Om en trapets kan du beskriva en cirkel om. Omskriven cirkel och trapets. Lika yta trianglar av en trapets

Överväg flera riktningar för att lösa problem där en trapets är inskriven i en cirkel.

När kan en trapets vara inskriven i en cirkel? En fyrhörning kan inskrivas i en cirkel om och endast om summan av dess motsatta vinklar är 180º. Därav följer det endast en likbent trapets kan inskrivas i en cirkel.

Radien för en cirkel omskriven kring en trapets kan hittas som radien för en cirkel omskriven kring en av de två trianglar som trapetsen är indelad i med sin diagonal.

Var är cirkelns mitt omskrivet kring trapetsen? Det beror på vinkeln mellan trapetsens diagonal och dess sida.

Om diagonalen för en trapets är vinkelrät mot dess laterala sida, så ligger mitten av cirkeln omskriven kring trapetsen i mitten av dess större bas. Radien för cirkeln som beskrivs nära trapetsen är i detta fall lika med hälften av dess större bas:

Om diagonalen för en trapets bildar en spetsig vinkel med den laterala sidan, så ligger mitten av cirkeln omskriven kring trapetsen inuti trapetsen.

Om diagonalen på en trapets bildar en trubbig vinkel med den laterala sidan, så ligger mitten av cirkeln omskriven kring trapetsen utanför trapetsen, bakom den stora basen.

Radien för en cirkel omskriven kring en trapets kan hittas från sinussatsens följd. Från triangel ACD

Från triangel ABC

Ett annat alternativ för att hitta radien för den omskrivna cirkeln är −

Sinusen för vinkel D och vinkel CAD kan hittas till exempel från räta trianglar CFD och ACF:

När du löser problem för en trapets inskriven i en cirkel kan du också använda det faktum att den inskrivna vinkeln är lika med hälften av motsvarande mittvinkel. Till exempel,

Förresten, du kan använda COD- och CAD-vinklar för att hitta arean av en trapets. Enligt formeln för att hitta arean av en fyrhörning genom dess diagonaler

I den här artikeln kommer vi att försöka återspegla trapetsens egenskaper så fullständigt som möjligt. I synnerhet kommer vi att prata om de allmänna tecknen och egenskaperna hos en trapets, samt om egenskaperna hos en inskriven trapets och om en cirkel inskriven i en trapets. Vi kommer också att beröra egenskaperna hos en likbent och rektangulär trapets.

Ett exempel på att lösa ett problem med hjälp av de övervägda egenskaperna hjälper dig att reda ut saker i huvudet och komma ihåg materialet bättre.

Trapes och allt-allt-allt

Till att börja med, låt oss kort komma ihåg vad en trapets är och vilka andra begrepp som är förknippade med den.

Så en trapets är en fyrsidig figur, vars två sidor är parallella med varandra (dessa är baserna). Och två är inte parallella - det här är sidorna.

I en trapets kan höjden utelämnas - vinkelrätt mot baserna. Mittlinjen och diagonalerna är ritade. Och även från valfri vinkel på trapetsen är det möjligt att rita en bisektor.

Om de olika egenskaperna som är förknippade med alla dessa element och deras kombinationer kommer vi nu att prata.

Egenskaper för diagonalerna i en trapets

För att göra det tydligare, under läsning, skissa upp ACME-trapetsen på ett papper och rita diagonaler i den.

