Биография. Годфри Харолд Харди: биография Ученый харди

английский математик

Годфри Харди

Краткая биография

Го́дфри Ха́ролд Ха́рди (англ. Godfrey Harold Hardy; 7 февраля 1877, Кранли, Великобритания - 1 декабря 1947, Кембридж, Великобритания) - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.

Родился в небольшом городке на юге Англии в семье учителей, оба родителя имели склонность к математике, хотя и преподавали другие предметы. Математические способности самого Харди начали проявляться ещё в возрасте двух лет.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учёбы он занял четвёртое место на конкурсе выпускников.

В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Начиная с 1911 года Харди очень плодотворно сотрудничает с Джоном Литлвудом. Большинство работ Харди написано именно в сооавторстве с Литлвудом. Ходила даже шутка, что в Англии живёт три великих математика - Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий.

Одним из самых своих больших открытий сам Харди в интервью венгерскому математику Палу Эрдёшу называл открытие молодого индийского математика Сринивасы Рамануджана, наставником которого он был с 1914 года, с которым впоследствии написал много работ.

Среди его друзей были Джордж Мур, Бертран Рассел и Джон Мейнард Кейнс. Он принимал участие в Союзе демократического контроля во время Первой мировой войны и Союзе за интеллектуальную свободу в конце 1930-х годов.

Член Лондонского королевского общества (1910).

Математическая работа

Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой , в отличие от математики имевшей прикладное, особенное военное значение. В начале Второй мировой войны Харди, убеждённый пацифист, желал оправдать своё убеждение в том, что математика должна быть продолжена для неё же самой, а не ради её приложений. Он хотел написать книгу, в которой мог бы объяснить свою философию математикам следующего поколения; книгу, которая будет защищать математиков путём разработки по существу исключительно чистой математики, без необходимости прибегать к достижениям прикладной математики в целях оправдания общей значимости математики; книгу, способную вдохновить грядущие поколения чистых математиков. Харди был убеждённым атеистом, и его «оправдание» обращено не к Богу, а к соратникам и коллегам.

В своей книге «Апология математика» он говорит:

Я никогда не делал чего-нибудь «полезного». Ни одно мое открытие не принесло и не могло бы принести, явно или неявно, к добру или ко злу, ни малейшего изменения в благоустройстве этого мира.

Одной из главных тем книги является красота, которой обладает математика, которую Харди сравнивает с живописью, шахматами и поэзией. Для Харди, самой красивой математикой является та, которая не имеет практического применения во внешнем мире (чистая математика). В первую очередь это «математика для математики» - теория чисел. Харди утверждает, что если полезные знания определяются как знания, которые могут влиять на материальное благополучие человечества в ближайшем будущем (если не прямо сейчас), так, что чисто интеллектуальное удовлетворение несущественно, то большая часть высшей математики бесполезна. Он оправдывает стремление к чистой математике аргументом, что её совершенная «ненужность» в целом лишь означает, что она не может быть использована для причинения вреда. С другой стороны, Харди считает многое из прикладной математики «тривиальным», «уродливым» или «скучным», и сравнивает её с «настоящей математикой», которой является, по его мнению, чистая математика.

В теории чисел Харди занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов, а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел. Совместно с M. Райт нашел два решения задачи о четырёх кубах (формулы Харди и Райт). Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика числа разбиений p (n) .

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящён теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета. Всего после двух лет учебы он занял четвертое место на конкурсе выпускников.

В 1900 году Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 году становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований. В 1919 году он занял пост профессора математики в Оксфордском университете. В 1931 году Харди вернулся в Кембридж, где пробыл на посту профессора до 1942 года.

Одним из самых своих больших открытий сам Харди называл открытие индийского математика Рамануджана, с которым впоследствии написал много работ.

Член Лондонского королевского общества (1910).

