Alla egenskaper hos logaritmformeln. Grundläggande egenskaper hos logaritmer. Övergång till en ny stiftelse

Som du vet, när du multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b * a c = a b + c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsindikatorer. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på användning av denna funktion finns nästan överallt där det krävs för att förenkla besvärlig multiplikation till enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. Enkelt och lättillgängligt språk.

Definition i matematik

Logaritmen är ett uttryck av följande form: log a b=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" enligt dess bas "a" anses vara potensen av "c ", till vilken det är nödvändigt att höja basen "a", så att i slutändan få värdet "b". Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en sådan grad att du får 8 från 2 till önskad grad. Efter att ha gjort några beräkningar i ditt sinne får vi siffran 3! Och med rätta, eftersom 2 i 3 potens ger talet 8 i svaret.

Variationer av logaritmer

För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna betydelse och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:

1. Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
2. Decimal a, där basen är 10.
3. Logaritmen för valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att erhålla de korrekta värdena på logaritmer bör man komma ihåg deras egenskaper och ordningen för åtgärder i sina beslut.

Regler och vissa restriktioner

I matematik finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanna. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera roten till en jämn grad från negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig hur du arbetar även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

• basen "a" måste alltid vara större än noll och samtidigt inte vara lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
• om a > 0, då a b > 0, visar det sig att "c" måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel, uppgiften gavs för att hitta svaret på ekvationen 10 x \u003d 100. Det är väldigt enkelt, du måste välja en sådan makt, höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 \u003d 100.

Låt oss nu representera detta uttryck som ett logaritmiskt uttryck. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta i vilken grad basen för logaritmen måste anges för att få ett givet tal.

För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell över grader. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt tänkesätt och kunskap om multiplikationstabellen. Större värden kräver dock en effekttabell. Det kan användas även av de som inte förstår någonting alls i komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c, till vilken talet a höjs. Vid skärningspunkten i cellerna bestäms värdena på talen, vilket är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest verkliga humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att under vissa förhållanden är exponenten logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk ekvation. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som logaritmen av 81 till bas 3, vilket är fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att överväga exempel och lösningar på ekvationer lite lägre, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.

Ett uttryck av följande form ges: log 2 (x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under logaritmens tecken. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet i bas två är större än talet tre.

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av olikheten, både intervallet av acceptabla värden och de punkter som bryter denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning enskilda tal, som i svaret på ekvationen, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.

Grundläggande satser om logaritmer

När man löser primitiva uppgifter för att hitta värdena för logaritmen, kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att bekanta oss med exempel på ekvationer senare, låt oss först analysera varje egenskap mer detaljerat.

1. Den grundläggande identiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller bara om a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
2. Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är förutsättningen: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmformel, med exempel och en lösning. Låt log a s 1 = f 1 och log a s 2 = f 2 , sedan a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får att s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), och vidare per definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, vilket skulle bevisas.
3. Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritmen". Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik vilar på vanliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga a b \u003d t, det visar sig a t \u003d b. Om du höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;

men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, därav log a q b n = (n*t)/t, då log a q b n = n/q log a b. Teoremet har bevisats.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av logaritmproblem är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och ingår även i den obligatoriska delen av prov i matematik. För att komma in på ett universitet eller klara antagningsprov i matematik måste du veta hur du löser sådana uppgifter korrekt.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Du kan förenkla långa logaritmiska uttryck om du använder deras egenskaper korrekt. Låt oss snart lära känna dem.

När man löser logaritmiska ekvationer är det nödvändigt att bestämma vilken typ av logaritm vi har framför oss: ett exempel på ett uttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att du måste bestämma i vilken grad basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För lösningar av naturliga logaritmer måste man tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så låt oss titta på exempel på hur man använder huvudsatserna på logaritmer.

1. Egenskapen för produktens logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att dekomponera ett stort värde av talet b i enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, med hjälp av den fjärde egenskapen för logaritmens grad, lyckades vi vid första anblicken lösa ett komplext och olösligt uttryck. Det är bara nödvändigt att faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.