Om du hittar mittpunkterna för var och en av diagonalerna (låt oss kalla dessa punkter X och T) och kopplar ihop dem får du ett segment. En av egenskaperna hos diagonalerna i en trapets är att segmentet XT ligger på mittlinjen. Och dess längd kan erhållas genom att dividera skillnaden mellan baserna med två: XT \u003d (a - b) / 2.
Före oss är samma ACME trapets. Diagonalerna skär varandra i punkt O. Låt oss betrakta trianglarna AOE och IOC som bildas av segmenten av diagonalerna tillsammans med trapetsens baser. Dessa trianglar liknar varandra. Likhetskoefficienten för k trianglar uttrycks i termer av förhållandet mellan baserna för trapets: k = AE/KM.
Förhållandet mellan ytorna för trianglarna AOE och IOC beskrivs av koefficienten k 2 .
Alla samma trapets, samma diagonaler som skär varandra i punkt O. Endast den här gången kommer vi att överväga trianglar som de diagonala segmenten bildade tillsammans med trapetsens sidor. Arean av trianglarna AKO och EMO är lika - deras ytor är desamma.
En annan egenskap hos en trapets inkluderar konstruktionen av diagonaler. Så, om vi fortsätter sidorna av AK och ME i riktning mot den mindre basen, kommer de förr eller senare att skära varandra till någon punkt. Dra sedan en rak linje genom mittpunkterna på trapetsens baser. Den skär baserna i punkterna X och T.
Om vi nu förlänger linjen XT, kommer den att sammanfoga skärningspunkten för diagonalerna för trapets O, punkten där sidornas förlängningar och mittpunkterna för X och T:s baser skär varandra.
Genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment som kommer att förbinda trapetsens baser (T ligger på den mindre basen av KM, X - på den större AE). Skärningspunkten för diagonalerna delar detta segment i följande förhållande: TO/OH = KM/AE.
Och nu genom skärningspunkten för diagonalerna ritar vi ett segment parallellt med trapetsens baser (a och b). Skärningspunkten kommer att dela den i två lika delar. Du kan hitta längden på ett segment med hjälp av formeln 2ab/(a + b).

Egenskaper för mittlinjen av en trapets

Rita mittlinjen i trapetsen parallellt med dess baser.

Längden på mittlinjen för en trapets kan beräknas genom att lägga till längderna på baserna och dela dem på mitten: m = (a + b)/2.
Om du ritar ett segment (till exempel höjd) genom trapetsens båda baser, kommer mittlinjen att dela upp det i två lika delar.

Egenskapen för bisektrisen av en trapets

Välj valfri vinkel på trapetsen och rita en bisektrik. Ta till exempel vinkeln KAE på vår trapetsformade ACME. Efter att ha slutfört konstruktionen på egen hand kan du enkelt se att bisektrisen skär av från basen (eller dess fortsättning på en rak linje utanför själva figuren) ett segment av samma längd som sidan.

Trapetsvinkelegenskaper

Oavsett vilket av de två paren av vinklar som gränsar till sidan du väljer, är summan av vinklarna i ett par alltid 180 0: α + β = 180 0 och γ + δ = 180 0 .
Anslut mittpunkterna på trapetsens baser med ett segment TX. Låt oss nu titta på vinklarna vid trapetsens baser. Om summan av vinklarna för någon av dem är 90 0, är längden på TX-segmentet lätt att beräkna baserat på skillnaden i längderna på baserna, delat på hälften: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Om parallella linjer dras genom sidorna av vinkeln på en trapets, kommer de att dela upp sidorna av vinkeln i proportionella segment.