Математическая работа

Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики имевшей прикладное, особенное военное значение. В своей книге "Апология математика" он говорит:

Я никогда не делал чего-нибудь "полезного". Ни одно мое открытие не принесло или могло бы принести, явно или не явно, к добру или к злу, малейшего изменения в благоустройстве мира.

В теории чисел он занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга. Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел.

В теории функций занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

Ничто не предвещало появления выпуска, посвященного известному английскому математику Харди, так как в моём архиве был только один анекдот из жизни этого незаурядного человека, который только и ожидал случая, чтобы появиться на свет. Потом этих анекдотов стало два, три... И тут я понял, что совершенно ничего не знаю об этом человеке.
Я немного знал о его многолетнем соавторе Джоне Литлвуде, так как в своё время у меня в руках побывала его книга “Математическая смесь”, но Харди...
Годфри Харолд Харди (Godfrey Harold Hardy, 1877-1947) - английский математик.
Джон Идензор Литлвуд (1885-1977) - английский математик.
Предпринятые мной поиски собрали довольно большое количество любопытного материала, фрагменты которого и составили настоящий выпуск. Это не будет биографией крупного учёного, но это и не сборник анекдотов (хотя, куда уж без них!). Всё же я начну с анекдотической истории из его жизни.

Харди и гипотеза Римана

Одним из ближайших друзей Харди был известный датский математик Харальд Август Бор (1887-1951), родной брат знаменитого физика Нильса Бора. Во время совместной работы Харди и Бор много гуляли, иногда садились на скамейки и записывали результаты своих размышлений – ведь у них всегда был с собой блокнот для записей. Но первой записью в каждом блокноте по настоянию Харди была:

"Доказать гипотезу Римана".

Результатом этих прогулок было множество интересных материалов, но справиться с гипотезой Римана им так и не удалось. Свои летние каникулы Харди однажды проводил в Дании у Харальда Бора, но когда пришла пора возвращаться в Англию, ему пришлось рассчитывать только на небольшой катер, а воздушного сообщения с Англией тогда ещё не было. Пересекать Северное море на такой посудине было довольно опасно, но другого выхода у Харди в тот момент не было.
Перед отплытием Харди отправил Харальду Бору открытку с текстом:

"Я доказал гипотезу Римана! Г.Х. Харди".

Он рассчитывал, что если катер вместе с ним потонет, то все поверят в то, что он действительно доказал гипотезу Римана.
Но, как говорят, Божинька не фраер, и Харди благополучно вернулся на родину. О том, как он объяснялся потом с Харальдом Бором, история умалчивает. Известный писатель и учёный Ч.П. Сноу так писал о Харди:

"Харди был чистейшим из чистых математиков. К тому же он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём".

Чарльз Перси Сноу (1905-1980) - английский писатель, учёный и общественный деятель. Харди действительно был довольно эксцентричным человеком с определённым набором странностей.
Так, он терпеть не мог зеркала, и в его жилых помещениях не было никаких зеркал, а в гостиницах он занавешивал зеркала полотенцами.
Харди очень не любил фотографироваться, так что едва ли наберётся с десяток его фотографий. Сноу об этих странностях Харди писал снисходительно и с уважением:

"В данном случае его поведение выглядело чудачеством…
Его поведение часто разнилось от общепринятого, выглядело странным, но это, по-видимому, было лишь каким-то наслоением, потому что в действительности он вовсе не отличался от нас, разве что был более деликатным, менее надутым и к тому же очень тонким человеком...
Его поведение часто отличалось, причём самым причудливым образом, от нашего, но казалось, что оно исходило от некоторой суперструктуры, наложенной на природу, - суперструктуры, которая ничем не отличалась от нашей, разве что была более деликатной, менее погрязшей в суесловии и обладала более тонкой нервной организацией".

Кстати, Сноу был в дружеских, а одно время и в достаточно близких отношениях с Харди. Как-то Сноу пришёл к Харди утром, когда учёный обычно занимался научной деятельностью. Сноу знал об этом и поэтому пробормотал:

"Надеюсь, не помешал?"

