Положительные и отрицательные числа изучаются в самом начале курса математики, в шестом классе. Хотя дальнейшее обучение требует постоянно работать с этими числами, неудивительно, что по прошествии времени некоторые мелочи забываются - и люди начинают совершать грубые ошибки.
Умножение и деление - одни из самых частых действий с числами, имеющими разные знаки. Разберемся и вспомним, как нужно перемножать и делить такие числа между собой, ставя в ответе правильный знак.
Умножение чисел с разными знаками
Это правило - одно из самых простых в арифметике.
- Если перед нами есть некое положительное число «а», и его требуется умножить на отрицательное число «z», то мы просто перемножаем числа - а потом ставим перед результатом знак «минус».
- Можно сказать и так - чтобы умножить друг на друга числа с разными знаками, нужно перемножить между собой модули множителей, а потом вернуть знак «минус» в ответ.
Для утверждения справедлива следующая цифровая запись: -а*z = - (|а|*|z|). Также напомним, что для нуля действуют особые правила - если на него умножается какое-либо число, положительное или отрицательное, ответ в любом случае будет равен нулю.
Возьмем пару простых примеров.
- Если выражение выглядит, как – 5*6, то решать его нужно следующим образом: -5*6 = - (|5|*|6|) = - 30.
- Если выражение следующего типа - - 7*0, то в ответе сразу пишется 0.
Деление чисел с разными знаками
Для таких случаев тоже действует очень простое правило. Оно похоже на предыдущее - если задача требует разделить «–а» на «b», или «a» на «–b», то для начала мы берем модули чисел, их абсолютные значения, и совершаем процесс деления безо всякой перестановки делимого и делителя.
Таким образом находится частное - а затем к нему добавляется знак «минус». Неважно, выступает ли в роли делимого отрицательное число, или наоборот, мы делим число со знаком «плюс» на отрицательное - ответ всегда будет со знаком «минус». Иначе говоря, числовым методом мы записываем это так: -a: b = - (|a| : |b|).
Например, - 10: 2 = - (10:2) = - 5, или 21: (-3) = - (21:3) = - 7. В конечном итоге деление совсем не сложное и сводится к привычным нам действиям над модулями чисел.
И точно так же, как в предыдущем случае, на особенном положении находится нуль. Его присутствие в выражении автоматически дает нуль в ответе. И неважно, это 0:а или а:0 - и попытка деления нуля, и деление на нуль дают одинаковый результат.
Теперь давайте разберемся с умножением и делением .
Предположим, нам нужно умножить +3 на -4. Как это сделать?
Давайте рассмотрим такой случай. Три человека залезли в долги, и у каждого по 4 доллара долга. Чему равен общий долг? Для того чтобы его найти, надо сложить все три долга: 4 доллара + 4 доллара + 4 доллара = 12 долларов. Мы с вами решили, что сложение трех чисел 4 обозначается как 3×4. Поскольку в данном случае мы говорим о долге, перед 4 стоит знак «-». Мы знаем, что общий долг равен 12 долларам, так что теперь наша задача имеет вид 3х(-4)=-12.
Мы получим тот же результат, если по условию задачи каждый из четырех человек имеет долг по 3 доллара. Другими словами, (+4)х(-3)=-12. А поскольку порядок сомножителей значения не имеет, получаем (-4)х(+3)=-12 и (+4)х(-3)=-12.
Давайте обобщим результаты. При перемножении одного положительного и одного отрицательного числа результат всегда будет отрицательным числом . Численная величина ответа будет той же самой, как и в случае положительных чисел. Произведение (+4)х(+3)=+12. Присутствие знака «-» влияет только на знак, но не влияет на численную величину.
А как перемножить два отрицательных числа?
К сожалению, на эту тему очень трудно придумать подходящий пример из жизни. Легко себе представить долг в сумме 3 или 4 доллара, но совершенно невозможно вообразить -4 или -3 человека, которые залезли в долги.
Пожалуй, мы пойдем другим путем. В умножении при изменении знака одного из множителей меняется знак произведения. Если мы меняем знаки у обоих множителей, мы должны дважды сменить знак произведения , сначала с положительного на отрицательный, а затем наоборот, с отрицательного на положительный, то есть у произведения будет первоначальный знак.
Следовательно, вполне логично, хотя немного странно, что (-3)х(-4)=+12.
Положение знака при умножении изменяется таким образом:
- положительное число х положительное число = положительное число;
- отрицательное число х положительное число = отрицательное число;
- положительное число х отрицательное число = отрицательное число;
- отрицательное число х отрицательное число = положительное число.
Иначе говоря, перемножая два числа с одинаковыми знаками, мы получаем положительное число . Перемножая два числа с разными знаками, мы получаем отрицательное число .
Такое же правило справедливо и для действия противоположного умножению – для .
Вы легко можете в этом убедиться, проведя обратные операции умножения . Если в каждом из примеров, приведенных выше, вы умножите частное на делитель, то получите делимое, и убедитесь, что оно имеет тот же самый знак, например (-3)х(-4)=(+12).
Поскольку скоро зима, то пора уже подумать о том, в что переобуть своего железного коня, что бы не скользить по льду и чувствовать себя уверено на зимних дорогах. Можно, например, взять шины йокогама на сайте: mvo.ru или какие-то другие, главное, что бы качественный, больше информации и цены вы можете узнать на сайте Mvo.ru.
В данной статье дается подробный обзор деления чисел с разными знаками . Сначала приведено правило деления чисел с разными знаками. Ниже разобраны примеры деления положительных чисел на отрицательные и отрицательных чисел на положительные.
Навигация по странице.
Правило деления чисел с разными знаками
В статье деление целых чисел было получено правило деления целых чисел с разными знаками . Его можно распространить и на рациональные числа , и на действительные числа , повторив все рассуждения из указанной статьи.
Итак, правило деления чисел с разными знаками имеет следующую формулировку: чтобы разделить положительное число на отрицательное или отрицательное число на положительное, надо делимого разделить на модуль делителя, и перед полученным числом поставить знак минус.
Запишем это правило деления с помощью букв. Если числа a и b имеют разные знаки, то справедлива формула a:b=−|a|:|b| .
Из озвученного правила понятно, что результатом деления чисел с разными знаками является отрицательное число. Действительно, так как модуль делимого и модуль делителя есть положительнее числа, то их частное есть положительное число, а знак минус делает это число отрицательным.
Отметим, что рассмотренное правило сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел.
Можно привести другую формулировку правила деления чисел с разными знаками: чтобы разделить число a на число b , нужно число a умножить на число b −1 , обратное числу b . То есть, a:b=a·b −1 .
Это правило можно использовать, когда есть возможность выходить за пределы множества целых чисел (так как далеко не каждое целое число имеет обратное). Иными словами, оно применимо на множестве рациональных, а также на множестве действительных чисел.
Понятно, это правило деления чисел с разными знаками позволяет от деления перейти к умножению.
Это же правило используется при делении отрицательных чисел .
Осталось рассмотреть, как данное правило деления чисел с разными знаками применяется при решении примеров.
Примеры деления чисел с разными знаками
Рассмотрим решения нескольких характерных примеров деления чисел с разными знаками , чтобы усвоить принцип применения правил из предыдущего пункта.
Пример.
Разделите отрицательное число −35 на положительное число 7 .
Решение.
Правило деления чисел с разными знаками предписывает сначала найти модули делимого и делителя. Модуль числа −35 равен 35 , а модуль числа 7 равен 7 . Теперь нам нужно разделить модуль делимого на модуль делителя, то есть, надо разделить 35 на 7 . Вспомнив, как выполняется деление натуральных чисел , получаем 35:7=5 . Остался последний шаг правила деления чисел с разными знаками – поставить минус перед полученным числом, имеем −5 .
Вот все решение: .
Можно было исходить из другой формулировки правила деления чисел с разными знаками. В этом случае сначала находим число, обратное делителю 7 . Этим числом является обыкновенная дробь 1/7 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение чисел с разными знаками : . Очевидно, мы пришли к такому же результату.
Ответ:
(−35):7=−5 .
Пример.
Вычислите частное 8:(−60) .
Решение.
По правилу деления чисел с разными знаками имеем 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60)
. Полученному выражению соответствует отрицательная обыкновенная дробь (смотрите знак деления как черта дроби), можно провести сокращение дроби на 4
, получаем 
.
Запишем все решение кратко: .
Ответ:
.
При делении дробных рациональных чисел с разными знаками их обычно делимое и делитель представляют в виде обыкновенных дробей. Это связано с тем, что с числами в другой записи (например, в десятичной) не всегда удобно выполнять деление.
Пример.
Решение.
Модуль делимого равен , а модуль делителя равен 0,(23) . Чтобы провести деление модуля делимого на модуль делителя, перейдем к обыкновенным дробям.
Осуществим перевод смешанного числа в обыкновенную дробь : 
, а также
В этой статье мы рассмотрим деление положительных чисел на отрицательные и наоборот. Дадим подробный разбор правила деления чисел с разными знаками, а также приведем примеры.
Правило деления чисел с разными знаками
Правило для целых чисел с разными знаками, полученное в статье о делении целых чисел, справедливо также для рациональных и действительных чисел. Приведем более общую формулировку этого правила.
Правило деления чисел с разными знаками
При делении положительного числа на отрицательное и наоборот нужно модуль делимого разделить на модуль делителя, а результат записать со знаком минус.
В буквенном виде это выглядит так:
a ÷ - b = - a ÷ b
A ÷ b = - a ÷ b .
Результатом деления чисел с разными знаками всегда является отрицательное число. Рассмотренное правило, по сути, сводит деление чисел с разными знаками к делению положительных чисел, так как модули делимого и делителя являются положительными.
Еще одна эквивалентная математическая формулировка данного правила имеет вид:
a ÷ b = a · b - 1
Чтобы разделить числа a и b , имеющие разные знаки, нужно число a умножить на число, обратное числу b , то есть b - 1 . Данная формулировка применима на множестве рациональных и действительных чисел, она позволяет перейти от деления к умножению.
Рассмотрим теперь, как применять описанную выше теорию на практике.
Как делить числа с разными знаками? Примеры
Ниже мы рассмотрим несколько характерных примеров.
Пример 1. Как делить числа с разными знаками?
Разделим - 35 на 7 .
Сначала запишем модули делимого и делителя:
35 = 35 , 7 = 7 .
Теперь разделим модули:
35 7 = 35 7 = 5 .
Допишем перед результатом знак минус и получим ответ:
Теперь воспользуемся другой формулировкой правила и вычислим число, обратное 7 .
Теперь проведем умножение:
35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5 .
Пример 2. Как делить числа с разными знаками?
Если мы делим дробные числа с рациональными знаками, делимое и делитель нужно представить в виде обыкновенных дробей.
Пример 3. Как делить числа с разными знаками?
Разделим смешанное число - 3 3 22 на десятичную дробь 0 , (23) .
Модули делимого и делителя соответственно равны 3 3 22 и 0 , (23) . Переводя 3 3 22 в обыкновенную дробь, получаем:
3 3 22 = 3 · 22 + 3 22 = 69 22 .
Делитель также представим в виде обыкновенной дроби:
0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .
Теперь делим обыкновенные дроби, выполняем сокращения и получаем результат:
69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 · 99 23 = - 3 2 · 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2 .
В заключение рассмотрим случай, когда делимое и делитель являются иррациональными числами и записываются в виде корней, логарифмов, степеней и т.д.
В такой ситуации частное записывается в виде числового выражения, которое по возможности упрощается. При необходимости вычисляется его приближенное значение с необходимой точностью.
Пример 4. Как делить числа с разными знаками?
Разделим числа 5 7 и - 2 3 .
По правилу деления чисел с разными знаками, запишем равенство:
5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 · 2 3 .
Избавимся от иррациональности в знаменателе и получим окончательный ответ:
5 7 · 2 3 = - 5 · 4 3 14 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
§ 1 Умножение положительных и отрицательных чисел
В этом уроке познакомимся с правилами умножения и деления положительных и отрицательных чисел.
Известно, что любое произведение можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых.
Cлагаемое -1 нужно сложить 6 раз:
(-1)+(-1)+(-1) +(-1) +(-1) + (-1) =-6
Значит произведение -1 и 6 равно -6.
Числа 6 и -6 -противоположные числа.
Таким образом, можно сделать вывод:
При умножении -1 на натуральное число получится противоположное ему число.
Для отрицательных чисел, так же как для положительных, выполняется переместительный закон умножения:
Если натуральное число умножить на -1, то также получится противоположное число
При умножении любого неотрицательного числа на 1 получится это же число.
Например:
Для отрицательных чисел данное утверждение тоже верно: -5 ∙1 = -5; -2 ∙ 1 = -2.
При умножении любого числа на 1 получится это же число.
Мы уже убедились, что при умножении минус 1 на натуральное число получится противоположное ему число. При умножении отрицательного числа данное утверждение тоже справедливо.
Например: (-1) ∙ (-4) = 4.
Также -1 ∙ 0 = 0, число 0 противоположно само себе.
При умножении любого числа на минус 1 получится противоположное ему число.
Перейдем к другим случаям умножения. Найдем произведение чисел -3 и 7.
Отрицательный множитель -3 можно заменить произведением -1 и 3. Тогда можно применить сочетательный закон умножения:
1 ∙ 21 = -21, т.е. произведение минус 3 и 7 равно минус 21.
При умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
А чему равно произведение чисел с одинаковыми знаками?
Мы знаем, что при умножении двух положительных чисел получится положительное число. Найдем произведение двух отрицательных чисел.
Заменим один из множителей произведением с множителем минус 1.
Применим выведенное нами правило, при умножении двух чисел с разными знаками получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей,
получится -80.
Сформулируем правило:
При умножении двух чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, модуль которого равен произведению модулей множителей.
§ 2 Деление положительных и отрицательных чисел
Перейдем к делению.
Подбором найдем корни следующих уравнений:
y ∙ (-2) = 10. 5 ∙ 2 = 10, значит х = 5; 5 ∙ (-2) = -10, значит а = 5; -5 ∙ (-2) = 10, значит y = -5.
Запишем решения уравнений. В каждом уравнении неизвестен множитель. Неизвестный множитель находим, разделив произведение на известный множитель, значения неизвестных множителей мы уже подобрали.
Проанализируем.
При делении чисел с одинаковыми знаками (а это первое и второе уравнения) получается положительное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя.
При делении чисел с разными знаками (это третье уравнение) получается отрицательное число, модуль которого равен частному модулей делимого и делителя. Т.е. при делении положительных и отрицательных чисел знак частного определяется по тем же правилам, что знак произведения. А модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
Таким образом, мы сформулировали правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел.
Список использованной литературы:
- Математика. 6 класс: поурочные планы к учебнику И.И. Зубаревой, А.Г. Мордковича//автор-составитель Л.А. Топилина. – Мнемозина, 2009.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений. И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2013.
- Математика. 6 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений./Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2013.
- Справочник по математике - http://lyudmilanik.com.ua
- Справочник для учащихся в средней школе http://shkolo.ru