Uppgifter från tentamen

Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statligt prov för alla utexaminerade från skolan). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdelen av provet), utan också i del C (de svåraste och mest omfattande uppgifterna). Provet innebär en korrekt och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och problemlösning är hämtade från de officiella versionerna av tentamen. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2 , enligt logaritmens definition får vi att 2x-1 = 2 4 , därför 2x = 17; x = 8,5.

• Alla logaritmer reduceras bäst till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
• Alla uttryck under logaritmens tecken indikeras som positiva, därför, när man tar ut exponenten för exponenten för uttrycket, som är under logaritmens tecken och som dess bas, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.

Logaritmen för ett tal N av skäl A kallas exponent X , som du behöver höja A för att få numret N

Förutsatt att
,
,

Det följer av definitionen av logaritmen att
, dvs.
- denna jämlikhet är den grundläggande logaritmiska identiteten.

Logaritmer till bas 10 kallas decimallogaritmer. Istället för
skriva
.

baslogaritmer e kallas naturliga och betecknas
.

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

Enhetslogaritmen för varje bas är noll

Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna för faktorerna.

3) Kvotens logaritm är lika med skillnaden mellan logaritmerna

Faktor
kallas övergångsmodulen från logaritmer vid basen a till logaritmer vid basen b .

Med hjälp av egenskaperna 2-5 är det ofta möjligt att reducera logaritmen för ett komplext uttryck till resultatet av enkla aritmetiska operationer på logaritmer.

Till exempel,

Sådana transformationer av logaritmen kallas logaritmer. Transformationer som är reciproka av logaritmer kallas potentiering.

Kapitel 2. Element i högre matematik.

1. Gränser

funktionsgräns
är ett ändligt tal A om, när man strävar xx 0 för varje förutbestämt
, det finns ett nummer
det så snart
, Den där
.

En funktion som har en gräns skiljer sig från den med en oändlig mängd:
, där - b.m.w., dvs.
.

Exempel. Tänk på funktionen
.

När man strävar
, funktion y går till noll:

1.1. Grundläggande satser om gränser.

Gränsen för ett konstant värde är lika med detta konstanta värde

.

Gränsen för summan (skillnaden) av ett ändligt antal funktioner är lika med summan (skillnaden) av gränserna för dessa funktioner.

Gränsen för en produkt av ett ändligt antal funktioner är lika med produkten av gränserna för dessa funktioner.

Gränsen för kvoten för två funktioner är lika med kvoten för gränserna för dessa funktioner om gränsen för nämnaren inte är lika med noll.

Anmärkningsvärda gränser

,
, Var

1.2. Exempel på gränsberäkning

Alla gränser är dock inte beräknade så enkelt. Oftare reduceras beräkningen av gränsen till avslöjandet av typosäkerhet: eller .

.

2. Derivata av en funktion

Låt oss ha en funktion
, kontinuerlig på segmentet
.

Argument fick lite boost
. Då kommer funktionen att ökas
.

Argumentvärde motsvarar värdet på funktionen
.

Argumentvärde
motsvarar värdet på funktionen.

Därav, .

Låt oss finna gränsen för detta förhållande vid
. Om denna gräns finns, kallas den derivatan av den givna funktionen.

Definition av 3derivatan av en given funktion
genom argument kallas gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet godtyckligt tenderar mot noll.

Funktionsderivata
kan betecknas på följande sätt:

; ; ; .

Definition 4 Operationen att hitta derivatan av en funktion kallas differentiering.

2.1. Den mekaniska betydelsen av derivatan.

Tänk på den rätlinjiga rörelsen hos någon stel kropp eller materialpunkt.

Låt någon gång i tiden rörlig punkt
var på avstånd från startpositionen
.

Efter en tid
hon flyttade sig en bit
. Attityd =- medelhastighet för en materialpunkt
. Låt oss hitta gränsen för detta förhållande, med hänsyn till det
.

Följaktligen reduceras bestämningen av den momentana hastigheten för en materialpunkt till att hitta derivatan av banan med avseende på tid.

2.2. Geometriskt värde för derivatan

Anta att vi har en grafiskt definierad funktion
.

Ris. 1. Den geometriska betydelsen av derivatan

Om
, då poängen
, kommer att röra sig längs kurvan och närma sig punkten
.

Därav
, dvs. värdet av derivatan givet värdet av argumentet är numeriskt lika med tangenten för vinkeln som bildas av tangenten vid en given punkt med axelns positiva riktning
.

2.3. Tabell över grundläggande differentieringsformler.

Power funktion

Exponentiell funktion

logaritmisk funktion

trigonometrisk funktion

Omvänd trigonometrisk funktion

2.4. Differentieringsregler.

Derivat av

Derivata av summan (skillnaden) av funktioner

Derivat av produkten av två funktioner

Derivatan av kvoten av två funktioner

2.5. Derivat av en komplex funktion.

Låt funktionen
så att den kan representeras som

Och
, där variabeln är alltså ett mellanargument

Derivatan av en komplex funktion är lika med produkten av derivatan av den givna funktionen med avseende på det mellanliggande argumentet med derivatan av det mellanliggande argumentet med avseende på x.

Exempel1.

Exempel 2.

3. Funktionsdifferential.

Låt det finnas
, differentierbar på något intervall
släpp det på denna funktion har en derivata

,

då kan du skriva

(1),

Var - en oändlig mängd,

eftersom kl

Multiplicera alla termer av jämlikhet (1) med
vi har:

Var
- b.m.v. högre ordning.

Värde
kallas funktionens differential
och betecknas

.

3.1. Differensens geometriska värde.

Låt funktionen
.

Fig.2. Den geometriska betydelsen av differentialen.

.

Uppenbarligen skillnaden mellan funktionen
är lika med inkrementet av tangentens ordinata vid den givna punkten.

3.2. Derivat och differentialer av olika ordningsföljder.

Om det
, Då
kallas förstaderivatan.

Derivatan av den första derivatan kallas andra ordningens derivata och skrivs
.

Derivat av funktionens n:e ordning
kallas derivatan av (n-1) ordningen och skrivs:

.

Differentialen för differentialen för en funktion kallas den andra differentialen eller den andra ordningens differential.

.

.

3.3 Att lösa biologiska problem med hjälp av differentiering.

Uppgift 1. Studier har visat att tillväxten av en koloni av mikroorganismer följer lagen
, Var N – antal mikroorganismer (i tusentals), t – tid (dagar).

b) Kommer befolkningen i kolonin att öka eller minska under denna period?

Svar. Kolonin kommer att växa i storlek.

Uppgift 2. Vattnet i sjön testas periodiskt för att kontrollera innehållet av patogena bakterier. Genom t dagar efter testning bestäms koncentrationen av bakterier av förhållandet

.

När kommer den lägsta koncentrationen av bakterier i sjön och det ska gå att bada i den?

Lösning En funktion når max eller min när dess derivata är noll.

,

Låt oss bestämma max eller min kommer om 6 dagar. För att göra detta tar vi den andra derivatan.

Svar: Efter 6 dagar kommer det att finnas en lägsta koncentration av bakterier.

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: log a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

1. logga a x+logg a y= logg a (x · y);
2. logga a x−logg a y= logg a (x : y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen "Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

log 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ut ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

[Bildtext]

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi reducera bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till en ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma tal?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logga a x. Sedan för vilket nummer som helst c Så att c> 0 och c≠ 1, likheten är sann:

[Bildtext]

I synnerhet om vi sätter c = x, vi får:

[Bildtext]

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är endast när man löser logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls går att lösa förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet, numret n blir argumentets exponent. siffra n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det kallas den grundläggande logaritmiska identiteten.

Ja, vad kommer att hända om antalet b höja till makten så att b i denna utsträckning ger en siffra a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:

[Bildtext]

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Givet reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

Om någon inte vet så var det här en riktig uppgift från provet :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

1. logga a a= 1 är den logaritmiska enheten. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från denna bas själv är lika med en.
2. logga a 1 = 0 är logaritmisk noll. Bas a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! Därför att a 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Idag ska vi prata om logaritmformler och ge demonstration exempel på lösningar.

I sig själva innebär de lösningsmönster enligt logaritmernas grundläggande egenskaper. Innan vi tillämpar logaritmformlerna på lösningen minns vi först alla egenskaper för dig:

Nu, baserat på dessa formler (egenskaper), visar vi exempel på att lösa logaritmer.

Exempel på att lösa logaritmer utifrån formler.

Logaritm ett positivt tal b i basen a (betecknat log a b) är exponenten till vilken a måste höjas för att få b, med b > 0, a > 0 och 1.

Enligt definitionen log a b = x, vilket är ekvivalent med a x = b, så log a a x = x.

Logaritmer, exempel:

log 2 8 = 3, eftersom 2 3 = 8

log 7 49 = 2 eftersom 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, eftersom 5 -1 = 1/5

Decimal logaritmär en vanlig logaritm, vars bas är 10. Betecknas som lg.

log 10 100 = 2 eftersom 102 = 100

naturlig logaritm- även den vanliga logaritmen logaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - ett irrationellt tal). Kallas ln.

Det är önskvärt att komma ihåg formlerna eller egenskaperna för logaritmer, eftersom vi kommer att behöva dem senare när vi löser logaritmer, logaritmiska ekvationer och olikheter. Låt oss gå igenom varje formel igen med exempel.

• Grundläggande logaritmisk identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Egenskaper för graden av ett logaritmerbart tal och basen för logaritmen

  Exponenten för ett logaritmtal log a b m = mlog a b

  Exponent för basen för logaritmen log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  om m = n får vi log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Övergång till en ny stiftelse
  log a b = log c b / log c a,

  om c = b får vi log b b = 1

  sedan log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Som du kan se är logaritmformlerna inte så komplicerade som de verkar. Nu, efter att ha övervägt exempel på att lösa logaritmer, kan vi gå vidare till logaritmiska ekvationer. Vi kommer att överväga exempel på att lösa logaritmiska ekvationer mer i detalj i artikeln: "". Missa inte!

Om du fortfarande har frågor om lösningen, skriv dem i kommentarerna till artikeln.

Obs: beslutade att få en utbildning av en annan klass studera utomlands som ett alternativ.

logaritm Positivt nummer N till basen(b> 0, b 1 ) kallas exponent x , som du behöver höja b för att få N .

Logaritmnotation:

Denna post motsvarar följande:b x = N .

EXEMPEL: logg 3 81 \u003d 4, sedan 3 4 \u003d 81;

Logga 1/3 27 = – 3 , eftersom (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

Ovanstående definition av logaritmen kan skrivas som en identitet:

Grundläggande egenskaper hos logaritmer.

1) logga b= 1 , därför att b 1 = b.

b

2) logga 1 = 0 , därför att b 0 = 1 .

b

3) Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna av faktorerna:

logga( ab) = log a+logg b.

4) Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna för utdelningen och divisorn:

logga( a/b) = log a-logga b.

5) Gradens logaritm är lika med produkten av exponenten och logaritmen av dess bas:

logga (b k ) = k logga b.

Konsekvensen av denna egenskap är följande:log rot är lika med logaritmen för rottalet dividerat med rotens potens:

6) Om basen för logaritmen är en grad, då värdet exponentens reciproka kan tas ut ur loggens tecken rim:

De två sista fastigheterna kan kombineras till en:

7) Formel för övergångsmodul (dvs. e . övergång från en baslogaritm till en annan bas):

I ett särskilt fall, när N = a vi har:

Decimal logaritm kallad baslogaritm 10. Den är utsedd lg, dvs. logga 10 N = lg N. Logaritmer av siffror 10, 100, 1000, ... sid är respektive 1, 2, 3, …,de där. har så mycket positivt

enheter, hur många nollor som finns i logaritmtalet efter en. Logaritmer av siffror 0,1, 0,01, 0,001, ... sid avny respektive –1, –2, –3, …, dvs. ha lika många negativa som det finns nollor i logaritmtalet före ettan ( räkning och noll heltal). Logaritmer andra tal har en bråkdel som kallas mantissa. Helaen del av logaritmen kallas karakteristisk. För praktisktdecimallogaritmer är mest bekväma.

naturlig logaritm kallad baslogaritm e. Det är betecknat ln, dvs. logga eN = ln N. siffra eär irrationell,ungefärligt värde är 2,718281828. Det är gränsen mot vilken antalet tenderar(1 + 1 / n) n med obegränsad ökningn(centimeter. första underbara gränsen ).
Hur konstigt det än kan verka visade sig naturliga logaritmer vara mycket bekväma när man utförde olika operationer relaterade till analys av funktioner.Beräknar baslogaritmeremycket snabbare än någon annan grund.