Egenskaper hos en likbent (likbent) trapets

I en likbent trapets är vinklarna vid någon av baserna lika.
Bygg nu en trapets igen för att göra det lättare att föreställa sig vad det handlar om. Titta noga på basen av AE - spetsen på den motsatta basen av M projiceras till en viss punkt på linjen som innehåller AE. Avståndet från vertex A till projektionspunkten för vertex M och mittlinjen för en likbent trapets är lika.
Några ord om egenskapen hos diagonalerna hos en likbent trapets - deras längder är lika. Och även lutningsvinklarna för dessa diagonaler till basen av trapetsen är desamma.
Endast nära en likbent trapets kan en cirkel beskrivas, eftersom summan av de motsatta vinklarna på en fyrhörning 180 0 är en förutsättning för detta.
Egenskapen för en likbent trapets följer av föregående stycke - om en cirkel kan beskrivas nära en trapets är den likbent.
Från egenskaperna hos en likbent trapets, följer egenskapen för höjden av en trapets: om dess diagonaler skär varandra i rät vinkel, är höjdens längd lika med halva summan av baserna: h = (a + b)/2.
Dra linjen TX igen genom mittpunkterna på trapetsens baser - i en likbent trapets är den vinkelrät mot baserna. Och samtidigt är TX symmetriaxeln för en likbent trapets.
Denna gång sänk till den större basen (låt oss kalla det a) höjden från trapetsens motsatta vertex. Du kommer att få två snitt. Längden på en kan hittas om längderna på baserna läggs till och delas på mitten: (a+b)/2. Vi får den andra när vi subtraherar den mindre från den större basen och dividerar den resulterande skillnaden med två: (a – b)/2.

Egenskaper för en trapets inskriven i en cirkel

Eftersom vi redan pratar om en trapets som är inskriven i en cirkel, låt oss uppehålla oss i denna fråga mer i detalj. I synnerhet var är cirkelns mittpunkt i förhållande till trapetsen. Även här rekommenderas det att inte vara för lat för att ta upp en penna och rita det som kommer att diskuteras nedan. Så du kommer att förstå snabbare och komma ihåg bättre.

Placeringen av cirkelns centrum bestäms av lutningsvinkeln för trapetsens diagonal mot dess sida. Till exempel kan en diagonal dyka upp från toppen av en trapets i rät vinkel mot sidan. I detta fall skär den större basen mitten av den omskrivna cirkeln exakt i mitten (R = ½AE).
Diagonalen och sidan kan också mötas i en spetsig vinkel - då är cirkelns mitt innanför trapetsen.
Den omskrivna cirkelns centrum kan vara utanför trapetsen, bortom dess stora bas, om det finns en trubbig vinkel mellan trapetsens diagonal och sidosidan.
Vinkeln som bildas av diagonalen och den stora basen av trapets ACME (inskriven vinkel) är hälften av den centrala vinkeln som motsvarar den: MAE = ½MY.
Kortfattat om två sätt att hitta radien för den omskrivna cirkeln. Metod ett: titta noga på din ritning - vad ser du? Du kommer lätt att märka att diagonalen delar trapetsen i två trianglar. Radien kan hittas genom förhållandet mellan sidan av triangeln och sinus för den motsatta vinkeln, multiplicerat med två. Till exempel, R \u003d AE / 2 * sinAME. På samma sätt kan formeln skrivas för vilken som helst av sidorna i båda trianglarna.
Metod två: vi hittar radien för den omskrivna cirkeln genom arean av triangeln som bildas av diagonalen, sidan och basen av trapetsen: R \u003d AM * JAG * AE / 4 * SAMMA.

Egenskaper hos en trapets omskriven kring en cirkel

Du kan skriva in en cirkel i en trapets om ett villkor är uppfyllt. Mer om det nedan. Och tillsammans har denna kombination av figurer ett antal intressanta egenskaper.

Om en cirkel är inskriven i en trapets, kan längden på dess mittlinje lätt hittas genom att lägga till längderna på sidorna och dela den resulterande summan på mitten: m = (c + d)/2.
För en trapetsformad ACME, omskriven kring en cirkel, är summan av längderna på baserna lika med summan av längderna på sidorna: AK + MIG = KM + AE.
Från denna egenskap hos baserna i en trapets, följer det omvända uttalandet: en cirkel kan inskrivas i den trapetsen, vars bassumma är lika med summan av sidorna.
Tangentpunkten för en cirkel med radien r inskriven i en trapetsoid delar sidosidan i två segment, låt oss kalla dem a och b. Radien för en cirkel kan beräknas med formeln: r = √ab.
Och en fastighet till. För att inte bli förvirrad, rita detta exempel själv. Vi har den gamla goda ACME-trapetsen, omskriven runt en cirkel. Diagonaler ritas i den, som skär varandra i punkten O. Trianglarna AOK och EOM som bildas av segmenten av diagonalerna och sidorna är rektangulära.
Höjden på dessa trianglar, sänkta till hypotenuserna (d.v.s. sidorna av trapetsen), sammanfaller med radierna för den inskrivna cirkeln. Och höjden på trapetsen är densamma som diametern på den inskrivna cirkeln.

Egenskaper hos en rektangulär trapets

En trapets kallas rektangulär, vars ena hörn är rätt. Och dess egenskaper härrör från denna omständighet.

En rektangulär trapets har en av sidorna vinkelrät mot baserna.
Höjden och sidan av trapetsen intill den räta vinkeln är lika. Detta låter dig beräkna arean av en rektangulär trapets (allmän formel S = (a + b) * h/2) inte bara genom höjden, utan också genom sidan som gränsar till rät vinkel.
För en rektangulär trapets är de allmänna egenskaperna hos de trapetsformade diagonalerna som redan beskrivits ovan relevanta.

Bevis på vissa egenskaper hos en trapets

Lika vinklar vid basen av en likbent trapets:

Du har förmodligen redan gissat att här behöver vi återigen ACME-trapetsen - rita en likbent trapets. Rita en linje MT från vertex M parallell med sidan av AK (MT || AK).

Den resulterande fyrsidiga AKMT är ett parallellogram (AK || MT, KM || AT). Eftersom ME = KA = MT är ∆ MTE likbent och MET = MTE.

AK || MT, därför MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Där AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nu, baserat på egenskapen hos en likbent trapets (lika diagonaler), bevisar vi det trapezium ACME är likbent:

Till att börja med, låt oss rita en rak linje МХ – МХ || KE. Vi får ett parallellogram KMHE (bas - MX || KE och KM || EX).

∆AMH är likbent, eftersom AM = KE = MX och MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, därför MAE = MXE.

Det visade sig att trianglarna AKE och EMA är lika med varandra, eftersom AM \u003d KE och AE är den gemensamma sidan av de två trianglarna. Och även MAE \u003d MXE. Vi kan dra slutsatsen att AK = ME, och därav följer att trapetsformen AKME är likbent.

Uppgift att upprepa

Baserna på trapets ACME är 9 cm och 21 cm, sidan av KA, lika med 8 cm, bildar en vinkel på 150 0 med en mindre bas. Du måste hitta området för trapetsen.

Lösning: Från vertex K sänker vi höjden till trapetsens större bas. Och låt oss börja titta på trapetsens vinklar.

Vinklarna AEM och KAN är ensidiga. Vilket betyder att de summerar till 1800. Därför är KAN = 30 0 (baserat på egenskapen hos trapetsvinklarna).

Betrakta nu den rektangulära ∆ANK (jag tror att denna punkt är uppenbar för läsare utan ytterligare bevis). Från den hittar vi höjden på trapetsen KH - i en triangel är det ett ben, som ligger mitt emot vinkeln på 30 0. Därför KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Arean av trapetsen hittas av formeln: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Efterord

Om du noggrant och eftertänksamt studerade den här artikeln, inte var för lat för att rita trapetser för alla ovanstående egenskaper med en penna i dina händer och analysera dem i praktiken, borde du ha bemästrat materialet väl.

Naturligtvis finns det mycket information här, varierande och ibland till och med förvirrande: det är inte så svårt att förväxla egenskaperna hos den beskrivna trapetsen med egenskaperna hos den inskrivna. Men du såg själv att skillnaden är enorm.

Nu har du en detaljerad sammanfattning av alla allmänna egenskaper hos en trapets. Samt specifika egenskaper och egenskaper hos likbenta och rektangulära trapetser. Det är mycket bekvämt att använda för att förbereda sig för prov och tentor. Prova själv och dela länken med dina vänner!

blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Trapetsär en fyrhörning med två parallella sidor, som är baserna, och två icke-parallella sidor, som är sidorna.

Det finns även namn som t.ex likbent eller likbent.

Det är en trapets med räta vinklar på sidosidan.

Trapetselement

a, b baser av en trapets(en parallell till b ),

m, n — sidor trapets,

d 1 , d 2 — diagonaler trapets,

h- höjd trapets (ett segment som förbinder baserna och samtidigt vinkelrätt mot dem),

MN- mittlinje(ett segment som förbinder sidornas mittpunkter).

Trapesområde

Genom halva summan av baserna a, b och höjden h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
Genom mittlinjen MN och höjden h : S = MN\cdot h
Genom diagonalerna d 1 , d 2 och vinkeln (\sin \varphi ) mellan dem: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)

Trapetsegenskaper

Trapetsens medianlinje

mittlinjeär parallell med baserna, lika med deras halva summa, och delar varje segment med ändarna på raka linjer som innehåller baserna (till exempel höjden på figuren) på mitten:

MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)

Summan av vinklarna för en trapets

Summan av vinklarna för en trapets, intill varje sida, är lika med 180^(\circ) :

\alpha + \beta = 180^(\circ)

\gamma + \delta =180^(\circ)

Lika yta trianglar av en trapets

Lika stora, det vill säga med lika arealer, är segmenten av diagonalerna och trianglarna AOB och DOC som bildas av sidorna.

Likhet mellan bildade trapetsformade trianglar

liknande trianglarär AOD och COB, som bildas av sina baser och diagonala segment.

\triangel AOD \sim \triangel COB

likhetskoefficient k hittas av formeln:

k = \frac(AD)(BC)

Dessutom är förhållandet mellan arean av dessa trianglar lika med k^(2) .

Förhållandet mellan längderna av segment och baser

Varje segment som förbinder baserna och passerar genom skärningspunkten för trapetsens diagonaler delas med denna punkt i förhållande till:

\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)

Detta kommer också att gälla för höjden med själva diagonalerna.

Om en cirkel är inskriven i en trapets, dyker det upp flera vägar i problemet som man kan resonera längs.

1. En cirkel kan inskrivas i en fyrhörning om och endast om summan av längderna på dess motsatta sidor är lika. Därav följer det Om en cirkel är inskriven i en trapets, är summan av dess baser lika med summan av sidorna.

AB+CD=AD+BC

2. Segment av tangenter ritade från en punkt är lika. Därav följer det

3. Höjden på en trapets är lika med längden på diametern på den inskrivna cirkeln eller två av dess radier.

MK är trapetsens höjd, MK=2r, där r är radien för cirkeln inskriven i trapetsen.

4. Mitten av den inskrivna cirkeln är skärningspunkten för bisektrarna för trapetsvinklarna.

Låt oss överväga det grundläggande problemet.

Hitta radien för cirkeln inskriven i trapetsen om kontaktpunkten delar sidosidan i segment med längden m och n (CF=m, FD=n).

1) ∠ADC+∠BCD=180º (som summan av inre ensidiga vinklar med parallella linjer AD och BC och sekant CD);

2) eftersom punkten O är skärningspunkten för halveringslinjen för trapetsvinklarna, då är ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;

3) eftersom summan av vinklarna i en triangel är 180º, då i triangeln COD ∠COD=90º;

4) sålunda är triangeln COD rätvinklig, och OF är höjden som dras till hypotenusan, CF och FD är projektionerna av benet OC och OD på hypotenusan. Eftersom höjden som dras till hypotenusan är mellan utsprången av benen på hypotenusan,

Därför uttrycks radien för cirkeln inskriven i trapetsen i termer av längden på segmenten där sidosidan är dividerad med kontaktpunkten, som

Och eftersom höjden på trapetsen är lika med dess diameter, kan höjden på trapetsen uttryckas i termer av längden på dessa segment.

\[(\Large(\text(Godycklig trapets)))\]

Definitioner

En trapets är en konvex fyrhörning där två sidor är parallella och de andra två sidorna inte är parallella.

De parallella sidorna av en trapets kallas dess baser, och de andra två sidorna kallas dess sidor.

Höjden på en trapets är den vinkelräta som faller från valfri punkt på en bas till en annan bas.

Satser: egenskaper hos en trapets

1) Summan av vinklarna vid sidan är \(180^\cirkel\) .

2) Diagonalerna delar trapetsen i fyra trianglar, varav två är lika och de andra två är lika.

Bevis

1) För att \(AD\parallell BC\) , då är vinklarna \(\angle BAD\) och \(\angle ABC\) ensidiga vid dessa linjer och sekanten \(AB\) , därför, \(\angle BAD +\angle ABC=180^\circ\).

2) För att \(AD\parallell BC\) och \(BD\) är en sekant, sedan \(\angle DBC=\angle BDA\) som liggande tvärs över.
Även \(\angle BOC=\angle AOD\) som vertikal.
Därför i två hörn \(\triangel BOC \sim \triangel AOD\).

Låt oss bevisa det \(S_(\triangel AOB)=S_(\triangel COD)\). Låt \(h\) vara höjden på trapetsen. Sedan \(S_(\triangel ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangel ACD)\). Sedan: \

Definition

Mittlinjen i en trapets är ett segment som förbinder sidornas mittpunkter.

Sats

Trapetets medianlinje är parallell med baserna och lika med hälften av deras summa.

Bevis*

1) Låt oss bevisa parallelliteten.

Rita en linje \(MN"\parallell AD\) (\(N"\i CD\) ) genom punkten \(M\) ). Sedan, genom Thales-satsen (eftersom \(MN"\parallell AD\parallel BC, AM=MB\)) punkten \(N"\) är mittpunkten av segmentet \(CD\)... Därför kommer punkterna \(N\) och \(N"\) att sammanfalla.

2) Låt oss bevisa formeln.

Låt oss rita \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Låta \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Sedan, enligt Thales-satsen, är \(M"\) och \(N"\) mittpunkterna för segmenten \(BB"\) respektive \(CC"\). Så \(MM"\) är mittlinjen \(\triangel ABB"\) , \(NN"\) är mittlinjen \(\triangle DCC"\) . Det är därför: \

Därför att \(MN\parallell AD\parallel BC\) och \(BB", CC"\perp AD\), sedan \(B"M"N"C"\) och \(BM"N"C\) är rektanglar. Med Thales-satsen antyder \(MN\parallell AD\) och \(AM=MB\) att \(B"M"=M"B\) . Därför \(B"M"N"C"\) och \(BM"N"C\) är lika stora rektanglar, därav \(M"N"=B"C"=BC\) .

Således:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\höger)\]

Sats: egenskap hos en godtycklig trapets

Basernas mittpunkter, skärningspunkten för trapetsens diagonaler och skärningspunkten för sidosidornas förlängningar ligger på samma räta linje.

Bevis*
Det rekommenderas att du bekantar dig med beviset efter att ha studerat ämnet "Liknande trianglar".

1) Låt oss bevisa att punkterna \(P\) , \(N\) och \(M\) ligger på samma räta linje.

Rita en linje \(PN\) (\(P\) är skärningspunkten för sidornas förlängningar, \(N\) är mittpunkten av \(BC\) ). Låt den skära sidan \(AD\) vid punkten \(M\) . Låt oss bevisa att \(M\) är mittpunkten av \(AD\) .

Tänk på \(\triangel BPN\) och \(\triangle APM\) . De är lika i två vinklar (\(\vinkel APM\) - gemensam, \(\vinkel PAM=\vinkel PBN\) som motsvarande vid \(AD\parallell BC\) och \(AB\) sekant). Betyder att: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Tänk på \(\triangel CPN\) och \(\triangle DPM\) . De är lika i två vinklar (\(\angle DPM\) - common, \(\angle PDM=\angle PCN\) som motsvarande vid \(AD\parallell BC\) och \(CD\) sekant). Betyder att: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Härifrån \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Men \(BN=NC\) , därav \(AM=DM\) .

2) Låt oss bevisa att punkterna \(N, O, M\) ligger på en rät linje.

Låt \(N\) vara mittpunkten av \(BC\) , \(O\) vara skärningspunkten för diagonalerna. Rita en linje \(NO\) , den kommer att skära sidan \(AD\) vid punkten \(M\) . Låt oss bevisa att \(M\) är mittpunkten av \(AD\) .

\(\triangel BNO\sim \triangel DMO\) i två vinklar (\(\vinkel OBN=\vinkel ODM\) som liggande vid \(BC\parallell AD\) och \(BD\) sekant; \(\vinkel BON=\vinkel DOM\) som vertikal). Betyder att: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Liknande \(\triangle CON\sim \triangle AOM\). Betyder att: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Härifrån \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Men \(BN=CN\) , därav \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Isosceles trapetsoid)))\]

Definitioner

En trapets kallas rektangulär om en av dess vinklar är rät.

En trapets kallas likbent om dess sidor är lika.

Satser: egenskaper hos en likbent trapets

1) En likbent trapets har lika stora basvinklar.

2) Diagonalerna för en likbent trapets är lika.

3) De två trianglarna som bildas av diagonalerna och basen är likbenta.

Bevis

1) Betrakta en likbent trapets \(ABCD\) .

Från hörnen \(B\) och \(C\) släpper vi åt sidan \(AD\) vinkelräta \(BM\) respektive \(CN\). Eftersom \(BM\perp AD\) och \(CN\perp AD\) , då \(BM\parallell CN\) ; \(AD\parallel BC\) , då är \(MBCN\) ett parallellogram, därav \(BM = CN\) .

Betrakta räta trianglar \(ABM\) och \(CDN\) . Eftersom de har lika hypotenusor och benet \(BM\) är lika med benet \(CN\) , är dessa trianglar kongruenta, därför \(\angle DAB = \angle CDA\) .

Därför att \(AB=CD, \vinkel A=\vinkel D, AD\)- allmänt, sedan på första skylten. Därför \(AC=BD\) .

3) För att \(\triangel ABD=\triangel ACD\), sedan \(\angle BDA=\angle CAD\) . Därför är triangeln \(\triangel AOD\) likbent. Det kan på liknande sätt bevisas att \(\triangel BOC\) är likbent.

Satser: tecken på en likbent trapets

1) Om vinklarna vid basen av en trapets är lika, så är den likbent.

2) Om diagonalerna för en trapets är lika, så är den likbent.

Bevis

Betrakta en trapets \(ABCD\) så att \(\vinkel A = \vinkel D\) .

Låt oss komplettera trapetsen till triangeln \(AED\) som visas i figuren. Eftersom \(\angle 1 = \angle 2\) , så är triangeln \(AED\) likbent och \(AE = ED\) . Vinklarna \(1\) och \(3\) är lika med parallella linjer \(AD\) och \(BC\) och sekanten \(AB\) . På liknande sätt är vinklarna \(2\) och \(4\) lika, men \(\vinkel 1 = \vinkel 2\) , då \(\angle 3 = \angle 1 = \angle 2 = \angle 4\), därför är triangeln \(BEC\) också likbent och \(BE = EC\) .

Så småningom \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), d. v. s. \(AB = CD\) , som skulle bevisas.

2) Låt \(AC=BD\) . Därför att \(\triangel AOD\sim \triangle BOC\), då betecknar vi deras likhetskoefficient med \(k\) . Sedan om \(BO=x\) , då \(OD=kx\) . Liknar \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .