Medianen är segmentet som dras från triangelns spets till mitten av den motsatta sidan, det vill säga det delar det på mitten med skärningspunkten. Den punkt där medianen skär den motsatta sidan från vilken den kommer ut kallas basen. Genom en punkt, som kallas skärningspunkten, passerar varje median i triangeln. Formeln för dess längd kan uttryckas på flera sätt.
Formler för att uttrycka längden på medianen
- Ofta i problem inom geometri måste eleverna ta itu med ett sådant segment som medianen för en triangel. Formeln för dess längd uttrycks i termer av sidorna:
där a, b och c är sidor. Dessutom är c den sida på vilken medianen faller. Så här ser den enklaste formeln ut. Triangelmedianer krävs ibland för hjälpberäkningar. Det finns andra formler också.
- Om under beräkningen två sidor av triangeln och en viss vinkel α placerad mellan dem är kända, kommer längden på triangelns median, sänkt till den tredje sidan, att uttryckas enligt följande.
Grundläggande egenskaper
- Alla medianer har en gemensam skärningspunkt O och de är också dividerade med den i förhållandet två till ett, om vi räknar från toppen. Denna punkt kallas triangelns tyngdpunkt.
- Medianen delar triangeln i två andra, vars area är lika. Sådana trianglar kallas lika trianglar.
- Om du ritar alla medianerna kommer triangeln att delas upp i 6 lika siffror, som också kommer att vara trianglar.
- Om i en triangel alla tre sidorna är lika, så kommer var och en av medianerna också att vara en höjd och en bisektrik, det vill säga vinkelrät mot sidan som den är ritad till, och halverar vinkeln från vilken den går ut.
- I en likbent triangel kommer medianen som faller från en vertex som är motsatt en sida som inte är lika med någon annan också att vara höjden och bisektrisen. Medianer som faller från andra hörn är lika. Detta är också ett nödvändigt och tillräckligt villkor för likbent.
- Om triangeln är basen av en vanlig pyramid, projiceras höjden som sänks på denna bas till skärningspunkten för alla medianer.
- I en rätvinklig triangel är medianen som dras till den längsta sidan halva dess längd.
- Låt O vara skärningspunkten för triangelns medianer. Formeln nedan kommer att gälla för vilken punkt M som helst.
- En annan egenskap är medianen för en triangel. Formeln för kvadraten på dess längd i termer av kvadraterna på sidorna presenteras nedan.
Egenskaper för de sidor som medianen dras till
- Om du kopplar samman två skärningspunkter för medianerna med sidorna på vilka de är sänkta, kommer det resulterande segmentet att vara triangelns mittlinje och vara en halva från sidan av triangeln med vilken den inte har några gemensamma punkter.
- Baserna för höjderna och medianerna i triangeln, liksom mittpunkterna för segmenten som förbinder triangelns hörn med höjdernas skärningspunkt, ligger på samma cirkel.
Sammanfattningsvis är det logiskt att säga att ett av de viktigaste segmenten är just triangelns median. Dess formel kan användas för att hitta längden på dess andra sidor.
Den här sidan ägnas åt en ganska vanlig informationsresurs - beskrivningen och beräkningen av arean av en godtycklig triangel. Skillnaden från andra resurser är beräkningen av området online, direkt i processen att läsa artikeln
Area genom höjd och bas
Detta är den enklaste formeln att komma ihåg. Med ord låter den här formeln så här - Arean av en triangel är hälften av produkten av triangelns bas och dess höjd.
När det gäller en rätvinklig triangel får detta uttryck en ännu enklare betydelse: Arean av en rätvinklig triangel är hälften av produkten av två ben
area i termer av sidor i en triangel
Området för en triangel uttryckt i termer av sidor har varit känt under mycket lång tid - det förekommer i böcker som går tillbaka till 1:a århundradet f.Kr.
Denna formel kan uttryckas på olika sätt, eftersom formlerna för att beräkna parametrarna för en triangel räcker.
Men om du försöker tänka i termer av tiden före vår tideräkning, när det inte fanns några formler i den moderna representationen, det fanns inga variabler och tecken på roten, så var det enda axiom på grundval av vilket Heron skapade sin formel Pythagoras sats. Och eftersom irrationella siffror ännu inte var kända på den tiden, och forskare hade en ganska skeptisk syn på negativa, användes heltal för reflektion.
Själva beviset kommer inte att finnas här, om man bara antar att Heron kompletterade en godtycklig pytagoreisk triangel till en rektangel, beräknade dess area och dividerade med två.
Area via vertexkoordinater
När koordinaterna för en triangels hörn är kända kan areaformeln uttryckas på följande sätt:
Den tredje ordningens determinant bryts lätt ned, och därför kommer beräkningen av arean, även i manuellt läge, inte att orsaka några svårigheter.
Area genom två sidor och vinkeln mellan dem
Fyrkantig tvärs över en sida och två hörn
En sällsynt uppgift, men även för sådana initiala data beräknades en formel. En uppmärksam läsare ser genast "felet". Rubriken säger att området känns igen genom en sida och två vinklar, det vill säga genom tre variabler, och alla fyra finns i formeln. Hur så?
I själva verket är det inget misstag, att känna till ett av triangelns grundläggande axiom, som säger det summan av de inre vinklarna i en triangel är alltid (!!) lika med 180 grader
Därför är det inget svårt, att känna till två vinklar i en triangel, att ta reda på den tredje.
Area genom medianerna av en triangel
| Median per sida a | |
| Median per sida b | |
| Median per sida med |
Vacker formel, eller hur?
som innehåller detta avsnitt. Skärningspunkten mellan medianen och sidan av triangeln kallas basen av medianen.
- Man kan också introducera begreppet yttre median triangel.
Encyklopedisk YouTube
1 / 3
✪ MEDIANER för bisektrisen och triangelns HÖJDER - Grad 7
✪ Median för en triangel. Konstruktion. Egenskaper.
✪ bisektris, median, triangelhöjd. Geometri årskurs 7
undertexter
Egenskaper
Huvudfastighet
Alla tre medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, som kallas triangelns tyngdpunkt eller tyngdpunkt, och delas av denna punkt i två delar i förhållandet 2: 1, räknat från toppen.
Egenskaper för medianerna i en likbent triangel
- I en likbent triangel är två medianer som dras till lika sidor av triangeln lika, och den tredje medianen är både bisektrisen och höjden.
- Det omvända är också sant: om två medianer i en triangel är lika, då är triangeln likbent, och den tredje medianen är både bisektrisen och höjden på vinkeln vid dess spets.
- I en liksidig triangel är alla tre medianerna lika.
Egenskaper för medianbaser
- Eulers sats för en cirkel nio punkter: baserna för de tre höjderna i en godtycklig triangel, mittpunkterna på dess tre sidor ( baser för dess medianer) och mittpunkterna av de tre segmenten som förbinder dess hörn med ortocentrum , alla ligger på samma cirkel (den s.k. niopunktscirkel).
- Segmentet igenom grunder alla två medianer av en triangel är dess mittlinje. En triangels mittlinje är alltid parallell med den sida av triangeln som den inte har några gemensamma punkter med.
- Följd (sats Thales om parallell segment). En triangels mittlinje är halva längden på sidan av triangeln som den är parallell med.
Övriga fastigheter
- Om triangel mångsidig (scalene), då ligger dess bisektris från vilken vertex som helst mellan medianen och höjden från samma vertex.
- Medianen delar triangeln i två lika stora (i area) trianglar.
- En triangel delas med tre medianer i sex trianglar med lika stor yta.
- Från segmenten som bildar medianerna kan du göra en triangel, arean som kommer att vara lika med 3/4 av hela triangeln. Medianlängderna uppfyller triangelolikheten.
- I en rätvinklig triangel är medianen från en rätvinklig vertex halva hypotenusan.
- Den längre sidan av triangeln motsvarar den mindre medianen.
- Rak segment, symmetrisk eller isogonalt konjugerat den inre medianen med avseende på den inre halveringslinjen kallas triangelns symmedian. Tre simedianer passera genom en punkt Lemoines poäng.
- Median för en vinkel i en triangel isotomiskt konjugerad till sig själv.
Grundläggande förhållanden
I synnerhet är summan av kvadraterna av medianerna i en godtycklig triangel 3/4 av summan av kvadraterna på dess sidor: m a 2 + m b 2 + m c 2 = 3 4 (a 2 + b 2 + c 2) (\displaystyle m_(a)^(2)+m_(b)^(2)+m_(c)^(2) =(\frac (3)(4))(a^(2)+b^(2)+c^(2))).
- Omvänt kan man uttrycka längden på en godtycklig sida av en triangel i termer av medianer:
Lektion 3
Medianen delar arean av triangeln på mitten
De två trianglarna kallas lika stora. Om de har samma område.
Sats 1. Medianen delar triangeln i två trianglar med lika stor yta.
Bevis:
Låt VM vara medianen för triangeln ABC. Låt oss bevisa det
https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg" width="289" height="227">
Rita höjden BH på triangeln ABC. Sedan
,
https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif" width="136" height="34 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif" width="217" height="55 src=">.
Q.E.D.
Sats 2. Medianerna för en triangel delar upp den i sex trianglar med lika stor yta.
Särskilt av satsen följer det att om skärningspunkten för en triangels medianer är ansluten till alla dess hörn, kommer triangeln att delas i tre lika delar.
Uppgift 1 Två medianer i en triangel är inbördes vinkelräta och lika med 3 respektive 4. Hitta triangelns area.
Lösning.
Låt medianerna AM och BE vara lika med 3 respektive 4 i triangeln ABC, , K är skärningspunkten för medianerna.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif" width="120" height="47 src=">.
Eftersom triangel ABC är en rätvinklig triangel med rät vinkel BCA, alltså 
.
Eftersom medianerna delar triangeln i 6 lika delar, då .
Svar: 8
Uppgift 2 Triangelns median är 6, 8 och 10, hitta arean av triangeln.
Lösning.
Låt medianerna AM, VARA Och CD av denna triangel är lika med 6, 8 respektive 10, K är punkten för deras skärningspunkt. Låt oss skjuta på fortsättningen av strålen BE bortom punkten E segmentet EF= KE. Anslut punkterna C, F och A.
Tänk på en triangel KAF.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif" width="152" height="41 src=">
https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif" width="67" height="19 src=">, eftersom CKAE är ett parallellogram (på basis av ett parallellogram: om diagonalerna av en fyrhörning divideras med skärningspunkten på mitten, upp till ett givet fyrsidigt parallellogram), får vi 
.
Sedan https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif" width="125" height="20 src=">, sedan genom den inversa Pythagoras sats (om kvadraten på ena sidan av triangeln är lika med summan av kvadraterna två av dess andra sidor, då är triangeln rätvinklig) triangeln KAF är rätvinklig och .
Beräkna arean av triangeln AKF:
https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif" width="104" height="41 src=">.gif" width="104" height="41 src=">.
https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif" width="16 height=41" height="41"> från området för själva triangeln.
Beviset kan ses till exempel i metodhandboken "Support Problems in Planimetry".
Frågor för självrannsakan:
1. Vilka trianglar kallas lika area?
2. Arean av triangeln är lika med S. Vad är arean för var och en av trianglarna som den delas i med medianen som dras till någon sida av denna triangel?
3. I hur många lika delar delar en triangel upp i tre medianer ritade i den?
4. Triangelns area är S. Centroiden av denna triangel är ansluten till dess hörn. Vad är arean för var och en av de resulterande trianglarna?
5. Arean av en triangel är 48, vad är arean av en triangel som består av medianerna för denna triangel?
6. Arean av en triangel som består av medianerna för någon triangel är 24, vad är arean av triangeln?
Visa svar.
Uppgifter för oberoende lösning:
1. Två medianer av en triangel är ömsesidigt vinkelräta och lika med 6 respektive 8. Hitta arean av triangeln.
Se lösning.
2. Triangelns medianer är 3, 4 och 5, bestäm triangelns area.
Se lösning.
3. Triangel ABC, vars sidor är 13 cm, 14 cm och 15 cm, är uppdelad i tre trianglar av segment som förbinder punkten M skärningspunkterna mellan en triangels median och triangelns hörn. Hitta arean av en triangel Marin.
Se lösning.
4. Två sidor av en triangel är 10 och 12, och medianen som dras till den tredje är 5. Hitta triangelns area.
Se lösning.
Egenskaper
- Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, som kallas tyngdpunkten, och delas av denna punkt i två delar i förhållandet 2: 1, räknat från toppen.
- En triangel delas med tre medianer i sex trianglar med lika stor yta.
- Den längre sidan av triangeln motsvarar den mindre medianen.
- Av vektorerna som bildar medianerna kan du göra en triangel.
- Med affina transformationer går medianen till medianen.
- Medianen för en triangel delar den i två lika stora delar.
Formler
- Formeln för medianen genom sidorna (härledd genom Stewarts sats eller genom att komplettera den till ett parallellogram och använda likheten i parallellogrammet av summan av kvadraterna på sidorna och summan av kvadraterna på diagonalerna):
- Sidoformel i termer av median:
Om två medianer är vinkelräta är summan av kvadraterna på de sidor som de släpps till 5 gånger kvadraten på den tredje sidan.
Mnemonisk regel
median apa,
som har ett skarpt öga
hoppa precis i mitten
sidor mot toppen,
var är nu.
Anteckningar
se även
Länkar
Wikimedia Foundation. 2010 .
Se vad "Median av en triangel" är i andra ordböcker:
Median: Medianen för en triangel i planimetri, segmentet som förbinder triangelns spets med mittpunkten på motsatt sida i statistik, medianen är populationsvärdet som delar den rankade dataserien i halva Median (statistik) ... . .. Wikipedia
Median: Median för en triangel i planimetri, segmentet som förbinder triangelns spets till mittpunkten på den motsatta sidan Median (statistik) kvantil 0,5 Median (spår) mittlinjen av spåret ritat mellan höger och vänster ... Wikipedia
Triangel och dess medianer. Medianen för en triangel är ett segment inuti en triangel som förbinder triangelns spets med mittpunkten på den motsatta sidan, samt en rät linje som innehåller detta segment. Innehåll 1 Egenskaper 2 Formler ... Wikipedia
En linje som förbinder spetsen av en triangel med mittpunkten av dess bas. En komplett ordbok över främmande ord som har kommit till användning på det ryska språket. Popov M., 1907. median (lat. mediana medium) 1) geol. ett segment som förbinder toppen av en triangel med ... ... Ordbok med främmande ord i ryska språket
Median (från latinets mediana mitt) i geometri, ett segment som förbinder en av hörnen i en triangel med mittpunkten på den motsatta sidan. Tre M.-trianglar skär varandra i en punkt, som ibland kallas triangelns "tyngdpunkt", så ... Stora sovjetiska encyklopedien
En triangel är en rät linje (eller dess segment inuti en triangel) som förbinder triangelns spets med mittpunkten på den motsatta sidan. Tre M. trianglar skär varandra i en punkt, till paradiset kallas triangelns tyngdpunkt, tyngdpunkten eller ... ... Matematisk uppslagsverk
- (från lat. mediana mitten) ett segment som förbinder spetsen av en triangel med mitten av den motsatta sidan ... Stor encyklopedisk ordbok
MEDIAN, median, kvinnor. (lat. mediana, lit. mitten). 1. En rät linje ritad från spetsen på en triangel till mitten av den motsatta sidan (mat.). 2. I statistik, för en serie av många data, en kvantitet som har egenskapen att antalet data, ... ... Ushakovs förklarande ordbok
MEDIAN, s, kvinnlig I matematik: ett rakt linjesegment som förbinder spetsen på en triangel med mittpunkten på den motsatta sidan. Förklarande ordbok för Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992 ... Förklarande ordbok för Ozhegov
MEDIAN (från lat. mediana mitten), ett segment som förbinder spetsen av en triangel med mitten av den motsatta sidan ... encyklopedisk ordbok
