – двумя пересекающимися прямыми;

г – двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 22) плоскость может быть задана:

а – проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой;

б – проекциями прямой и точки, взятой вне прямой;

в – проекциями двух пересекающихся прямых;

г – проекциями двух параллельных прямых.

Каждый из представленных на рис. 22 способов задания плоскости на чертеже может быть преобразован из одного в другой. Так, например, проведя через точки А и В (рис. 22, а) прямую, получают задание плоскости, представленное на рис. 22, б. От него можно перейти к способу, представленному на рис. 22, г, если через точку С провести прямую, параллельную прямой АВ. Если точки А, В и С соединить попарно прямыми, то получают треугольник АВС – плоскую фигуру (рис. 23), проекциями которой может быть задана плоскость на чертеже.

При этом всегда следует помнить о том, что плоскость, как геометрическая фигура, безгранична и поэтому нельзя ограничиваться построениями только в пределах площади этого треугольника, так как в общем случае проекции плоскости занимают всю каждую из плоскостей проекций: горизонтальную П I , фронтальную П 2 и профильную П 3 .

Более наглядно плоскость может быть задана при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций (рис. 24, а).

Эти прямые называются следами плоскости. В общем случае оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций, которую называют «точкой схода следов».

Из всего многообразия положений плоскости относительно заданной системы плоскостей проекций обычно выделяют такие, когда.

Здесь из принятых нами аксиом стереометрии мы получим важные теоремы и следствия о прямых и плоскостях. Сами по себе они достаточно очевидны. Рассмотрим их доказательства, которые показывают, как какое-либо утверждение можно строго вывести из аксиом со всеми необходимыми ссылками.

2.1 Задание прямой двумя точками

Доказательство. В п. 1.1 уже доказано, что через каждые две точки А, В проходит прямая а.

Докажем, что эта прямая только одна. Прямая а лежит в некоторой плоскости а. Допустим, что, кроме прямой а, через точки А, В проходит ещё прямая b (рис. 31). По аксиоме 3 прямая, имеющая с плоскостью две общие точки, лежит в этой плоскости. Так как прямая b имеет с а общие точки А и B, то b лежит в плоскости α.

Рис. 31

Но в плоскости а выполняется планиметрия, и, следовательно, через две точки А и B проходит только одна прямая. Значит, прямые а и b совпадают. Таким образом, через точки А и В проходит только одна прямая.

Следствие. В пространстве (как и на плоскости) две различные прямые не могут иметь более одной общей точки.

Две прямые, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Замечание. Не всегда предложение, справедливое в планиметрии, верно и в стереометрии. Так, например, в плоскости через две данные точки N, S проходит лишь одна окружность с диаметром NS, а в пространстве таких окружностей бесконечное множество - в каждой плоскости, проходящей через точки N, S, лежит такая окружность (рис. 32, а).

Рис. 32

Но прямая, проходящая через точки N, S в пространстве, лишь одна. Эта общая прямая всех плоскостей, проходящих через точки N, S (рис. 32, б).

Доказав, что в пространстве через каждые две точки проходит единственная прямая, мы можем задавать прямую в пространстве любой парой её точек, не заботясь о том, в какой плоскости эта прямая лежит. Прямая, проходящая через точки А, B, обозначается (АВ).

Аналогичное верно и для отрезков: каждые две точки в пространстве служат концами единственного отрезка.

2.2 Задание плоскости тремя точками

Доказательство. Пусть точки А, B, С не лежат на одной прямой. По аксиоме плоскости через эти точки проходит некоторая плоскость а (см. рис. 6). Докажем, что она только одна.

Допустим, что через точки А, B, С проходит ещё одна плоскость (3, отличная от а. Плоскости а и р имеют общие точки (например, точку А). По аксиоме 2 пересечением плоскостей α и β является их общая прямая. На этой прямой лежат все общие точки плоскостей α и β, а значит, точки A, B, С. Но это противоречит условию теоремы, так как согласно ему A, B, С не лежат на одной прямой. Итак, через точки А, В, С проходит лишь одна плоскость α.

Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, обозначают (ABC).

Легко проиллюстрировать теорему 2. Например, положение двери фиксируется двумя дверными петлями и замком.

2.3 Задание плоскости прямой и точкой и двумя прямыми

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. Возьмём на прямой а две точки B и С (рис. 33). Точка А не лежит с ними на одной прямой, так как через точки B и С проходит лишь одна прямая - это прямая а, а точка А не лежит на ней по условию теоремы.

Рис. 33

Через точки А, B, С, не лежащие на одной прямой, проходит (по теореме 2) единственная плоскость АBС. Прямая а имеет с ней две общие точки B и С и, значит, по аксиоме 3 лежит в ней. Таким образом, плоскость АBС и есть плоскость, проходящая через прямую а и точку А.

Единственность такой плоскости докажем способом от противного.

Пусть есть ещё одна плоскость β, содержащая прямую а и точку А. Тогда она содержит точки B и С. По теореме 2 она должна совпадать с плоскостью АBС. Полученное противоречие и доказывает единственность.

Вот иллюстрация этой теоремы: поворачивая переплёт книги, вы в каждый момент пальцами фиксируете его положение.

Доказательство. Пусть прямые а и b пересекаются в точке А. Возьмём на прямой b другую точку B (рис. 34). По теореме 3 через прямую а и точку В проходит плоскость а. Согласно аксиоме 3 прямая Ь лежит в этой плоскости, так как имеет с ней две общие точки А и В. Значит, плоскость а проходит через прямые а и b. Единственность такой плоскости докажите самостоятельно способом от противного.

Рис. 34

Теперь мы знаем три способа задания плоскости:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и не лежащей на ней точкой;
3. двумя пересекающимися прямыми.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие вы знаете способы задания прямой в пространстве?
2. Какие вы знаете способы задания плоскости?

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B , A , d , q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая D B и точки D и B .

Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α , γ или π .

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

Определение 1

В любой плоскости есть точки.

Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈ . Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π , то мы пишем: A ∈ π .

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Определение 2

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Зная это правило, можно ввести новое обозначение плоскости. Вместо маленькой греческой буквы мы можем использовать названия точек, лежащих в ней, например, плоскость А В С.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Определение 3

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Выше мы уже отмечали, что для обозначения плоскости в пространстве будет достаточно трех точек, а четвертая может находиться как в ней, так и вне ее. Если нужно обозначить отсутствие принадлежности точки к заданной плоскости на письме, то используется знак ∉ . Запись вида A ∉ π правильно читается как «точка A не принадлежит плоскости π »

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Определение 4

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Чтобы записать принадлежность прямой некой плоскости, используем тот же символ, что и для точки. Если мы напишем « a ∈ π », то это будет означать, что у нас есть прямая a , которая расположена в плоскости π . Изобразим это на рисунке:

Второй вариант взаимного расположения – это когда прямая пересекает плоскость. В таком случае у них будет всего одна общая точка – точка пересечения. Для записи такого расположения в буквенном виде используем символ ∩ . Например, выражение a ∩ π = M читается как «прямая a пересекает плоскость π в некоторой точке M ». Если у нас есть точка пересечения, значит, у нас есть и угол, под которым прямая пересекает плоскость.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они являются перпендикулярными друг другу. На письме это обозначается символом ⊥ . Особенности такой позиции мы рассмотрим в отдельной статье. На рисунке это расположение будет выглядеть следующим образом:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Определение 5

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости – это их параллельность. В таком случае ни одной общей точки у них нет. Для указания таких отношений на письме используется символ ∥ . Если у нас есть запись вида a ∥ π , то ее следует читать так: «прямая a является параллельной плоскости ∥ ». Подробнее этот случай мы разберем в статье про параллельные плоскости и прямые.

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Определение 6

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Определение 7

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Определение 8

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter