Математический анализ. Математический анализ Матанализ pdf

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
В.А. Зорич, Математический анализ (Часть 2)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)

§ 1. Метрическое пространство
1. Определения и примеры (11).
2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства (13).
3. Подпространство метрического пространства (17).
4. Прямое произведение метрических пространств (18).

§ 2. Топологическое пространство
1. Основные определения (19).
2. Подпространство топологического пространства (23).
3. Прямое произведение топологических пространств. (24).

§ 3. Компакты
1. Определение и общие свойства компакта (25).
2. Метрические компакты (27).

§ 4. Сиязные топологические пространства

§ 5. Полные метрические пространства К Основные определения и примеры (31).
2. Пополнение метрического пространства (34).

§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств
1. Предел отображения (38).
2. Непрерывные отображения (40).

§ 7. Принцип сжимающих отображений

Глава Х. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения

§ 1. Линейное нормированное пространство
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа (50).
2. Норма в векторном пространстве (51).
3. Скалярное произведение в векторном пространстве (54).

§ 2. Линейные и полилинейные операторы 67
1. Определения и примеры (57).
2. Норма оператора (64)).
3. Пространство непрерывных операторов (64).

§ 3. Дифференциал отображения
1. Отображение, дифференцируемое в точке (69).
2. Общие законы дифференцирования (70).
3. Некоторые примеры (71).
4. Частные производные отображения (77).

§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
1. Теорема о конечном приращении (80)
2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении (83).

§ 5. Производные отображения высших порядков
1. Определение n-го дифференциала (87).
2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала (88).
3. Симметричность дифференциалов высшего порядка (89).
4. Некоторые замечания (91).

§ 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
1. Формула Тейлора для отображений (93).
2. Исследование внутренних экстремумов (94).
3. Некоторые примеры (96).

§ 7. Общая теорема о неявной функции

Глава XI. Кратные интегралы 115

§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
1. Определение интеграла (113).
2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рнману (115).
3. Критерий Дарбу (120).

§ 2. Интеграл по множеству
1. Допустимые множества (123).
2. Интеграл по множеству (124)
3. Мера (объем) допустимого множества (125).

§ 3. Общие свойства интеграла
1. Интеграл как линейный функционал (127).
2. Аддитивность интеграла (127).
3. Оценки интеграла (128).

§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному
1. Теорема Фубини (131).
2. Некоторые следствия (134).

§ 5. Замена переменных в кратном интеграле 139
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы - замены переменных (139).
2. Измеримые множества и гладкие отображения (141).
3. Одномерный случай (143).
4. Случай простейшего диффеоморфизма в Rn (145).
5. Композиция отображений и формула замены переменных (146).
6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле (147).
7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах (148).

§ 6. Несобственные кратные интегралы
1. Основные определения (154).
2. Мажорантный призивк сходимости несобственного интеграла (157).
3. Замена переменных в несобственном интеграле (159).

Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в Rn

§ 1. Поверхности в Rn

§ 2. Ориентация поверхности

§ 3. Край поверхности и его ориентация
1. Поверхность с краем (182).
2. Согласование ориентации поверхности и края (184).

§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве

§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
1. Дифференциальная форма, определение и примеры (197).
2. Координатная запись дифференциальной формы (200).
3. Внешний дифференциал формы (203).
4. Перенос векторов и форм при отображениях (206).
5. Формы на поверхностях (209).

Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы

§ 1. Интеграл от дифференциальной формы
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры (213).
2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности (219).

§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
1. Масса материальной поверхности (227).
2. Плбщадь поверхности как интеграл от формы (228).
3. Форма объема (229).
4. Выражение формы объема в декартовых координатах (231).
5. Интегралы первого и второго рода (232).

§ 3. Основные интегральные формулы анализа
1. Формула Грина (236).
2. Формула Гаусса-Остроградского (241).
3. Формула Стокса в R3 (244).
4. Общая формула Стокса (246).

Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля

§ 1. Дифференциальные Ъперации векторного анализа 253
1. Скалярные и векторные поля (253)
2. Векторные поля и формы в R3 (253).
3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V (256).
4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа (259).
5. Векторные операции в криволинейных координатах (261).

§ 2. Интегральные формулы теории поля 270
1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях (270).
2. Физическая интерпретация (273).
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы (277)

§ 3. Потенциальные поля
1. Потенциал векторного поля (281).
2. Необходимое условие потенциальности (282).
3. Критерий потенциальности векторного поля (288).
4. Топологическая структура области и потенциал (286).
5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы (288).

§ 4. Примеры приложений
1. Уравнение теплопроводности (295).
2. Уравнение неразрыв ности (297).
3. Основные уравнения динамики сплошной среды (298).
4. Волновое уравнение (300).

Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305

§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
1. Алгебра фдрм (305).
2. Алгебра кососимметрических форм (306).
3. Линейные отображения линейных пространств, и сопряженные отображения сопряженных пространств (309). Задачи и упражнения 310

§ 2. Многообразие.
1. Определение многообразия (312).
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения (317).
3. Ориентация, многообразия и, его края (320).
4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в Rn (323).

§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
1. Касательное пространство к многообразию в точке (329).
2. Дифференциальная форма на многообразии (333).
3. Внешний дифференциал (335).
4. Интеграл от формы по многообразию (336).
5. Формула Стокса (338).

§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
1. Теорема Пуанкаре (344).
2. Гомологии и когомологви (348).

Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций 355

§ 1. Поточечная и равномерная сходимость
1. Поточечная сходимость (355). 2.Постановка основных вопросов (356)
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящвх от параметра (358).
4. Критерий Коши равномерной сходи мости (361).

§ 2. Равномерная сходимость рядов функций
1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда (363).
2. Признак Вейергатрасса равномерной сходимости ряда (366).
3. Признак Абеля-Дирихле (368).

§ 3. Функциональные свойства предельной функции
1. Конкретизация задачи (373).
2. Условия коммутнрованвя двух предельных переходов (374).
3. Непрерывность и предельный переход (376).
4. Интегрирование и предельный переход (380).
5. Дифференцирование и предельный переход (381).

§ 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
1. Теорема Арцела-Асколи (391).
2. Метрическое пространство (393)
3. Теорема Стоуна (394).

Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра

§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (400).
2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра (401).
3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра (402).
4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра (405)

§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра (407).
2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра (415).
3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру (417).
4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (420).

§ 3. Эйлеровы интегралы
1. Бета-функция (428).
2. Гамма-функция (429).
3. Связь между функциями В и Г (432).
4. Некоторые примеры (433).

§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения) (439).
2. Некоторые общие свойства свертки (442).
3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимациониая теорема Вейерштрасса.(445).
4. Начальные представления о распределениях (450).

§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра (463).
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (467).
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью (469).
4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае (473).

Глава XVIII Рид Фурье и преобразование Фурье

§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
1. Ортогональные системы функций (488).
2. Коэффициенты Фурье (494).
3. Ряд Фурье (499).
4. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе (506).

§ 2. Тригонометрический ряд Фурье
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье (515)
2. Исследование поточечной схвдимости тригонометрического ряда Фурье (520).
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье (530).
4. Полнота тригонометрической системы (535).

§ 3. Преобразование Фурье
1. Представление функции интегралом Фурье (551).
2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье (562)
3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье (566)
4. Примеры приложений (572).

Глава XIX. Асимптотические разложения

§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
1. Основные определения (586).
2. Общие сведения об асимптотических рядах (591).
3. Степенные асимптотические ряды (696).

§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
1. Идея метода Лапласа (602).
2. Принцип локализации дли интеграла Лапласа (605).
3. Канонические интегралы и их асимптотика (607).
4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа (610).
5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа (613).

Краткая аннотация книги

В книге отражена ставшая более тесной связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального ана лиза). Во вторую часть,учебника включены следующие разделы: Многомерный интеграл. Дифференциальные формы и их интегрирование. Ряды и интегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды и преобразования Фурье, а также асимптотические разложения).

 Текст снабжен вопросами и задачами, дополняющими материал книги и существующих задачников по анализу. Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, котбрыми часто служат содержательные задачи механики и физики.

 Для студентов университетов, обучающихся по специальности "Математика" и "Механика". Может быть полезна студентам факультетов и вузов с расширенной программой по математике, а так же специалистам в области математики и ее приложений.

Транскрипт

2 Математический анализ 1. Полнота: супремум и инфимум числового множества. Принцип вложенных отрезков. Иррациональность числа Теорема о существовании предела монотонной последовательности. Число e. 3. Эквивалентность определений предела функции в точке на языке и на языке последовательностей. Два замечательных предела. 4. Непрерывность функции одной переменной в точке, точки разрыва и их классификации. Свойства функции, непрерывной на отрезке. 5. Теоремы Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях непрерывной функции, заданной на сегменте. 6. Равномерность непрерывности. Теорема Кантора. 7. Понятие производной и дифференцируемости функции одной переменной, дифференцирование сложной функции. 8. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной. 9. Исследование функции с помощью производных (монотонность, экстремумы, выпуклость и точки перегиба, асимптоты). 10. Параметрически заданные функции и их дифференцирование. 11. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. 12. Правило Лопиталя. 13. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. 14. Локальная формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора. 15. Критерий интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций. 16. Теорема о существовании первообразной у каждой непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. 17. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. 18. Методы приближенного вычисления определенных интегралов: методы прямоугольников, трапеций, парабол. 19. Определенный интеграл с переменным верхним пределом; теоремы о среднем значении. 20. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела в пространстве. 21. Степенные ряды; разложение функций в степенной ряд. 22. Несобственные интегралы I и II рода. Признаки сходимости. 23. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье. 24. Достаточные условия дифференцируемости в точке функции многих переменных. 25. Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции. 26. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. 27. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. 28. Признак Коши сходимости положительных рядов 29. Признак Даламбера сходимости положительных рядов 30. Теорема Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда. 31. Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов. 32. Достаточные условия непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости суммы функционального ряда. 33. Структура множества сходимости произвольного функционального ряда. Формула Коши-Адамара и структура множества сходимости степенного ряда.

3 34. Кратный интеграл Римана, его существование. 35. Сведение кратного интеграла к повторному. Список литературы 1. Карташев, А.П. Математический анализ: учебное пособие.- 2-е изд., стереотип.- СПб.: Лань, с. 2. Киркинский, А.С. Математический анализ: учебное пособие для вузов.- М.: Академический Проект, с. 3. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа. Т. 1, 2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ: учебник для студентов вузов.- Изд. 3-е, перераб.- Москва: Физматлит, с. 4. Математический анализ. Т. 1,2: / под ред. В.А.Садовничего.- М.: НИЦ "РХД", Никольский, С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2.- Изд. 4-е, перераб. и доп.- Москва: Наука, с. 6. Ильин, В.А. Основы математического анализа. Ч. 1, 2. - Изд. 4-е, перераб. и доп.- Москва: Наука, с. Дифференциальные уравнения. 1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. 2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка 3. Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка от параметров и от начальных данных. 4. Теорема о дифференцируемости решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка по параметрам и по начальным данным. 5. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). Общие свойства. Однородное ОДУ. Фундаментальная система решений. Вронскиан. Формула Лиувилля. Общее решение однородного ОДУ. 6. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее решение. Метод Лагранжа вариации постоянных. 7. Однородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. 8. Неоднородные линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с неоднородностью в виде квазимногочлена (нерезонансный и резонансный случаи). 9. Однородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица. Вронскиан. Формула Лиувилля. Структура общего решения однородной системы ОДУ. 10. Неоднородная система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Лагранжа вариации постоянных. 11. Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений. 12. Неоднородная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с неоднородностью в виде матрицы с элементами квазимногочленов (нерезонансный и резонансный случаи). 13. Постановка краевых задач для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Специальные функции краевых задач и их явные представления. Функция Грина и ее явные представления. Интегральное представление

4 решения краевой задачи. Теорема существования и единственности решения краевой задачи. 14. Автономные системы. Свойства решений. Особые точки линейной автономной системы двух уравнений. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову. Устойчивость однородной системы линейных дифференциальных уравнений с переменной матрицей. 15. Устойчивость по первому приближению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Второй метод Ляпунова. Список литературы 1. Самойленко, А.М. Дифференциальные уравнения: практический курс: учебное пособие для студентов вузов.- Изд. 3-е, перераб.- Москва: Высшая школа, с. 2. Агафонов, С.А. Дифференциальные уравнения: учебник.- 4-е изд., испр.- М.: Издво МГТУ им.н.э.баумана, с. 3. Егоров, А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями- Изд. 2-е, испр.- Москва: ФИЗМАТЛИТ, с. 4. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- Изд. 6-е.- Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, с. 5. Тихонов, А.Н. Дифференциальные уравнения: учебник для студентов физических специальностей и специальности "Прикладная математика".- Изд. 4-е, стер.- Москва: Физматлит, с. 6. Филипс, Г. Дифференциальные уравнения: перевод с английского / Г. Филипс; под редакцией А.Я. Хинчина.- 4-е изд., стер.- Москва: КомКнига, с. Алгебра и теория чисел 1. Определение группы, кольца и поля. Примеры. Построение поля комплексных чисел. Возведение в степень комлексных чисел. Извлечение корня из комлексных чисел. 2. Алгебра матриц. Виды матриц. Операции над матрицами и их свойства. 3. Определители матриц. Определение и основные свойства определителей. Обратные матрицы. 4. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Исследование СЛАУ. Метод Гаусса. Правило Крамера. 5. Кольцо многочленов от одной переменной. Теорема о делении с остатком. НОД двух многочленов. 6. Корни и кратные корни многочлена. Основная теорема алгебры (без доказательства). 7. Линейные пространства. Примеры. Базис и размерность линейных пространств. Матрица перехода от одного базиса ко второму базису. 8. Подпространства. Операции над подпространствами. Прямая сумма подпространств. Критерии прямой суммы подпространств. 9. Ранг матрицы. Совместность СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. 10. Евклидово и унитарное пространства. Метрические понятия в евклидовых и унитарных пространствах. Неравенство Коши-Буняковского. 11. Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации. Ортонормированные базисы. 12. Подпространства унитарного и евклидова пространств. Ортогональное дополнение. 13. Линейные операторы в линейных пространствах и операции над ними. Матрица линейного оператора. Матрицы линейного оператора в различных базисах.

5 14. Образ и ядро, ранг и дефект линейного оператора. Размерность ядра и образа. 15. Инвариантные подпространства линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. 16. Критерий диагонализируемости линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли. 17. Жорданов базис и жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора. 18. Линейные операторы в евклидовых и унитарных пространствах. Сопряженные, нормальные операторы и их простые свойства. 19. Квадратичные формы. Канонический и нормальный вид квадратичных форм. 20. Знакопостоянные квадратичные формы, критерий Сильвестра. 21. Отношение делимости в кольце целых чисел. Теорема о делении с остатком. НОД и НОК целых чисел. 22. Непрерывные (цепные) дроби. Подходящие дроби. 23. Простые числа. Решето Эратосфена. Теорема о бесконечности простых чисел. Разложение числа на простые множители 24. Функция Антье. Мультипликативная функция. Функция Мебиуса. Функция Эйлера. 25. Сравнения. Основные свойства. Полная система вычетов. Приведенная система вычетов. Теоремы Эйлера и Ферма. 26. Сравнения первой степени с одним неизвестным. Система сравнений первой степени. Китайская теорема об остатках. 27. Сравнения любой степени по составному модулю. 28. Сравнения второй степени. Символ Лежандра. 29. Первообразные корни. 30. Индексы. Применение индексов к решению сравнений. Список литературы 1. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре: учебник / А.Г. Курош.- 2-е изд., стер.- СПб.: Изд-во "Лань", с. 2. Биркгоф, Г. Современная прикладная алгебра: учебное пособие / Гаррет Биркгоф, Томас К. Барти; перевод с английского Ю.И. Манина.- 2-е изд., стер.- Санкт- Петербург: Лань, с. 3. Ильин, В.А. Линейная алгебра: учебник для студентов физических специальностей и специальности "Прикладная математика". - Изд. 5-е, стер.- Москва: ФИЗМАТЛИТ, Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Ч. 1. Основы алгебры: учебник для студентов университетов, обучающихся по специальностям "Математика" и "Прикладная математика".- Изд. 2-е, испр.- Москва: ФИЗМАТЛИТ, Виноградов, И.М. Основы теории чисел: учебное пособие.- Изд. 11-е.- Санкт- Петербург; Москва; Краснодар: Лань, с. 6. Бухштаб, А.А. Теория чисел: учебное пособие.- 3-е изд., стереотип.- Санкт- Петербург; Москва; Краснодар: Лань, с. Геометрия 1. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства. 2. Уравнение прямой на плоскости, заданной различными способами. Взаимное расположение двух прямых. Угол между двумя прямыми. 3. Преобразование координат при переходе от одной декартовой системы координат к другой. 4. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. 5. Эллипс, гипербола и парабола и их свойства. 6. Классификация линий второго порядка.

6 7. Уравнение плоскости, заданной различными способами. Взаимное расположение двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. 8. Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости. Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми, прямой и плоскостью. 9. Эллипсоиды, гиперболоиды и параболоиды. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. 10. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности. 11. Определение элементарной кривой. Способы задания кривой. Длина кривой (определение и вычисление). 12. Кривизна и кручение кривой. 13. Сопровождающий репер гладкой кривой. Формулы Френе. 14. Первая квадратичная форма гладкой поверхности и ее применения. 15. Вторая квадратичная форма гладкой поверхности, нормальная кривизна поверхности. 16. Главные направления и главные кривизны поверхности. 17. Линии кривизны и асимптотические линии поверхности. 18. Средняя и гауссова кривизна поверхности. 19. Топологическое пространство. Непрерывные отображения. Гомеоморфизмы. Примеры. 20. Эйлерова характеристика многообразия. Примеры. Литература 1. Немченко, К.Э. Аналитическая геометрия: учебное пособие.- Москва: Эксмо, с. 2. Дубровин, Б.А. Современная геометрия: методы и приложения. Т. 1, 2. Геометрия и топология многообразий.- 5-е изд. испр.- Москва: Эдиториал УРСС, с. 3. Жафяров, А.Ж. Геометрия. В 2 ч. учебное пособие.- 2-е изд.- Новосибирск: Сибирское университетское издательство, с. 4. Ефимов, Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: учебник для студентов высших учебных заведений.- 13-е изд.- Москва: ФИЗМАТЛИТ, с. 5. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии.- Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, с. 6. Атанасян Л.С., Базырев В.Т. Геометрия, ч. 1,2. Москва: Кнорус, с. 7. Рашефский П.С. Курс дифференциальной геометрии. Москва: Наука, с. Теория и методика обучения математике 1. Содержание обучения математике в средней школе. 2. Дидактические принципы обучения математике. 3. Методы научного познания. 4. Наглядность при обучении математике. 5. Формы, способы и средства контроля и оценки знаний и умений учащихся. Нормы отметок. 6. Внеклассная работа по математике. 7. Математические понятия и методика их формирования. 8. Задачи как средство обучения математике. 9. Углубленное изучение математики: содержание, приемы и формы организации обучения. 10. Виды математических суждений: аксиома, постулат, теорема.

7 11. Конспект урока по математике. 12. Урок математики. Виды уроков. Анализ урока. 13. Изучение математики в малокомплектной школе: содержание, приемы и формы организации обучения. 14. Новые технологии обучения. 15. Дифференциация обучения математике. 16. Индивидуализация обучения математике. 17. Мотивация учебной деятельности школьников. 18. Логико-дидактический анализ темы. 19. Технологический подход обучения математике 20. Гуманизация и гуманитаризация обучения математике. 21. Воспитание в процессе обучения математике. 22. Методика изучения тождественных преобразований. 23. Методика изучения неравенств. 24. Методика изучения функции. 25. Методика изучения темы «Уравнения и неравенства с модулем». 26. Методика изучения темы «Декартовы координаты». 27. Методика изучения многогранников и круглых тел. 28. Методика изучения темы «Векторы». 29. Методика решения задач на движение. 30. Методика решения задач на совместную работу. 31. Методика изучения темы «Треугольники» 32. Методика изучения темы «Окружность и круг». 33. Методика решения задач на сплавы и смеси. 34. Методика изучения темы «Производная и интеграл». 35. Методика изучения темы «Иррациональные уравнения и неравенства». 36. Методика изучения темы «Решение уравнений и неравенств с параметрами». 37. Методика изучения основных понятий тригонометрии. 38. Методика изучения темы «Тригонометрические уравнения» 39. Методика изучения темы «Тригонометрические неравенства». 40. Методика изучения темы «Обратные тригонометрические функции». 41. Методика изучения темы «Общие методы решения уравнений в школьном курсе математики». 42. Методика изучения темы «Квадратные уравнения». 43. Методика изучения основных понятий стереометрии 44. Методика изучения темы «Обыкновенные дроби». 45. Методика изучения темы «Использование производной в исследование функций» Литература 1. Аргунов, Б.И. Школьный курс математики и методика его преподавания.- Москва: Просвещение, с. 2. Земляков, А.Н. Геометрия в 11-кл.:методические рекомендации к учеб. А.В.Погорелова: пособие для учителя.- 3-е изд., дор.- М.: Просвещение, с. 3. Изучение алгебры в 7-9 классах: книга для учителя / Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров, М.В.Ткачева и др.- 2-е изд.- М.: Просвещение, с. 4. Латышев, Л.К. Перевод: теория, практика и методика преподавания: учебник.- 3-е изд., стер.- Москва: Академия, с. 5. Методика и технология обучения математике: курс лекций: учебное пособие для студентов математических факультетов высших учебных заведений, обучающихся по направлению (050200) физико- математическое образование.- Москва: Дрофа, с.

8 6. Рогановский, Н.М. Методика преподавания математики в средней школе: учебное пособие.- Минск: Вышэйшая школа, с.

25. Определение, существование, непрерывность и дифференцируемость неявной функции. 26. Необходимое условие условного экстремума. Метод множителей Лагранжа. 27. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Министерство образования и науки Республики Казахстан РГП ПХВ «Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева» Кафедра фундаментальная математика ПРОГРАММА вступительного экзамена в докторантуру

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Челябинский государственный университет» (ФГБОУ ВО «ЧелГУ») УТВЕРЖДАЮ: Председатель приемной комиссии,

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Д. СЕРИКБАЕВА Факультет информационных технологий и бизнеса УТВЕРЖДАЮ декан ФИТиБ Н.Денисова 2016 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ

1. Целью изучения дисциплины является: подготовка высокопрофессионального специалиста владеющего математическими знаниями, умениями и навыками применять математику как инструмент логического анализа, численных

Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный университет» Факультет математики и компьютерных наук П Р О Г Р А М М А ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ В МАГИСТРАТУРУ для обучения по

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Д. СЕРИКБАЕВА Факультет информационных технологий и бизнеса УТВЕРЖДАЮ Декан ФИТиБ Н.Денисова 2016 г. ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ

Аннотация к рабочей программе дисциплины Автор Фёдоров Ю.И., доцент Наименование дисциплины: Б1.Б.05Математика Цель освоения дисциплины: - формирование знаний, умений, навыков владения математикой, необходимой

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Перечень экзаменационных вопросов: 1 семестр 1. Множества и операции над ними. 2. Декартово произведение множеств. 3. Предельные точки. 4. Предел последовательности. 5. Предел функции. 6. Бесконечно малые.

«УТВЕРЖДАЮ» И.о директора ФМИТИ Поп Е. Н. 2018 г. ПРОГРАММА вступительного экзамена в магистратуру по направлению 01.04.01. МАТЕМАТИКА, магистерская программа «Комплексный анализ» Программа вступительного

Методические материалы для преподавателей. Примерные планы лекционных занятий. Раздел «Алгебра: основные алгебраические структуры, линейные пространства и линейные отображения» Лекция 1 по теме «Комплексные

Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия над матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

УТВЕРЖДАЮ зав. кафедрой физикоматематических дисциплин Е.Н.Кирюхова 20 г, протокол Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика» Специальности «Информационные системы и технологии» заочной формы получения

Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов вузов, изучающих в том или ином объеме высшую математику. Первая часть содержит необходимый материал по 9-ти разделам курса высшей математики,

4. Аннотация к рабочей программе дисциплины Автор Фёдоров Ю.И., доцент Наименование дисциплины: Б1.Б.04 Высшая математика Цель освоения дисциплины: - формирование знаний, умений, навыков владения высшей

1. Цель и задачи дисциплины Математический анализ Целью освоения дисциплины «Математический анализ» является формирование у будущих специалистов знаний и умения применять математический аппарат и математические

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского»

НАН ЧОУ ВО Академия маркетинга и социально информационных технологий АННОТАЦИЯ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Направление подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» направленность (профиль) программы Организация

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие... 15 Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы... 16 1.1. Основные понятия... 16 1.2. Действия над матрицами... 17 2. Определители... 20 2.1. Основные понятия... 20 2.2. Свойства

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Д. СЕРИКБАЕВА Факультет информационных технологий и энергетики УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной и методической работе Линок Н.Н. 2014 г.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ

Вопросы вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М070500-Математическое и компьютерное моделирование» Математический анализ I, II, III 1. Полнота: существование предела монотонной последовательности.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ, ИНФОРМАТИКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный университет им. А.М. Горького» Математико - механический

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 3 Введение 5 Часть первая. Математический анализ функций одной переменной 10 Глава I. Вещественные числа 10 1. Множества. Обозначения. Логические символы 10 2. Вещественные числа

Министерство образования и науки Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края «Краснодарский информационно-технологический техникум» урока

Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского» У Т В Е Р Ж Д А Ю Первый проректор М.В. Новиков 20 г. ПРОГРАММА

Программа комплексного экзамена по специальности 6М060100-Математика Билеты для вступительного экзамена в магистратуру по специальности 6М060100 «Математика» составлены по основным математическим дисциплинам

ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ 1. Математический анализ Теория пределов. Теория рядов. Основные теоремы о непрерывных функциях. Основные теоремы дифференциального исчисления. (теорема о средних значениях,

Приложение 3 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» УТВЕРЖДАЮ Проректор Р.Г. Минзарипов 20 г. МП РЕКОМЕНДОВАНО Решением Ученого

Кафедра математического анализа и теории функций Календарный план учебных занятий по дисциплине математический анализ Индекс специальности НФ курс I семестр 1 Ведущий дисциплину к.ф.-м.н., доцент Будочкина

Аннотация к рабочей программе дисциплины Б1.Б.4 Математика Направление подготовки Профиль подготовки 05.03.01 Геология Геофизика Квалификация (степень) выпускника Бакалавр Форма обучения очная Курс 1,

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

(3) МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Кафедра Высшей математики ММФ Автор программы: доцент М.П.Вишневский Лектор: 1-й семестр 1. Введение. Множества и операции над ними. Отображения множеств. Счетные множества. Действительные

Программа вступительного экзамена в магистратуру по специальности «6М060100-МАТЕМАТИКА» Математический анализ Числовая функция и способы ее задания. Предел функции и основные теоремы, определения. Критерии

ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ по образовательной программе высшего образования программе подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре ФГБОУ ВО «Орловский государственный университет имени

ВОПРОСЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ к итоговому экзамену по дисциплине «Математический анализ» Прикладная математика На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи Всего 66 вопросов год

Аннотация рабочей программы дисциплины Математический анализ (наименование дисциплины) Направление подготовки 03.03.02 физика Профиль подготовки «Фундаментальная физика», «Физика атомного ядра и частиц»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ (Пензенский филиал) Кафедра «Менеджмент, информатика и

Программа курса "Математический Анализ". Семестр 1 (72 часа лекций, 72 часа практических занятий) Тематический план лекций. I. Введение в анализ. 1. Элементы теории множеств. 2. Натуральные числа. Математическая

ВОПРОСЫ к итоговому экзамену 7/8 по дисциплине «Математический анализ» Программа «Прикладная математика» На устном экзамене студент получает два теоретических вопроса и две задачи.. Что такое числовая

Матриц. Алгебра и геометрия 1. Определители. Разложение определителя по строке и столбцу. Алгебра 2. Геометрические векторы. Скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведение векторов.

Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» Протокол 2(25) «8» сентября 2015г. зав. кафедрой к.э.н. Тимшина Д.В. Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Фонды Фонды оценочных средств по дисциплине Б.2.1 «Математический анализ» для проведения текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по направлению 080100.62 «Экономика» Тематика

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к зачету по дисциплине «Математика» I семестр I Элементы линейной алгебры 1. Понятие определителей 2-го и 3-го порядка, их вычисление и

МИНОРСКИЙ В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов. 13-е изд. М.: Издательство Физико-математической литературы, 2010. 336 с ISBN 9785-94052-184-6. ОГЛАВЛЕНИЕ ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА

1 2 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Практические занятия по дисциплине «Математика» проводятся с целью: 1. Формирования умений: - систематизировать полученные на лекционных занятиях знания и практические

Государственный комитет РСФСР по делам науки и высшей школы СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ В.П. ВЕРБНАЯ Д.А. КРЫМСКИХ Е.С. ПЛЮСНИНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методическое пособие для студентов

ГБОУ СПО Прокопьевский политехнический техникум ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ» Рекомендуется для специальности 30111 Компьютерные сети Наименование квалификации базовой подготовки

КРАТКАЯ ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МАГИСТРАТУРУ ПО ПРОГРАММЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ» 2015 г. Раздел 1. Алгебра и теория чисел 1. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Поморский государственный университет имени М. В. Ломоносова» УТВЕРЖДАЮ Ректор Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова И.Р. Луговская

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

2 Тесты промежуточной аттестации по дисциплине: Перечень вопросов к экзаменам по дисциплине «Математика» I Элементы линейной алгебры I семестр 1. Определители. Свойства определителей. 2. Матрицы. Виды

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XVI + 664 с.

Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XIV + 794 с.

Университетский учебник в двух томах для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).

Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Во вторую часть учебника включены следующие разделы: Многомерный интеграл. Дифференциальные формы и их интегрирование. Ряды и интегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды и преобразования Фурье, а также асимптотические разложения).

Часть I

• Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
  • § 1. Логическая символика
    • 1. Связки и скобки.
    • 2. Замечания о доказательствах.
    • 3. Некоторые специальные обозначения.
    • 4. Заключительные замечания.
  • § 2. Множество и элементарные операции над множествами
    • 1. Понятие множества.
    • 2. Отношение включения.
    • 3. Простейшие операции над множествами.
  • § 3. Функция
    • 1. Понятие функции (отображения).
    • 2. Простейшая классификация отображений.
    • 3. Композиция функций взаимно обратные отображения.
    • 4. Функция как отношение. График функции.
  • § 4. Некоторые дополнения
    • 1. Мощность множества (кардинальные числа).
    • 2. Об аксиоматике теории множеств.
    • 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
• Глава II. Действительные (вещественные) числа
  • § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
    • 1. Определение множества действительных чисел.
    • 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
    • 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества.
  • § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
    • 1. Натуральные числа и принцип математической индукции.
    • 2. Рациональные и иррациональные числа.
    • 3. Принцип Архимеда.
    • 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами.
  • § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
    • 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).
    • 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега.
    • 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса).
  • § 4. Счетные и несчетные множества
    • 1. Счетные множества.
    • 2. Мощность континуума.
• Глава III. Предел
  • § 1. Предел последовательности
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела последовательности.
    • 3. Вопросы существования предела последовательности.
    • 4. Начальные сведения о рядах.
  • § 2. Предел функции
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела функции.
    • 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
    • 4. Во просы существования предела функции.
• Глава IV. Непрерывные функции
  • § 1. Основные определения и примеры
    • 1. Непрерывность функции в точке.
    • 2. Точки разрыва.
  • § 2. Свойства непрерывных функций
    • 1. Локальные свойства.
    • 2. Глобальные свойства непрерывных функций.
• Глава V. Дифференциальное исчисление
  • § 1. Дифференцируемая функция
    • 2. Функция, дифференцируемая в точке.
    • 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
    • 4. Роль системы координат.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 2. Основные правила дифференцирования
    • 1. Дифференцирование и арифметические операции.
    • 2. Дифференцирование композиции функций.
    • 3. Дифференцирование обратной функции.
    • 4. Таблица производных основных элементарных функций.
    • 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
    • 6. Производные высших порядков.
  • § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
    • 1. Лемма Ферма и теорема Ролля.
    • 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
    • 3. Формула Тейлора.
  • § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
    • 1. Условия монотонности функции.
    • 2. Условия внутреннего экстремума функции.
    • 3. Условия выпуклости функции.
    • 4. Правило Лопиталя.
    • 5. Построение графика функции.
  • § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2
    • 1. Комплексные числа.
    • 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
    • 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
    • 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
    • 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
  • § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
    • 1. Движение тела переменной массы.
    • 2. Барометрическая формула.
    • 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
    • 4. Падение тел в атмосфере.
    • 5. Еще раз о числе е и функции.
    • 6. Колебания.
  • § 7. Первообразная
    • 1. Первообразная и неопределенный интеграл.
    • 2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
    • 3. Первообразные рациональных функций.
    • 4. Первообразные вида.
    • 5. Первообразные вида.
• Глава VI. Интеграл
  • § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
    • 1. Задача и наводящие соображения.
    • 2. Определение интеграла Римана.
    • 3. Множество интегрируемых функций.
  • § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
    • 1. Интеграл как линейная функция на пространстве.
    • 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
    • 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем.
  • § 3. Интеграл и производная
    • 1. Интеграл и первообразная.
    • 2. Формула Ньютона-Лейбница.
    • 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора.
    • 4. Замена переменной в интеграле.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 4. Некоторые приложения интеграла
    • 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл.
    • 2. Длина пути.
    • 3. Площадь криволинейной трапеции.
    • 4. Объем тела вращения.
    • 5. Работа и энергия.
  • § 5. Несобственный интеграл
    • 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов.
    • 2. Исследование сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
• Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность
  • § 1. Пространство R m и важнейшие классы его подмножеств
    • 1. Множество R m и расстояние в нем.
    • 2. Открытые и замкнутые множества в R m .
    • 3. Компакты в R m .
    • Задачи и упражнения.
  • § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
    • 1. Предел функции.
    • 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
• Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  • § 1. Линейная структура в R m
    • 1. R m как векторное пространство.
    • 2. Линейные отображения.
    • 3. Норма в R m .
    • 4. Евклидова структура в R m .
  • § 2. Дифференциал функции многих переменных
    • 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке.
    • 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
    • 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
    • 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
  • § 3. Основные законы дифференцирования
    • 1. Линейность операции дифференцирования.
    • 2. Дифференцирование композиции отображений.
    • 3. Дифференцирование обратного отображения.
  • § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
    • 1. Теорема о среднем.
    • 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.
    • 3. Частные производные высшего порядка.
    • 4. Формула Тейлора.
    • 5. Экстремумы функций многих переменных.
    • 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных.
  • § 5. Теорема о неявной функции
    • 1. Постановка вопроса и наводящие соображения.
    • 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
    • 3. Переход к случаю зависимости F(x 1 , …, х n , у) = 0.
    • 4. Теорема о неявной функции.
  • § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
    • 1. Теорема об обратной функции.
    • 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
    • 3. Зависимость функций.
    • 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
    • 5. Лемма Морса.
  • § 7. Поверхность в R n и теория условного экстремума
    • 1. Поверхность размерности к в R n .
    • 2. Касательное пространство.
    • 3. Условный экстремум.
• Некоторые задачи коллоквиумов
• Вопросы к экзамену
• Литература
• Алфавитный указатель

Часть II

• Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)
  • § 1. Метрическое пространство
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.
    • 3. Подпространство метрического пространства.
    • 4. Прямое произведение метрических пространств.
  • § 2. Топологическое пространство
    • 1. Основные определения.
    • 2. Подпространство топологического пространства.
    • 3. Прямое произведение топологических пространств.
  • § 3. Компакты
    • 1. Определение и общие свойства компакта.
    • 2. Метрические компакты.
  • § 4. Связные топологические пространства
  • § 5. Полные метрические пространства
    • 1. Основные определения и примеры.
    • 2. Пополнение метрического пространства.
  • § 6. Непрерывные отображения топологических пространств
    • 1. Предел отображения.
    • 2. Непрерывные отображения.
  • § 7. Принцип сжимающих отображений
• Глава Х. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения
  • § 1. Линейное нормированное пространство
    • 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа.
    • 2. Норма в векторном пространстве.
    • 3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
  • § 2. Линейные и полилинейные операторы
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Норма оператора.
    • 3. Пространство непрерывных операторов.
  • § 3. Дифференциал отображения
    • 1. Отображение, дифференцируемое в точке.
    • 2. Общие законы дифференцирования.
    • 3. Некоторые примеры.
    • 4. Частные производные отображения.
  • § 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
    • 1. Теорема о конечном приращении.
    • 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.
  • § 5. Производные отображения высших порядков
    • 1. Определение n-го дифференциала.
    • 2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала.
    • 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.
    • 4. Некоторые замечания.
  • § 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
    • 1. Формула Тейлора для отображений.
    • 2. Исследование внутренних экстремумов.
    • 3. Некоторые примеры.
  • § 7. Общая теорема о неявной функции
• Глава XI. Кратные интегралы
  • § 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
    • 1. Определение интеграла.
    • 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рнману.
    • 3. Критерий Дарбу.
  • § 2. Интеграл по множеству
    • 1. Допустимые множества.
    • 2. Интеграл по множеству.
    • 3. Мера (объем) допустимого множества.
  • § 3. Общие свойства интеграла
    • 1. Интеграл как линейный функционал.
    • 2. Аддитивность интеграла.
    • 3. Оценки интеграла.
  • § 4. Сведение кратного интеграла к повторному
    • 1. Теорема Фубини.
    • 2. Некоторые следствия.
  • § 5. Замена переменных в кратном интеграле 139
    • 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы - замены переменных.
    • 2. Измеримые множества и гладкие отображения.
    • 3. Одномерный случай.
    • 4. Случай простейшего диффеоморфизма в R n .
    • 5. Композиция отображений и формула замены переменных.
    • 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.
    • 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах.
  • § 6. Несобственные кратные интегралы
    • 1. Основные определения.
    • 2. Мажорантный призивк сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Замена переменных в несобственном интеграле.
• Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в R n
  • § 1. Поверхности в R n
  • § 2. Ориентация поверхности
  • § 3. Край поверхности и его ориентация
    • 1. Поверхность с краем.
    • 2. Согласование ориентации поверхности и края.
  • § 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
  • § 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
    • 1. Дифференциальная форма, определение и примеры.
    • 2. Координатная запись дифференциальной формы.
    • 3. Внешний дифференциал формы.
    • 4. Перенос векторов и форм при отображениях.
    • 5. Формы на поверхностях.
• Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
  • § 1. Интеграл от дифференциальной формы
    • 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры.
    • 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности.
  • § 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
    • 1. Масса материальной поверхности.
    • 2. Плбщадь поверхности как интеграл от формы.
    • 3. Форма объема.
    • 4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
    • 5. Интегралы первого и второго рода.
  • § 3. Основные интегральные формулы анализа
    • 1. Формула Грина.
    • 2. Формула Гаусса-Остроградского.
    • 3. Формула Стокса в R 3 .
    • 4. Общая формула Стокса.
• Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля
  • § 1. Дифференциальные Ъперации векторного анализа
    • 1. Скалярные и векторные поля
    • 2. Векторные поля и формы в R 3 .
    • 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V.
    • 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа.
    • 5. Векторные операции в криволинейных координатах.
  • § 2. Интегральные формулы теории поля
    • 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях.
    • 2. Физическая интерпретация.
    • 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы.
  • § 3. Потенциальные поля
    • 1. Потенциал векторного поля.
    • 2. Необходимое условие потенциальности.
    • 3. Критерий потенциальности векторного поля.
    • 4. Топологическая структура области и потенциал.
    • 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы.
  • § 4. Примеры приложений
    • 1. Уравнение теплопроводности.
    • 2. Уравнение неразрыв ности.
    • 3. Основные уравнения динамики сплошной среды.
    • 4. Волновое уравнение.
• Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305
  • § 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
    • 1. Алгебра форм.
    • 2. Алгебра кососимметрических форм.
    • 3. Линейные отображения линейных пространств, и сопряженные отображения сопряженных пространств. Задачи и упражнения
  • § 2. Многообразие.
    • 1. Определение многообразия.
    • 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения.
    • 3. Ориентация, многообразия и, его края.
    • 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R n .
  • § 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
    • 1. Касательное пространство к многообразию в точке.
    • 2. Дифференциальная форма на многообразии.
    • 3. Внешний дифференциал.
    • 4. Интеграл от формы по многообразию.
    • 5. Формула Стокса.
  • § 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
    • 1. Теорема Пуанкаре.
    • 2. Гомологии и когомологви.
• Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций
  • § 1. Поточечная и равномерная сходимость
    • 1. Поточечная сходимость.
    • 2. Постановка основных вопросов.
    • 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящвх от параметра.
    • 4. Критерий Коши равномерной сходимости.
  • § 2. Равномерная сходимость рядов функций
    • 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда.
    • 2. Признак Вейергатрасса равномерной сходимости ряда.
    • 3. Признак Абеля-Дирихле.
  • § 3. Функциональные свойства предельной функции
    • 1. Конкретизация задачи.
    • 2. Условия коммутнрованвя двух предельных переходов.
    • 3. Непрерывность и предельный переход.
    • 4. Интегрирование и предельный переход.
    • 5. Дифференцирование и предельный переход.
  • § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
    • 1. Теорема Арцела-Асколи.
    • 2. Метрическое пространство.
    • 3. Теорема Стоуна.
• Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра
  • § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
    • 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
    • 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
  • § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра.
    • 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
    • 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
  • § 3. Эйлеровы интегралы
    • 1. Бета-функция.
    • 2. Гамма-функция.
    • 3. Связь между функциями В и Г.
    • 4. Некоторые примеры.
  • § 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
    • 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения).
    • 2. Некоторые общие свойства свертки.
    • 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимациониая теорема Вейерштрасса.
    • 4. Начальные представления о распределениях.
  • § 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью.
    • 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае.
• Глава XVIII Рид Фурье и преобразование Фурье
  • § 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
    • 1. Ортогональные системы функций.
    • 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье.
    • 3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе.
  • § 2. Тригонометрический ряд Фурье
    • 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье.
    • 2. Исследование поточечной схвдимости тригонометрического ряда Фурье.
    • 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье.
    • 4. Полнота тригонометрической системы.
  • § 3. Преобразование Фурье
    • 1. Представление функции интегралом Фурье.
    • 2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
    • 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье.
    • 4. Примеры приложений.
• Глава XIX. Асимптотические разложения
  • § 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
    • 1. Основные определения.
    • 2. Общие сведения об асимптотических рядах.
    • 3. Степенные асимптотические ряды.
  • § 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
    • 1. Идея метода Лапласа.
    • 2. Принцип локализации дли интеграла Лапласа.
    • 3. Канонические интегралы и их асимптотика.
    • 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа.
    • 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа.
• Задачи и упражнения
• Литература
• Указатель основных обозначений
• Алфавитный указатель

Учебник представляет собой первую часть трехтомного курса математического анализа для высших учебных заведений СССР, Болгарии и Венгрии, написанного в соответствий с соглашением о сотрудничестве между Московским, Софийским и Будапештским университетами. Книга включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию неявных функций.

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА.
В предыдущей главе мы убедились в том, что развитие теории вещественных чисел необходимо для строгого и последовательного изучения понятия предела, являющегося одним из важнейших понятий математического анализа.

Необходимая нам теория вещественных чисел, излагаемая в этой главе, включает в себя определение операций упорядочения сложения и умножения этих чисел и установление основных свойств указанных операций, а также доказательство существования точных граней у множеств чисел, ограниченных сверху илю снизу.

В конце главы дается представление о дополнительных вопросах теории вещественных чисел, не являющихся необходимыми для построения теории пределов и вообще курса математического анализа (полнота множества вещественных чисел в смысле Гильберта, аксиоматическое построение теории вещественных чисел, связь между различными способами введения вещественных; чисел).

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математический анализ, Начальный курс, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.X., Тихонов А.Н., 1985 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

• Математический анализ, Продолжение курса, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.X., Тихонов А.Н., 1987
• Математический анализ, Начальный курс, Часть 1, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х., 1985
• Математический анализ, Начальный курс, Том 1, Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х., 1985
• Математический анализ - Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. - Продолжение курса

Следующие учебники и книги.