Введение

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой наперед заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10 - 20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Все вычисления в калькуляторе построены на том, что некая функция хоть и выглядит не очень красивой после разложения в ряд но за то очень удобно вычислять.

Возьмите например простую функцию sin(x) и вам нужно вычислить допустим sin(134) Как вы это сделаете? А вот разложив эту функцию в ряд, Вы сможете подставить в нее значение Х. При этом теория рядов позволяет узнать сколько членов ряда нужно иметь для заданной точности.

В курсовой показано, как с помощью формулы Тейлора можно легко находить пределы функций.

Формула Тейлора

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

формула тейлор предел функция степенной

Лемма 1. Если функция f(x) имеет в точке х 0 производную n-го порядка, то существует многочлен Р n (х) степени не выше n такой, что

Р n (х о ) = f(x 0 ), (x o ) = (x o ), k = . (1)

Этот многочлен представляется в виде

Р n (х о ) = f(x 0 )+(x-x 0 )++ …+. (2)

· Пусть ц(x) = (x - x 0 ) m , где m ? N. Тогда ц(x 0 ) = 0,

ц (k) (x 0 ) = (3)

Из (3) следует, что многочлен Р n (х), заданный формулой (2), удовлетворяет условиям (1). Этот многочлен называют многочленом Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке x 0 . *

Лемма 2. Пусть функции ц(x) и ш (х) определены в д-окрестности точки x 0 и удовлетворяют следующим условиям:

1) для каждого х? U д (x 0 ) существуют и;

2) ц(x 0 ) = ц"(х 0 ) = ... = ц n (х 0 ) = 0;

ш(x 0 ) = ш"(х 0 ) = ... = ш n (х 0 ) = 0; (4)

3) ш(х) ? 0 , (x) ? 0 для х ? и для k = .

Тогда для каждого х? существует точка, принадлежащая интервалу с концами хо и х такая, что

· Пусть, например, x ? (x о , x о + д). Тогда, применяя к функциям ц и ш на отрезке теорему Коши (Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале (a, b), причем g"(x) ? 0 во всех точках этого интервала, то найдется хотя бы одна точка? (a, b) такая что

) и учитывая, что ц(x o ) = ш(х о ) = 0 в силу условий (4), получаем

, x 0 . (6)

Аналогично, применяя к функциям и на отрезке [x o ,] теорему Коши, находим

= , x 0 . (7)

Из равенств (6) и (7) следует, что

= , x 0 .

Применяя теорему Коши последовательно к функциям и, и, …

…, на соответствующих отрезках, получаем

где x 0

Равенство (5) доказано для случая, когда x ? (x о , x о + д ). Аналогично рассматривается случай, когда x ? (x о - д, x о ). *

Теорема 1. Пусть существует д > 0 такое, что функция f(x) имеет в д - окрестности точки х о производные до (n + 1) - го порядка включительно.

Тогда для любого х? найдется точка е, принадлежащая интервалу с концами х о и x, такая, что

x 0 )++…+

· Пусть х? , Р n (х) = многочлен Тейлора для функции f(x). Обозначим

r n (x) = f(x) - P n (x). (9)

Так как многочлен Р n (х) удовлетворяет в силу леммы 1 условиям (1), то из равенства (9) следует, что

r n (x o ) = r "(x o ) = ... = (x o ) = 0. (10)

Рассмотрим функции ц(х) = r n (х), ш(х) = (x-x о ) n+1 . Эти функции удовлетворяют условиям леммы 2, и поэтому для них выполняется равенство (5), т. е.

Пусть , - предельная точка множества и . Если функция -дифференцируема в смысле Ферма - Лагранжа в точке , то справедлива формула Тейлора - Пеано

где ε n (z) - непрерывная в точке z 0 функция и ε n (z 0)=0. Применим метод математической индукции . Если n=0, то утверждение очевидно при ε n (z)=f(z)-f(z 0). Предположим, что утверждение теоремы справедливо после замены n на n-1 и что функция f n-дифференцируема в смысле Ферма-Лагранжа в точке z 0 . Согласно определению, существует такая n-1 дифференцируемая в смысле Ферма-Лагранжа в точке z 0 функция φ, что ∀z∈D f ,

По предположению

где - непрерывная в точке z 0 функция и . Из равенств (2) и (3) получаем:

Что равносильно формуле (1) при

Литература

А.К.Боярчук "Функции комплексного переменного: теория и практика" Справочное пособие по высшей математике. Т.4 М.:Едиториал УРСС, 2001. - 352с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Формула Стокса
• Формула Шварца - Кристоффеля

Смотреть что такое "Формула Тейлора" в других словарях:

Формула Тейлора - Пеано - Форmула Тейлора Пеано Пусть, z0 предельная точка множества Df и. Если функция f n дифференцируема в смысле Ферма Лагранжа в точке z0, то справедлива формула Тейлора Пеано … Википедия

Формула Тейлора-Пеано - Пусть f:C→C, z0 предельная точка множества Df и z0∈Df. Если функция f n дифференцируема в смысле Ферма Лагранжа в точке z0, то справедлива формула Тейлора Пеано где εn(z) непрерывная в точке z0 функция и εn(z0)=0. Применим метод математической… … Википедия

Формула конечных приращений - У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагранжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и … Википедия

ТЕЙЛОРА, ФОРМУЛА ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ - Rw = 12,5(δD/L)V4 где Rw величина сопротивления в англ. фунтах, δ коэффициент общей полноты водоизмещения, D водоизмещение судна в англ. тоннах, L длина судна в футах, V скорость хода судна в узлах. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л … Морской словарь

Тейлора формула - формула изображающая функцию f (x), имеющую n ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а …

Формула Эйлера - У этого термина существуют и другие значения, см. Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера#Формулы. Геометрический смысл формулы Эйлера Формула Эйлера на … Википедия

Тейлора ряд - Степенной ряд вида, (1) где f (x) функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а: … Большая советская энциклопедия

ТЕЙЛОРА ФОРМУЛА - представление функции в виде суммы еи многочлена Тейлора степени п(n=0, 1, 2, . . .) и остаточного члена. Если действительная функция / одного переменного имеет ппроизводных в точке х 0, то ее Т. ф. имеет вид f(x) = Pn(x) + rn(x), где Тейлора… … Математическая энциклопедия

Формула Коши-Адамара < R}, в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | >

Формула Коши - Адамара - Основная статья: Степенной ряд Круг сходимости степенного ряда круг вида D = {z: | z − z0 | < R}, в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при | z − z0 | > R, расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть… … Википедия

Недавно размышлял на тему того, как наш ум изобретает способы для описания Вселенной. Ещё когда я учился в школе, родилась интересная аналогия. Итак, начну издалека...

В математическом анализе есть такое понятие - ряд Тейлора. С помощью этого ряда любую функцию f(x ) можно представить в виде суммы бесконечного числа простых одночленов с различными степенями и коэффициентами (a + bx + cx 2 + dx 3 + ... + Nx n + ... ). Например, можно разложить в ряд Тейлора экспоненту (e x ), синус (sin x ) и косинус (cos x ) :

Восклицательный знак (! ) в этих формулах обозначает факториал - произведение всех чисел от единицы до заданного числа включительно. Например, 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

В принципе, каждую функцию f(x) , имеющую производные любого порядка (f "(x), f ""(x), f """(x), ... f (n) (x)... , проиводная функции - это, грубо говоря, функция, описывающая скорость изменения данной функции в зависимости от x ) в некоторой окрестности точки a , можно разложить в ряд Тейлора в этой окрестности точки a . Важный момент - за пределами этой окрестности разложение в ряд НЕДЕЙСТВИТЕЛЬНО. Для вышеприведённых функций (экспонента, синус, косинус) точка a = 0, а окрестность простирается от минус до плюс бесконечности, то есть ВЕЗДЕ. Для этих функций ряд Тейлора абсолютно тождественен самой функции. Это весьма приятный факт, ведь такое случается далеко не всегда даже в мире идеальных математических моделей. Что уж говорить о реальном мире...

А в реальном мире нам приходится сталкиваться с множеством весьма прагматичных задач. Например, нам нужно посчитать ту же экспоненту или синус для различных значений аргумента x . Для чего? Экспонента очень хорошо описывает рост популяции микроорганизмов в насыщенной кормом среде, синус и косинус дают прекрасное описание волновых процессов... А все это очень пригодится, когда мы будем строить космические корабли и изобретать вакцины... Конечно, сейчас посчитать экспонету и прочие функции может любой инженерный калькулятор. Но нас, в данном случае, больше интересует сам алгоритм подсчёта, а не его результат.

Предположим, что мы на необитаемом острове. У нас в руках есть маленькая веточка и ещё огромный песчаный пляж под ногами. И вот нам вздумалось посчитать экспоненту для нескольких чисел. Мы умеем складывать, вычитать и умножать в столбик. Ну ещё делить уголком. И все эти расчёты можем чертить на песке.
Для начала, надо бы определить степень допустимой погрешности при расчётах. Т.е., сколько знаков после запятой нас интересует. Очевидно, что АБСОЛЮТНОЙ точности для всех расчётов мы не добьёмся никогда. Ведь подсчитывая экспоненту, мы будем иметь дело с иррациональными трансцендентными числами, десятичная записть которых БЕСКОНЕЧНА и не имеет никаких явных циклических закономерностей (как в периодических дробях рациональных чисел, например). Но для практических целей нам такое излишество и ни к чему. Пять, шесть знаков после запятой - этого бывает более, чем достаточно, когда речь идёт о проектировке сложного технического устройства. А обычно и того меньше.

Как же мы будем считать? Вот тут-то на помощь и приходит ряд Тейлора. Мы можем взять из него первые несколько членов, удовлетворяющих заданной степени точности, а остальные члены, что за пределами допустимой погрешности, отбросить нафиг.
Точность наших решений зависит от двух факторов: 1) от количества членов ряда, которые мы берём в расчёт; 2) от расстояния (разности) между числом, для которого мы считаем экспоненту, и числом a , в окрестности которого формируется ряд. Очевидно, что чем больше членов ряда мы запишем, тем точнее будет решение. И чем ближе к точке a мы проводим расчёт, тем точнее будет значение нашей экспоненты. Для экспоненты a = 0. Поэтому, чтобы посчитать экспоненту при x = 0 достаточно всего лишь одного члена ряда - самого первого (1). Тогда представив, что e x = 1, для x = 0 мы как раз определим ТОЧНОЕ значение экспоненты - 1. Это, пожалуй, единственный случай, когда мы определим значение этой функции с абсолютной точностью. Но стоит нам чуть-чуть отклониться от нуля, скажем на 0,01, как мы теряем точность уже во втором знаке после запятой. При x = 0,01 экспонента принимает значение 1,010050... Теперь нам уже необходим второй член ряда Тейлора: e x = 1 + x = 1 + 0.01. Видно, что теперь первые два члена ряда дают точность аж до 4-го знака после запятой. Отклонимся ещё немного в сторону от "безопасной" зоны. При x = 0,1 экспонента равна 1,105171... Тут первые два члена ряда (1 + 0,1 = 1,1) годятся уже лишь до второго знака. А при x = 0,5 они уже вообще никуда не годятся. Включаем третий член: e x = 1 + x + x 2 /2. Тогда для x = 0,5 мы получаем 1 + 0,5 + (0,5·0,5 )/2 = 1,625 (e 0,5 = 1,648721...). Маловато будет. Четвёртый: e x = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 = 1 + 0,5 + (0,5·0,5 )/2 + (0,5·0,5 ·0,5 )/6 = 1,6458(3). Уже лучше! Пятый: e x = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 = 1,6484375... Опа! Уже почти дошли до третьего знака. Шестой: e x = 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 + x 5 /120 = 1,648698... Уже держим 4 знака!
Можно с уверенностью сказать, что в интервале от нуля до 0,5 экспонента - это 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 + x 5 /120 с точностью до четырёх знаков после запятой. Ведь подставив в этот многочлен любой x, от нуля до 0,5, мы получим довольно точное значение экспоненты, если, конечно, четыре знака нас удовлетворят. Если захочется побольше, то придётся прибавлять новые и новые члены ряда Тейлора.
А теперь пусть x = 5. Тогда 1 + x + x 2 /2 + x 3 /6 + x 4 /24 + x 5 /120 = 91,41(6). А e 5 = 148,413159... Какое чудовищное несоответствие РЕАЛЬНОЙ экспоненте! Стоило только отойти достаточно далеко от привычной области расчётов, как результат начинает отличаться чуть ли ни в разы!

Ладно, хватит уже пережёвывать прописные истины. Людям, хотя бы поверхностно знакомым с численными методами, всё и так предельно ясно. А остальные разберутся сами, если им будет интересно. К чему я всё это начал? А вот к чему.

Дело всё в том, что эти расчёты с рядами Тейлора можно спроецировать и на наше понимание реального мира. Заметьте - не на саму РЕАЛЬНОСТЬ, а на наше ПОНИМАНИЕ этой реальности. Спроецировать - значит найти похожую закономерность. Я не имею в виду Монады Лейбница. Лейбниц очень любил математику, много занимался рядами и воспринимал мир как бесконечную комбинацию сущностей (Монад), наподобии того же ряда Тейлора. Речь здесь пойдёт о другом.

Речь пойдёт о том, как мы воспринимаем мир, как мы его понимаем, описываем и упорядочиваем. О том, как мы строим свои объяснения, концепции, теории и прочие Карты нашей Территории. И на этот раз я буду использовать аллегорию - ряды Тейлора.

Представим себе, что реальный мир (Территория) - это такая Функция, типа экспоненты. Воспринять этот мир полностью (посчитать экспоненту для всех значений x с абсолютной точностью) мы не можем, в силу ограниченной вместимости нашего разума. Но описать ограниченную область мира с определённой степенью точности нам вполне под силу (посчитать сумму несколькых первых членов ряда Тейлора на заданной окрестности точки a ). Сумма первых нескольких членов ряда Тейлора - это и есть теория (Карта), описывающая данный кусок Функции (реальности, Территории). И чем больше членов ряда Тейлора мы включаем в расчёт, тем точнее наша теория описывает проблемный участок.

Эволюцию такого "ряда Тейлора" можно проследить на примере развития физической картины мира. Сначала господствовала классическая механика (скажем, первые четыре члена "ряда Тейлора"). И эта теория работала достаточно хорошо, пока все наблюдения и эксперименты (непосредственные измерения значения Функции по точкам) находились в области макромира (в допустимой окрестности точки a ). Тогда теория хорошо предсказывала результаты экспериментов (расчётные значения Функции совпадали с измеренными). Но как только область наблюдения вышла за пределы привычной "окрестности точки a ", теория резко дала сбой (как это случилось с первыми пятью членами ряда Тейлора для экспоненты, когда мы перескочили с 0,5 на 5). Заглянув в микромир, человек обнаружил множество совершенно необъяснимых явлений. И тут уже потребовалать новая - более общая теория - квантовая механика (первые четыре члена "ряда Тейлора" дополнились ещё двумя). Причём из квантовой механики можно вывести классическую, как частный случай (первые члены ряда никуда не делись, они просто дополнились новыми).
То же самое можно сказать и о Теории Относительности Эйнштейна.

Вопрос: можно ли создать Единую Теорию Всего? Да, но чтобы её записать, потребуется бесконечное количество бумаги. Ведь ряд Тейлора бесконечен. Поэтому мы можем лишь бесконечно приближать свои знания к Истине.

И тем не менее мы питаем огромное колличество иллюзий относительно наших представлений о реальном мире. Религии проповедуют, что именно они знают Абсолютную Истину. Многие учёные тоже грешат, цепляясь за старые парадигмы. Мы постоянно ошибаемся, когда выносим наши теории за рамки их допустимой окрестности, либо игнорируем допустимую степень точности в наших "расчётах". Но хуже всего, когда мы принимаем представления, которые явно противоречат реальности, либо никак не соприкасаются с ней.

Способ Маклорена был красив и прост, но в более общем виде задача разложения функции в степенной ряд была решена Тейлором. Постановка задачи была следующей. Приблизить f (x ) в окрестности точки х = х 0 многочленом п – й степени так, чтобы сам многочлен в точке х 0 совпадал с заданной функцией f (x ), и значения всœех его производных до п – го порядка в точке х 0 совпадали со значениями соответствующих производных f (x ).В итоге решением задачи стала формула Тейлора (7).

где – (8)

остаточный член формулы Тейлора, а точка с – некоторая промежуточная точка между точками а и х .

В случае если f (x ) имеет производные любых порядков (ᴛ.ᴇ. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки х = х 0 и остаточный член при (), то из формулы (7) получается разложение функции f (x ) по степеням (х – х 0), называемое рядом Тейлора :

При х 0 = 0 ряд Тейлора превращается в ряд Маклорена :

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, результат Маклорена оказался лишь частным случаем исследований Тейлора, и в связи с этим разложения функций в степенные ряды получили в математике название ʼʼряды Тейлораʼʼ.

Отметим, что ряд Тейлора – Маклорена можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это крайне важно е условие ) в окрестности точки х 0 . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции, он может расходиться или сходиться к посторонней функции.

Т е о р е м а 1. Для того чтобы ряд Тейлора (9) функции f (x ) сходился к f (x ) в точке х , крайне важно и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора (7) стремился к нулю при , т. е. чтобы .

Т е о р е м а 2. В случае если модули всœех производных функции f (x ) ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора сходится к функции f (x ), т. е. имеет место разложение (9).

З а м е ч а н и е. Гарантией сходимости ряда Тейлора функции f (x ) к ней самой является элементарность функции f (x ).

Так как исследователь в большинстве случаев имеет дело с элементарными функциями, то сходимость ряда Тейлора к f (x ) обычно гарантирована . Для неэлементарных функций можно воспользоваться условием ограниченности их производных.

Примером Коши называют неэлементарную функцию вида:

(11)

Показано, что К (х ) имеет в точке производные всœех порядков, причем при всяком п . Ряд Маклорена функции К (х ) имеет вид:

(12)

Он сходится, но его сумма S (x ) в любой точке х равна нулю, а не К (х ). Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ряд Маклорена, порожденный функцией К (х ), сходится к посторонней функции , а не к К (х ).

Формула Тейлора - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Формула Тейлора" 2017, 2018.