Харди оторвался от своих занятий, улыбнулся и саркастически ответил:

"Как вы непременно должны были бы заметить, ваши надежды не оправдались, и вы помешали. И всё же я всегда рад вас видеть".

В течение большей части своей жизни Харди твёрдо придерживался определённого распорядка дня. Он вставал, по современным понятиям, довольно рано и за завтраком обязательно читал “Таймс”. Если в газете были отчёты о соревнованиях по крикету, то он начинал именно с них, причём изучал их очень внимательно.
Один из его друзей, Дж.М. Кейнс, как-то заметил, что если бы Харди с таким же вниманием каждый день по полчаса изучал биржевые отчёты, то довольно быстро стал бы богатым человеком.
Джон Мейнард Кейнс (1883-1946) - видный английский экономист. С девяти утра до часу дня Харди занимался своими математическими исследованиями; это в том случае, если в этот день у него не было лекций. Харди утверждал, что четыре часа творческой работы в день - это предел для математика.
Потом следовал второй завтрак, уже в столовой колледжа, после которого он отправлялся: зимой - на закрытый теннисный корт, а летом - на крикетную площадку, где он и сам мог поиграть, или смотрел на проходившие там игры. Сноу писал:

"Само собой понятно, что летом мы постоянно встречались на университетской крикетной площадке. Огибая гаревую дорожку, он шёл, как всегда, немного раскачиваясь, уверенным широким шагом. Голова опущена, а волосы, галстук, бумаги, которые он держит, - всё развевается и как бы плывёт в воздухе. На него нельзя было не обратить внимания.
"Вот идёт греческий поэт", -
однажды сказал про него какой-то весельчак, когда Харди проходил мимо".

В своей “Апологии математика” Харди написал, что вначале он не собирался выбирать математику в качестве своей профессии. Он мог бы стать, например, историком, но ему повезло с наставником:

"Глаза мне открыл профессор Лав, который учил меня несколько семестров и дал мне первое серьёзное представление о математическом анализе. Но более всего я признателен ему за то, что он, будучи по существу прикладным математиком, посоветовал мне прочитать “Курс анализа” Жордана. Я никогда не забуду то изумление, которое охватило меня при чтении этой замечательной книги, ставшей источником первого вдохновения для столь многих математиков моего поколения, и я впервые понял, что такое математика в действительности. С тех пор я стал и остаюсь поныне - на свой собственный лад - настоящим математиком со здравыми математическими амбициями и подлинной страстью к математике".

Огастес Эдуард Хью Лав (Augustus Edward Hough Love 1863-1940) - английский математик и механик, специалист по математической теории упругости.
Мари Энмон Камилл Жордан (1838-1922) - французский математик. Став членом Тринити-колледжа в Кембридже, Харди окончательно решил, что он не верит в Бога. С этих пор Харди категорически отказывался посещать церковь даже по такому поводу, как выборы ректора, а с Богом у него оставались особые счёты, как это мы уже видели в истории с гипотезой Римана. Стандартной шуткой Харди была такая:

"Можно подумать, что у Бога нет более важных дел, чем досаждать Харди".

По поводу отношений Харди с Богом хочу привести ещё парочку анекдотов. Однажды Харди отдыхал в швейцарском курорте Энегельберг, где собрались хорошо ему знакомые люди: Дьёрдь Пойа и Фердинанд Гонсет. Они частенько играли в бридж, и четвёртым в свою кампанию они брали фрау Пойа. Всё было замечательно, кроме погоды, так как каждый день шли дожди.
Когда настало время Гонсету возвращаться домой, друзья проводили его на поезд, и перед отправлением Харди попросил Гонсета:

"Будьте добры, когда поезд тронется, высуньтесь в окошко и, глядя на небо, крикните:

Харди рассуждал так: если Бог поверит, что Харди уехал, то он пришлёт хорошую погоду.
Вы не поверите, но после отъезда Гонсета дожди действительно прекратились.
Фердинанд Гонсет (1890-1975) – швейцарский математик и философ.
Дьёрдь Пойа (1887-1985) - венгерский математик. Другой случай произошёл в Лондоне в середине тридцатых годов XX века. Проходил один важный крикетный матч на стадионе “Lord"s”, и бэтсмэн одной из команд пожаловался, что его всё время слепит отражение солнца от какого-то блестящего предмета. Судьи остановили игру и стали осматривать стадион и его окрестности. Окна домов и автомобили вроде бы никаких заметных бликов не давали, да и высоких домов вокруг стадиона не было. Вскоре один из судей обнаружил, что солнце отражалось от большого наперсного креста некоего священника. Судья вежливо попросил священника снять крест, что привело Харди в неописуемый восторг. Примерно в это же время Харди играл с приятелями в крикет на площадке комплекса “Fenner"s”, когда раздались шестичасовые удары колокола расположенной неподалёку церкви. Харди остановился и с горечью произнёс:

" Какое несчастье, что некоторые из счастливейших часов моей жизни я вынужден проводить под звуки римско-католической церкви".

Несколько слов следует сказать и о профессиональной деятельности Харди. Став членом Тринити-колледжа в Кембридже, Харди начал довольно плодотворно заниматься математическими исследованиями, в основном, в области теории чисел. Его работы довольно скоро стали получать признание у коллег, так что его карьера ни у кого не вызывала сомнений и удивлений. В 1906 году он получил право на чтение лекций (6 часов в неделю), а вскоре стал членом Королевского общества. За первые десять лет своей деятельности Харди получил известность, как крупный математик, но как он сам позднее отмечал, его работам не хватало блеска. В своей “Апологии математика” Харди писал об этом периоде:

"За следующие десять лет я написал много работ, но очень мало из них имели хотя бы какое-то значение: лишь четыре или пять из них я всё ещё могу вспомнить с некоторым удовлетворением".

К этому же периоду относится и знакомство Харди с венгерским математиком Дьёрдем Пойа, который уже появлялся в нашем повествовании. Следующее появление Пойа на этих страницах тоже носит анекдотический характер. Харди некоторое время работал вместе с Пойа, и во время их совместной работы Пойа выдвинул некую оригинальную идею, которую Харди одобрил. Однако Пойа не спешил развивать свою идею, что не понравилось Харди, который прямо не выказал своё недовольство коллеге.
Харди сделал это несколько позже, когда вместе с другим коллегой он посетил Стокгольмский зоопарк. Там они увидели медведя, сидящего в запертой клетке, а замок висел на дверце снаружи. Медведь подошёл к дверце, потрогал лапой замок, фыркнул, немного порычал и ушёл вглубь клетки.
Харди саркастически заметил:

"Как он похож на Пойа – у того тоже бывают великолепные идеи, но он никогда не доводит их до конца".

(Окончание следует)

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, - совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике.

Годфри Харольд Харди

Всё было как обычно за преподавательским столом в столовой Крайст-колледжа, за исключением того, что за обедом с нами сидел в качестве гостя Годфри Харольд Харди. Он только что вернулся в Кембридж профессором математики. Все были в восторге от его возвращения. Ведь он, как говорили, не в пример Дираку и Бору, о которых постоянно твердят физики, самый настоящий, чистейший математик… Тогда - в 1931 году - в английском языке ещё не было подходящего выражения, но в более поздние годы о нём бы, наверно, сказали, что он в какой-то степени наделён свойствами прославленной «звезды».

Чарльз Перси Сноу

Годфри Харольд Харди (7 февраля 1877 - 1 декабря 1947) - английский математик, известный своими работами в теории чисел и математическом анализе. Широко известен вне круга математиков благодаря эссе «Апология математика» (1940), одном из лучших изложений сущности математики и профессии математика для неспециалистов.

Харди родился в небольшом городке на юге Англии в скромной учительской семье. Его отец был казначеем и учителем закрытой средней школы, а мать - старшей преподавательницей в педагогическом колледже. Оба были людьми одарёнными, со склонностью к математике. Харди уже в раннем детстве проявились способности будущего математика. В два года он уже писал числа до миллиона. Когда его водили в церковь, он забавлялся тем, что разлагал на множители номера церковных псалмов. Уже с той поры он начал играть с цифрами, сохранив эту привычку на всю жизнь.

Ребёнком Харди был необычным. С ранних детских лет он отличался болезненной застенчивостью. Он был первым учеником в классе, и ему приходилось публично, на торжественных собраниях всей школы, получать награды, что было для него ужасным испытанием.

Со временем он отчасти избавился от своей застенчивости и стал стремиться к соревнованию с другими. В «Апологии математика» он говорит:

Не помню, чтобы мальчиком я питал страсть к математике, а мысль о том, что я могу добиться успеха как математик, была далека от благородных побуждений. Я относился к математике с точки зрения сдачи экзаменов: мне хотелось опередить других учеников, а математика казалась мне наиболее верным средством для достижения этой цели.

В двенадцать лет Харди получил стипендию в Уинчестерской школе, которая и тогда, и долгие годы спустя считалась лучшей математической школой в Англии.

Харди вскоре стал первым учеником по математике, но и по другим классическим предметам он не отставал от лучших учеников колледжа. Он не любил школу, но любил занятия. Подобно всем закрытым учебным заведениям викторианского времени, Уинчестерская школа была достаточно неприятным местом. В одну из зим Харди едва там не умер. Он завидовал своим друзьям, которые учились в обычных средних школах.

Окончив Уинчестерскую школу, Харди никогда больше туда не заглядывал, но он вышел из неё с уверенностью человека, который находится на верном пути и имеет возможность получить стипендию в Тринити-колледже.

В 1896 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета.

В колледже Харди пришлось испытать некоторые злоключения. Дело в том, что Харди решил ещё в Уинчестерской школе, что он не верит в бога. В Тринити-колледже посещение церкви было обязательным. Но Харди заявил декану, что совесть не позволяет ему посещать церковь. Декан, потребовал, чтобы Харди написал об этом родным. Он знал, что подобное известие огорчит его родителей, людей глубоко верующих. Совесть мучила Харди. В конце концов, он не выдержал и написал родным. С тех пор, отчасти благодаря этому случаю, Харди стал открытым и деятельным атеистом. Он отказывался идти в церковь даже тогда, когда там устраивались официальные собрания, например, выбирался глава колледжа.

С самого начала своих занятий в Тринити-колледже Харди попал в путы системы математического образования. Надо было научиться преодолевать, как скаковая лошадь, множество математических упражнений, которые он и в девятнадцать лет считал бессмысленными. Ему наняли известного репетитора, который славился тем, что весьма успешно готовил к сдаче таких экзаменов. Репетитор в совершенстве знал все препоны и все козни, чинимые экзаменаторами, и величественно пренебрегал самой математикой.

В 1898 году Харди после сдачи экзамена оказался на четвёртом месте. Это несколько разозлило его, как он признавался впоследствии. Но он был достаточно настойчив, чтобы продолжать соревнование, ибо был уверен, что победит.

В 1900 году Харди успешно выдержал экзамен, что дало ему право на получение стипендии и позволяло остаться в университете. Харди становится сотрудником факультета, а с 1906 года становится лектором с нагрузкой в 6 часов в неделю, что давало много свободного времени для собственных исследований.

Именно тогда, в сущности, и определилась его жизнь. Харди поставил перед собой цель - внести строгую точность в английский математический анализ. Он никогда не оставлял исследовательской работы, которую называл «постоянным величайшим счастьем своей жизни». Не было у него сомнений и в том, чем он должен заниматься. Ни он сам, ни люди, знавшие его, не сомневались в его большом таланте.

В 1910 году тридцати трёх летнего Харди избрали членом Лондонского королевского общества.

Харди чрезвычайно повезло во многих отношениях. Ему не пришлось думать о своей учёной карьере. А с двадцати трёх лет он имел и полную свободу, о которой только мог мечтать человек, и средства, какие ему были необходимы.

Его ранние работы между 1900 и 1911 годами были достаточно серьёзны, чтобы он мог стать членом Королевского общества и добиться международного признания, но сам он не считал их значительными. С его стороны это было не ложной скромностью, а суждением опытного мастера, который ясно видит достоинства и недостатки своей работы.

В 1911 году началось его научное содружество с Литлвудом, которое продолжалось тридцать пять лет, почти до самой смерти Харди. Большинство работ Харди создал, главным образом с Литлвудом, причём их сотрудничество стало самым прославленным в истории математики. Ничего подобного ещё не встречалось в какой-нибудь другой области науки или творческой деятельности. Вместе с Литлвудом он написал около ста научных работ. Ходила даже шутка, что в Англии живут три великих математика - Харди, Литлвуд и Харди-Литлвуд, причем третий из них самый великий. Работы Харди-Литлвуда в течение жизни целого поколения господствовали в английской чистой математике и оказали значительное влияние на развитие этой науки во всём мире.

В 1913 году Харди открыл никому не известного индийского математика Рамануджана, что положило начало ещё одному научному содружеству.

Рамануджан был бедным клерком из Мадраса, вместе с женой он жил на двадцать фунтов стерлингов в год.

Свои работы письмом он отправлял нескольким известным математикам, чтобы узнать их мнение. Отреагировал только Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживленная переписка, в результате которой у Харди накапливается около 120 формул, не известных науке. Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном:

Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их.

Он решил, что Рамануджан должен приехать в Англию. Материальная сторона дела не была в данном случае главной проблемой. Тринити-колледж всегда стремился поддержать редкие таланты. Позднее Харди решил, что Рамануджан - прирождённый математический гений, равный Гауссу и Эйлеру.

В 1914 году Рамануджан приехал в Англию. Взаимоотношения Харди и Рамануджана были удивительно трогательными. Харди не забывал, что перед ним гений, но гений почти без всякого образования, даже математического. Рамануджан не мог поступить в Мадрасский университет, потому что не сдал бы экзамена по английскому языку.

Харди пришлось обучать его основным положениям математики. Это был совершенно необычный опыт, рассказывал Харди, так как современная математика воспринималась в данном случае таким человеком, который обладал глубочайшей математической интуицией, но буквально никогда не слышал о большинстве математических положений.

Рамануджан обычно слушал его внимательно, с терпеливой улыбкой на добром и милом лице. Рамануджан был самоучка и не имел никакого представления о точности современного научного вывода; в известном смысле он вообще не понимал, каким должно быть научное доказательство.

Как бы то ни было, они вместе создали пять работ огромного научного значения, в которых и Харди проявил свою блестящую оригинальность. Англия оказала Рамануджану всяческие почести. В тридцать лет его избрали членом Королевского общества (что даже для профессионального математика было необычно рано), и в том же году он был избран членом учёного совета Тринити-колледжа. Он оказался первым индийцем, удостоившимся таких отличий. Но вскоре Рамануджан заболел, вынужден был уехать на родину, где в 1920 году умер.

Харди предпочитал называть свою работу чистой математикой, в отличие от математики, имевшей прикладное, особенное военное значение. В своей книге «Апология математика» он говорит:

Я никогда не делал чего-нибудь «полезного». Ни одно мое открытие не принесло или могло бы принести, явно или не явно, к добру или к злу, малейшего изменения в благоустройстве мира.

В теории чисел он занимался теорией простых чисел и теорией дзета-функции, а также проблемой Варинга.

Вместе с Литлвудом они доказали несколько условных результатов, а также выдвинули две важные гипотезы о распределении простых чисел.

Совместно с Райт нашел два решения задачи о четырех кубах (формулы Харди и Райт). Совместно с Рамануджаном им была получена асимптотика функции p (n ) , где p (n ) - число представление n в виде суммы положительных целых чисел, один из фундаментальных объектов изучения в теории чисел.

В теории функций Харди занимался теорией тригонометрических рядов и исследованием неравенств. Ряд его работ посвящен теории интегральных преобразований и теории интегральных уравнений.

В 1919 году Харди предложили профессуру в Оксфордском университете, и это стало началом счастливейшего периода его жизни. Он уже написал вместе с Рамануджаном и Литлвудом крупные научные работы, но теперь его содружество с последним достигло своей полной силы. Он был «во цвете лет для выдумки», как говорил когда-то Ньютон, но у Харди это происходило после сорока - необычно поздно для математика.

Этот поздний творческий подъём создавал у него ощущение сохранившейся молодости, что было для него важнее, чем для многих других людей. Харди вёл жизнь молодого человека, каким он и был по своей натуре. Он ещё играл в теннис, и даже лучше, чем раньше. Ему нравилась Америка, и он часто приезжал в американские университеты.

В течение двух лет с 1924 года по 1926 год он был президентом Ассоциации научных работников. Харди саркастически заметил, что это довольно странный выбор, поскольку он «самый непрактичный представитель наиболее непрактичной в мире профессии». Но в важных делах он вовсе не был так уж непрактичен.

Его вторая молодость в Оксфорде в двадцатых годах была такой счастливой, что многие думали, что он уже никогда не вернётся обратно в Кембридж. Но в 1931 году он вернулся. Это было вызвано двумя причинами. Первая была связана с научными интересами, так как Кембридж всё ещё оставался центром английской математики. Вторая объяснялась заботой о своей старости. Дело в том, что в оксфордских колледжах, где обстановка в целом была весьма тёплой и дружеской, существовало одно безжалостное к старикам правило: после отставки в 65 лет профессор должен был освободить занимаемую им университетскую квартиру. А вернувшись обратно в кембриджский Тринити-колледж, Харди мог бы жить при колледже до конца своих дней.

В 1939 году у Харди обнаружили серьёзное заболевание - коронарный тромбоз. Он подлечился, однако с теннисом, с любой игрой в мяч, как и вообще с любимой им гимнастикой, пришлось окончательно распрощаться. Начавшаяся вторая мировая война ещё больше омрачила его существование.

В это время трагически погиб один из его ближайших друзей. Все эти горести в конце концов и привели к тому, что после шестидесяти лет в нём угасли духовные силы и, во всяком случае, творческие силы математика.

Вот почему его «Апология математика», если её читать с тем вниманием, какого она заслуживает, представляется книгой неотступной печали. Да, эта книга остроумна, тонка, отмечена весёлой живостью ума; да, она написана с кристальной ясностью и прямотой; она - откровение подлинного художника. Но в то же время эта книга - страстное и мужественное сожаление об исчезнувших творческих силах, которые никогда больше не вернутся.

В ноябре 1947 года Королевское общество удостоило Харди своей высшей награды - медали Копли. Узнав об этом, Харди в первый раз за последние месяцы оживился и с великолепной мефистофельской усмешкой сказал:

Теперь я знаю, что должен скоро умереть. Когда люди торопятся оказать вам почести - это самый верный признак, что конец близок.

Имя Харди носят следующие математические объекты:

пространство Харди
теорема Харди
первая гипотеза Харди - Литлвуда
вторая гипотеза Харди - Литлвуда
формулы Харди
неравенство Харди
число Рамануджана - Харди
теорема Рамануджана - Харди.

По материалам Википедии, книги Г.Г. Харди «Апология математика» (Ижевск, «Регулярная и хаотическая динамика», 2000) и вступительной статьи к ней - Чарльз Перси Сноу «Г.Г. Харди».

Член Лондонского королевского общества (1910).